最后更新: 2025-07-16 07:22 查看: 232 次反馈同步训练

对称矩阵与反对称矩阵

## 对称矩阵
若矩阵满足 $a_{ij}=a_{ji}$ , 则称呼矩阵$A$为**对称矩阵**。即在对角线上拉一个线，矩阵里的元素关于对角线对称。

> 在生活中，我们总是感觉**对称的东西是最美的**，所以，在矩阵论里，对对称矩阵的研究远比非对称矩阵的研究要深刻的多，特别是在特征值与特征向量、二次型里。

![图片](/uploads/2025-03/0413ba.jpg){width=300px}
 
 下图显示了3个二阶对称矩阵。
  ![图片](/uploads/2025-03/134b81.jpg){width=400px}
 
 下图显示了2个三阶对称矩阵。
  ![图片](/uploads/2025-03/493d1f.jpg){width=400px}
  
 
 ## 如何判断一个矩阵是对称矩阵

根据定义很难判断一个矩阵是否是对称矩阵，通常，我们使用对称矩阵的一个推论：对称矩阵满足$A^T=A$
 
> **即：如果一个矩阵转置后，等于他本身，则这个矩阵为对称矩阵。**
 
 
注意：当我们考试时，遇到要判断一个矩阵是否是对称矩阵时，应该首先想到转置，利用转置的定义和性质，来推导矩阵的转置等于矩阵，这是常用的技巧，情况下面例题。 
 
 `例` 若$A$是一个矩阵，证明 $A^TA$与$AA^T$ 都是对称矩阵。
  证明：$\left(A A^T\right)^T=\left(A^T\right)^T A^T=A A^T$
 把  $A A^T$ 看成一个整体， 这说明 $A A^T$ 转置等于$A A^T$，所以他是对称矩阵。同理可得$A^TA$ 也是对称矩阵。

**上面这个可以作为一个结论记住，即任给你一个矩阵A(他不是对称矩阵)，但是乘以他的转置后就变成对称的了，这启发了我们，如何利用已知矩阵快速构造对称矩阵。后面会介绍特征值分解时，会用到这个结论。**

实对称矩阵具有非常优良的性质，一些性质会在[矩阵的对角化](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=499) 里介绍

对称矩阵的性质包括：
1．对称矩阵的特征值：一定是实数；
2．对称矩阵的多重特征值：多重特征值对应的特征空间的维度（几何重数）一定等于代数重数，即：代数重数＝几何重数；
3．对称矩阵一定有 n 个线性无关的特征向量：即对称矩阵一定可以对角化；
4．对称矩阵的特征向量：所有不同的特征值对应的特征向量相互垂直，即：可转为一组正交基 ；
5．对称矩阵：因为特征向量相互正交，所以一定可以正交对角化 $A=P D P^{-1}$ 。

作为对称矩阵的最常见的一个特列就是：**单位矩阵E**和**对角矩阵**

## 对称矩阵在多项式里的作用
有一个二次多项式 $x^2+y^2-xy=1$, 我们可以很容易用矩阵写出来：
$$
[x,y]\left[\begin{array}{cc}
1 & -0.5 \\
-0.5 & 1
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc}
x \\
y
\end{array}\right]=1
$$

如果你无聊，可以自己验算一下，这3个矩阵相乘，就是上面的表达者。
在这个3个矩阵乘法里，中间的矩阵是一个**对称矩阵**，该对称矩阵的主对角线系数是二次项（$x^2,y^2$）的系数，而矩阵其它系数是交叉($xy$)系数取值的一半。

事实上，任何二次多项式比如$x_1^2+2x_2^2+3x_3^2...+x_m x_n $ 都可以用对称矩阵表达，具体在后面 [二次型](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=500) 会详细介绍。
 
## 对称矩阵在网络里的作用
在一类关于网络的图论应用问题中，经常涉及对称矩阵．图论是应用数学的一个重要领域。图论在通信网络中的应用尤为突出。

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