最后更新: 2025-03-02 15:40 查看: 559 次反馈同步训练

伴随矩阵

### 引言
伴随矩阵是干啥用的？一句话：**伴随矩阵就是用来求逆矩阵的。**
矩阵 $A$ 与其伴随矩阵 $A^*$ 之间具有如下重要关系：
> $$ A A^*=|A| E $$

移项就得到

$$
A \cdot \dfrac{A^*}{|A|}= E ...①
$$

比较

$$
A \cdot  A^{-1}=E ...②
$$

所以①②
$$
A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}
$$

这样，我们就可以找到求一个矩阵的逆矩阵的统一方法。

## 伴随矩阵的定义

设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶方阵， $A_{i j}$ 是 $|A|$ 的 $(i, j)$ 元素 $a_{i j}$ 的代数余子式则矩阵

$$
\boldsymbol{A}^*=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right)
$$

称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵.

`例` 求方阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4\end{array}\right]$ 的伴随矩阵．

解：
(1)划去第一行第一列，剩下的代数余子式为(代数余子式有正负号之分，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=471))
 ![图片](/uploads/2025-03/79a3f1.jpg)

$$
\begin{array}{ll}
A_{11}=\left|\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
1 & 4
\end{array}
\right|=1
\end{array}
$$

(2)划去第一行第二列，剩下的代数余子式为
 ![图片](/uploads/2025-03/e5404b.jpg)
$$
A_{12}=-\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
1 & 4
\end{array}\right|=-5
$$

(3)划去第一行第三列，剩下的代数余子式为
 ![图片](/uploads/2025-03/82b2e0.jpg)
$$
 \quad A_{13}=\left|\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right|=1
$$

(4)划去第二行第一列，剩下的代数余子式为
$$
A_{21}=-\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 4
\end{array}\right|=-3
$$

(5)划去第二行第二列，剩下的代数余子式为
$$
A_{22}=\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 4
\end{array}\right|=3
$$

(6)划去第二行第三列，剩下的代数余子式为

$$
A_{23}=-\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right|=0 
$$

(7)划去第三行第一列，剩下的代数余子式为
$$
A_{31}=\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right|=2
$$

(8)划去第三行第二列，剩下的代数余子式为
$$
A_{32}=-\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{array}\right|=-1
$$

(8)划去第三行第三列，剩下的代数余子式为
$$
A_{33}=\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right|=-1 .
$$

因此，$A$ 的伴随矩阵为

$$
A^*=\left[\begin{array}{rrr}
1 & -3 & 2 \\
-5 & 3 & -1 \\
1 & 0 & -1
\end{array}\right]
$$

## 伴随矩阵的性质
伴随矩阵具有如下重要的性质
$$
\boxed{
①  A A^*=A^* A=|A|E  \quad \quad
②  |A^*|=|A|^{n-1} 
}
$$
下面对①进行证明。
`例` 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵, $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随阵, 则

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{E}
$$

证明

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right)
$$

上式中两个矩阵乘积的第 $(i, j)$ 元素为

$$
a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}
$$

由行列式的代数余子式以及[异乘变零定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2564) 知道, 当 $i=j$ 时上式为 $|\boldsymbol{A}|$, 当 $i \neq j$ 时上式等于零. 因此

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\left(\begin{array}{cccc}
|\boldsymbol{A}| & 0 & \cdots & 0 \\
0 & |\boldsymbol{A}| & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & |\boldsymbol{A}|
\end{array}\right)=|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{E}
$$

同理可证

$$
\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{E}
$$

$\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{E}$

从性质① 可以得到，$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*$ 这给我我们一个求逆矩阵的方法，先求出他的伴随矩阵，再求出他的行列式，然后做一个除法即可。

> 伴随矩阵的主要作用就是**求逆矩阵$A^{-1}$**

`例`设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随阵为 $\boldsymbol{A}^*$, 证明:
（1）若 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=0$ ；
（2）$\left|\boldsymbol{A}^*\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$.

证（1）因

$$
\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E} ...(2.5)
$$

当 $|\boldsymbol{A}|=0$ 时, 上式成为 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 。
要证 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=0$ ，用反证法：设 $\left|\boldsymbol{A}^*\right| \neq 0$ ，由矩阵可逆的充要条件知， $\boldsymbol{A}^*$ 是可逆矩阵，用 $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^{-1}$ 左乘上式等号两边，得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 。于是推得 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $n-1$ 阶子式，亦即 $\boldsymbol{A}^*$ 的所有元素均为零。这导致 $\boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{O}$ 。此与 $\boldsymbol{A}^*$ 为可逆矩阵矛盾。这一矛盾说明，当 $|\boldsymbol{A}|=0$ 时， $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=0$ 。
（2）分两种情形:
情形1: $|\boldsymbol{A}|=0$ 。由 (1), $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=0=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

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