最后更新: 2024-10-04 11:06 查看: 522 次反馈同步训练

空间立体的体积

## 空间立体的体积
### 施转体
由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，称为旋转体. 其中该条直线就称为旋转轴. 圆柱、圆锥、圆台、球均可当作旋转体(见图 3-36).

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123074124c9.png)

下图作图显示了平面正视图里的一条曲线，右图图片显示了该曲线绕$x$轴旋转形成的立体图形。
 ![](/uploads/2024-10/1f3206.GIF)

建立直角坐标系如图(见图 3-37)，平面图形 $A$ 由曲线 $y=f(x)(f(x)>0)$ ，直 线 $x=a ， x=b(a<b)$ 及 $x$ 轴所围成， $\Omega$ 为 $A$ 绕 $x$ 轴旋转一周而成的立体，选 $x$ 为积分变量， $x \in[a, b]$ ，任取 $[x, x+\mathrm{d} x]$ ，则在 $[x, x+\mathrm{d} x]$ 上的小旋转体体积可以 近似的等于底面积为 $\pi f^2(x)$ ，以 $\mathrm{d} x$ 为高的薄柱体体积，即体积元素为

$$
\mathrm{d} V_x=\pi f^2(x) \mathrm{d} x ，
$$

故 $[a, b]$ 上的旋转体体积为

$$
V_x=\pi \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212305b7e0ae.png)

若 $\Omega^{\prime}$ 为 $A$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的立体，则选 $x$ 为积分变量， $x \in[a, b]$ ，任 取 $[x, x+\mathrm{d} x]$ (见图 3-38)，则在 $[x, x+\mathrm{d} x]$ 上的小旋转体体积可以近似的等于内表 面积为 $2 \pi f(x)$ ，厚为 $\mathrm{d} x$ 的薄柱壳体积(见图 3-39)，即体积元素为 $\mathrm{d} V_y=2 \pi x f(x) \mathrm{d} x$ ， 故 $[a, b]$ 上的旋转体体积为 $V_y=2 \pi \int_a^b x f(x) \mathrm{d} x$.
![图片](/uploads/2022-12/image_2022123011d5c43.png)

类似的，若平面图形 $A$ 由曲线 $x=g(y)(g(y)>0)$ ， 直线 $y=c 、 y=d(c<d)$ 及 $y$ 轴所围成， $\Omega$ 为 $A$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的立体为 $V_y=\pi \int_c^d g^2(y) \mathrm{d} y$ (见图 3-40)； 绕 $x$ 轴旋转一周而成的立体为 $V_x=2 \pi \int_c^d y g(y) \mathrm{d} y$.
![图片](/uploads/2022-12/image_2022123009fad80.png)

## 例题
`例` 求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 分别绕 $x$ 轴与 $y$ 轴旋转而得的旋转体的体积.
解 求椭圆绕 $x$ 轴旋转而得的旋转体的 体积 $V_x$. 由椭圆的方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 得 $y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}$ ，如图 3-41 所示.
上半椭圆绕 $x$ 轴旋转与下半椭圆绕 $x$ 轴旋转而得的结果相同, 故绕 $x$ 轴旋转的 旋转体的体积为

$$
\begin{aligned}
V_x & =\int_{-a}^a \pi y^2 \mathrm{~d} x=\pi \int_{-a}^a \frac{b^2}{a^2}\left(a^2-x^2\right) \mathrm{d} x \\
& =2 \pi \cdot \frac{b^2}{a^2} \int_0^a\left(a^2-x^2\right) \mathrm{d} x \\
& =\left.2 \pi \cdot \frac{b^2}{a^2}\left(a^2 x-\frac{1}{3} x^3\right)\right|_0 ^a \\
& =\frac{4}{3} \pi a b^2 .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230d18284d.png)

同理得椭圆绕 $y$ 轴旋转而得的旋转体的体积为

$$
\begin{aligned}
V_y & =\int_{-b}^b \pi x^2 \mathrm{~d} y=2 \pi \frac{a^2}{b^2} \int_0^b\left(b^2-y^2\right) \mathrm{d} y \\
& =\left.2 \pi \frac{a^2}{b^2}\left(b^2 y-\frac{1}{3} y^3\right)\right|_0 ^b \\
& =\frac{4}{3} \pi a^2 b .
\end{aligned}
$$

特别地，若 $a=b=R$ 即得球体的体积公式为 $V=\frac{4}{3} \pi R^3$.

`例` 求星行线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$ (见图 3-42) 绕 $x$ 轴旋构成旋转体的体积.
解 体积微元

$$
\mathrm{d} V=\pi\left(a^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}}\right)^3 \mathrm{~d} x
$$

所求体积

$$
V=\int_{-a}^a \pi\left(a^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}}\right)^3 \mathrm{~d} x=\frac{32}{105} \pi a^3 .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230113e7c0.png)

`例` 求曲线 $x y=4, y=1, y=2$ 所围成的图形(见图 3-43)绕 $y$ 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 体积微元:

$$
\mathrm{d} V=\pi x^2 \mathrm{~d} y=\pi \frac{16}{y^2} \mathrm{~d} y,
$$

所求体积:

$$
V=\pi \int_1^2 \frac{16}{y^2} \mathrm{~d} y=\left.\pi\left[-\frac{16}{y}\right]\right|_1 ^2=8 \pi .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212300b58103.png)

`例` 求由摆线

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