最后更新: 2026-01-15 07:32 查看: 928 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵的转置★★★★★

## 矩阵的转置
**定义**：设有矩阵$A$，把矩阵 $A$ 的行、列互换得到的矩阵称为矩阵 $A$ 的转置矩阵， 记为 $A^{\mathrm{T}}$ 或$A'$

例如 $A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right)$ 这是一个$3 \times 2$ 得矩阵，行列互换后矩阵变成$2 \times 3$型,即

$$
A^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6 \\
\end{array}\right)  
$$

#### 矩阵转置的性质
矩阵的转置满足下面的运算规律 (这里 $k$ 为常数， $A$ 与 $B$ 为同型矩阵)：
(1)$\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$ 
(2)$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 
(3) $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 
(4) $(k \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}=k \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$
(5)若 $\boldsymbol{A}$ 为方阵，则 $\left(\boldsymbol{A}^m\right)^T=\left(\boldsymbol{A}^T\right)^m, m$ 为正整数．
(6) $\boldsymbol{A}$ 为对称矩阵 $\Leftrightarrow \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}$ 为反对称矩阵 $\Leftrightarrow \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A}$ ．

请注意第三条性质可以推广
$$
\boxed{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}\boldsymbol{C)}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}
}
$$

**证明**：下面我们证明（3），其他的都比较容易理解。
 设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}, \boldsymbol{B}=\left(b_{i j}\right)_{n \times p}$ ，又设 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A B}$ ，且 $\boldsymbol{C}=\left(c_{i j}\right)_{m \times p}$ ，则 $\boldsymbol{C}$ 的第 $(i, j)$ 元素为

$$
c_{i j}=\sum_{r=1}^n a_{i r} b_{r j} .
$$

因此 $\boldsymbol{C}^{ T}$ 的第 $(j, i)$ 元素为 $c_{i j}$ 。再看 $\boldsymbol{B}^{ T} \boldsymbol{A}^{ T}$ ，它的第 $(j, i)$ 元素等于 $\boldsymbol{B}^{ T}$ 的第 $j$ 行元素与 $\boldsymbol{A}^{ T}$ 的第 $i$ 列元素对应相乘之和。

但 $\boldsymbol{B}^{ T}$ 的第 $j$ 行元素等于 $\boldsymbol{B}$ 的第 $j$ 列元素， $\boldsymbol{A}^{ T}$ 的第 $i$ 列元素等于 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行元素．

它们对应元素相乘之和恰为

$$
a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i n} b_{n j}=c_{i j} .
$$

另外，显然 $C^{ T}$ 与 $B^{ T} A^{ T}$ 的行、列数分别相等，因此 $C^{ T}=B^{ T} A^{ T}$ ．

## 矩阵转置的计算

`例`设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 1\end{array}\right)$, 求 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$.
解法一：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 3 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
0 & 2 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
0 & 2
\end{array}\right) \text {, 所以 }(\boldsymbol{A B})^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ll}
-1 & 0 \\
-1 & 2
\end{array}\right) \text {. }
$$

解法二：

$$
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
-1 & 2 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & 1 \\
3 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
-1 & 2
\end{array}\right) .
$$

## 转置的作用-判断对称矩阵
**定义** $n$ 阶方阵 $A$ 如果满足 $A^{\mathrm{T}}=A$ ，则称 $A$ 为**对称矩阵**，如果满足 $A^{\mathrm{T}}=-A$ ，则称 $A$ 为**反对称矩阵**.
由定义可知，
①如果 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是对称矩阵，则 $a_{i j}=a_{j i}$.

②如果 $n$ 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是反对称矩阵，
则 $a_{i j}=-a_{j i}$ ，且主对角线元素 $a_{i i}=0$.

`例` 设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，证明: $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{A A ^ { \mathrm { T } }}$ 都是对称矩阵.
证明 因为

$$
\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}, \quad\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}},
$$

所以 $A^{\mathrm{T}} A$ 和 $A A^{\mathrm{T}}$ 都是对称矩阵.

>**注意：在矩阵证明题里，要证明一个矩阵是对称矩阵，通常使用 $A^T=A$ 这个性质**

`例`证明任何一个 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和．

证明：因为 $\boldsymbol{A}=\frac{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}}{2}+\frac{\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}}{2}$ ，而

$$
\left(\frac{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}}{2}\right)^{\mathrm{T}}=\frac{\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}}{2}=\frac{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}}{2},\left(\frac{\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}}{2}\right)^{\mathrm{T}}=\frac{\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}-\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}}{2}=\frac{-\left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)}{2},
$$

所以 $\frac{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}}{2}$ 是对称矩阵，$\frac{\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}}{2}$ 是反对称矩阵．故结论得证．

`例`已知 $A$ 是 $n$ 阶方阵，证明：
(1) $A+A^T$ 是对称矩阵；
(2) $A-A^T$ 是反对称矩阵（满足 $B^T=-B$）。

**证明**
(1)  对 $A+A^T$ 取转置
    $$(A+A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T+A = A+A^T$$
    满足对称矩阵定义 $B^T=B$，故 $A+A^T$ 是对称矩阵。

(2)  对 $A-A^T$ 取转置
    $$(A-A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A-A^T)$$
    满足反对称矩阵定义 $B^T=-B$，故 $A-A^T$ 是反对称矩阵。

`例`已知 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，证明：$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$。

证明：要证两个矩阵互为逆矩阵，只需证明它们的乘积为单位矩阵 $E$。
1.  由逆矩阵定义：$AA^{-1}=A^{-1}A=E$
2.  对等式 $AA^{-1}=E$ 两边同时取转置
    $$(AA^{-1})^T=E^T$$
3.  利用转置性质 $(AB)^T=B^TA^T$，且 $E^T=E$
    $$(A^{-1})^T A^T = E$$
4.  同理，对 $A^{-1}A=E$ 取转置可得 $A^T(A^{-1})^T=E$
5.  综上，$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

## 期末考试常考的证明题

> 在期末考试里，如果要让你证明矩阵是对称矩阵，你就闭着眼睛证明他的转置等于他本身。
反之，如果题目说矩阵的转置等于他本身，你就想到他的对称矩阵。这是常用的技巧。

`例` 已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆对称矩阵，证明 $\

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：可交换矩阵

下一篇：对称矩阵与反对称矩阵

本文对您是否有用？有用 (1) 无用 (0)