最后更新: 2026-01-16 09:07 查看: 756 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

伴随矩阵★★★★★

## 伴随矩阵的定义

设 $A$ 是一个 $n \times n$ 方阵，元素为 $a_{ij}$。

**余子式** $M_{ij}$：划掉 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列后，剩下的 $(n-1)\times(n-1)$ 矩阵的行列式。

**代数余子式** $C_{ij}$：$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

**伴随矩阵**（Adjugate 或 Adjoint matrix）常记作$A^*$ 或 $\operatorname{adj}(A)$ ： 将 $A$ 的所有代数余子式 $C_{ij}$ 组成一个矩阵，然后**转置**，这个矩阵被称作伴随矩阵， 即：
$$
\operatorname{adj}(A) = 
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\
C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn}
\end{pmatrix}
$$

$(i,j)$ 位置是 $C_{ji}$（即先取代数余子式，再转置）。

>**小心：他是代数余子式转置排列得到的矩阵**.

`例` 求方阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4\end{array}\right]$ 的伴随矩阵．

解：使用定义求他的伴随矩阵。$A$是一个三阶矩阵，有9个元素，因此对应有9个代数余子式矩阵。

**第一步 计算9个代数余子式矩阵。**

**第一行**
 ①划去第一行第一列，剩下的代数余子式为(代数余子式有正负号之分，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=471))
 ![图片](/uploads/2025-03/79a3f1.jpg)

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1\cdot 4 - 3\cdot 1) = 4 - 3 = 1$

②划去第一行第二列，剩下的代数余子式为
 ![图片](/uploads/2025-03/e5404b.jpg)

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = - (2\cdot 4 - 3\cdot 1) = - (8 - 3) = -5$

③划去第一行第三列，剩下的代数余子式为
 ![图片](/uploads/2025-03/82b2e0.jpg)

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2\cdot 1 - 1\cdot 1) = 2 - 1 = 1$

同理，划去余下6个元素有：

**第二行**
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = - (1\cdot 4 - 1\cdot 1) = - (4 - 1) = -3$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1\cdot 4 - 1\cdot 1) = 4 - 1 = 3$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = - (1\cdot 1 - 1\cdot 1) = - (1 - 1) = 0$

**第三行**
- $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1\cdot 3 - 1\cdot 1) = 3 - 1 = 2$
- $C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = - (1\cdot 3 - 1\cdot 2) = - (3 - 2) = -1$
- $C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1\cdot 1 - 1\cdot 2) = 1 - 2 = -1$

**第二步 写出代数余子式矩阵**

代数余子式矩阵 $C$ 为：
$$
C = \begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} \\
C_{21} & C_{22} & C_{23} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 & -5 & 1 \\
-3 & 3 & 0 \\
2 & -1 & -1
\end{bmatrix}
$$

**第三步 转置得到伴随矩阵**

$$
A^*= C^T =
\begin{bmatrix}
1 & -3 & 2 \\
-5 & 3 & -1 \\
1 & 0 & -1
\end{bmatrix}
$$

> 最后一步别错了，他是**按列**排放，也就是老师口中常说的“**按行取按列放**”。通过上面可以看到，求伴随矩阵计算量是**相当的大**，但是他具有固定的套路，所以特别适合**计算机**编程处理。

## 伴随矩阵是干什么用的
伴随矩阵是干啥用的？一句话：

> **伴随矩阵就是用来求逆矩阵的。**

矩阵 $A$ 与其伴随矩阵 $A^*$ 之间具有如下重要关系：
$$ A A^*=|A| E $$

这里$|A|$是矩阵的行列式，他本质是一个数，把他移到左边就得到

$$
A \cdot \dfrac{A^*}{|A|}= E ...①
$$

又因为

$$
A \cdot  A^{-1}=E ...②
$$

比较①②得
$$
A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}
$$

这样，我们就可以找到求一个矩阵的逆矩阵。

> 矩阵$A$、 伴随矩阵$A^*$、矩阵的行列式$|A|$ 满足 $A A^*=|A| E$, 这意味着这3个变量里，知道了其中2个。就能解的另外一个量。

上面介绍伴随矩阵的性质属于观察法，适合初高中阶段验证。在线性代数里需要给出严格的证明，因此有下面的定理。

### 定理
$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件为 $|A| \neq 0$ ，且此时

$$
\boxed{
A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^*
}
$$

证明：必要性．因为 $\boldsymbol{A}$ 可逆，所以存在 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ，使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1}= A^{-1} A=E$ ，两边取行列式，有

$$
\left|\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1}\right|=|\boldsymbol{A}|\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=|\boldsymbol{E}|=1,
$$

所以 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ ．
充分性．由 $A A^*=A^* A=|A| E$ ，因为 $|A| \neq 0$ ，所以 $A \frac{A^*}{|A|}= \frac{\boldsymbol{A}^*}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ，由定义知 $\boldsymbol{A}$ 可逆．又由逆矩阵唯一知 $\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{\boldsymbol{A}^*}{|\boldsymbol{A}|}$ ．

注：$|\boldsymbol{A}| \neq 0$ ，称 $\boldsymbol{A}$ 为非奇异矩阵、非退化矩阵，非奇异、非退化与可逆是等价的概念；$|\boldsymbol{A}|=0$ ，称 $\boldsymbol{A}$ 为奇异矩阵、退化矩阵。

上面这种求逆矩阵的方法又称作称为**伴随矩阵法**．

`例`求 
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{array}\right)
$$
的伴随矩阵

解：
$$
\begin{aligned}
&\text { 因为 }|\boldsymbol{A}|=-18 \neq 0 \text { ，所以 } \boldsymbol{A} \text { 可逆. }\\
&\begin{aligned}
& A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right|=5, \quad A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
3 & 2
\end{array}\right|=-1, \quad A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
3 & 1
\end{array}\right|=-7 \\
& A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{array}\right|=-1, \quad A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
3 & 2
\end{array}\right|=-7, \quad A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 1
\end{array}\right|=5 \\
& A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
3 & 1
\end{array}\right|=-7, \quad A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
2 & 1
\end{array}\right|=5, \quad A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{array}\right|=-1
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

把上面求的代数余子式排列成矩阵形式，于是$A$的伴随矩阵为

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
5 & -1 & -7 \\
-1 & -7 & 5 \\
-7 & 5 & -1
\end{array}\right) 
$$

$A$得逆矩阵
$$
\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*=\frac{1}{-18}\left(\begin{array}{ccc}
5 & -1 & -7 \\
-1 & -7 & 5 \\
-7 & 5 & -1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{5}{18} & \frac{1}{18} & \frac{7}{18} \\
\frac{1}{18} & \frac{7}{18

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