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线性代数
第二篇 矩阵
可交换矩阵
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2025-03-02 15:51
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可交换矩阵
## 可交换矩阵 如果矩阵$A,B$满足 $$ AB=BA $$ 则称呼A与B是可交换矩阵。 `例` 已知 $A=\left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，求与 $A$ 可交换的矩阵． 解：因 $A$ 是二阶方阵，与 $A$ 可交换相乘的矩阵 $B$ 必然是二阶方阵．设 $B=\left(\begin{array}{ll}b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4\end{array}\right)$ ，则 $A B=B A$ ，即 $\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ． 两边矩阵相等，对应元素相等，得到 $$ \left\{\begin{array}{l} b_1-b_3=b_1+b_2, \\ b_2-b_4=-b_1+b_2, \\ b_1+b_3=b_3+b_4, \\ b_2+b_4=-b_3+b_4, \end{array},\left\{\begin{array}{l} b_2=-b_3, \\ b_1=b_4 . \end{array}\right.\right. $$ 得到 $B=\left(\begin{array}{cc}b_1 & b_2 \\ -b_2 & b_1\end{array}\right)$（其中 $b_1, b_2$ 为任意实数）．
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