最后更新: 2026-01-15 09:45 查看: 298 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

对称矩阵与反对称矩阵

## 对称矩阵
**定义1** 若矩阵满足 $a_{ij}=a_{ji}$ , 则称呼矩阵$A$为**对称矩阵**。

下面显示了一个3阶对称矩阵
$$
A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 6 & 2 \\
6 & 2 & 8 \\
2 & 8 & 3
\end{array}\right]
$$

**定义2**  若矩阵满足 $a_{ij}=-a_{ji}$ , 则称呼矩阵$A$为**反对称矩阵**。

下面显示了一个三阶反对称矩阵
$$
B=\left[\begin{array}{lll}
0 & 6 & 2 \\
-6 & 0 & 8 \\
-2 & -8 & 0
\end{array}\right]
$$

在生活中，我们总是感觉**对称的东西是最美的**，所以，在矩阵论里，对对称矩阵的研究远比非对称矩阵的研究要深刻的多，特别是在特征值与特征向量、二次型里。

> 对称矩阵之所以特殊，反映在他的成比例缩放上上，你可以把矩阵想象为一个放大镜，透过他查看一个图像时，图像会沿着$x,y$进行缩放。如果是对称矩阵，相当于$x,y$同时放大相同的倍数，所以图像不变形。相反，如果不是对称矩阵，可能沿着$x$缩放m倍，沿着$y$缩放n倍，这就使得最终结果变形失了真。换句话说，**对称矩阵能保持原有图像的性质**。

## 对称矩阵的性质
**性质1**：对称矩阵的转置等于他本身，即$A^T=A$
这是很明显的，因为对称，所以行列互换仍然是同一个矩阵。

**性质2**：对称矩阵必须是方阵。
假设不是方差，$A$是$m \times n$ 矩阵，转置后$A^T$变成 $ n \times m$ 矩阵，因为$A^T=A$, 根据矩阵的定义，如果两个矩阵相等，必须是同阶的，所以角标必须相等，即$m=n$

这意味着，对称矩阵沿着对角线可以折叠起来。 详见在线视频教程 [【线性代数】 山东大学 秦静 2020】](https://www.bilibili.com/video/BV1Xe411W7go/?p=4&share_source=copy_web&vd_source=dccae6542966b78b35c93e5e66c07a6c)

**性质3** 反对称矩阵满足$A^T=-A$

**性质4** 反对称矩阵主对角线元素都是0 
因为 $a_{ij}=-a_{ji}$，如果是主对角线元素则有 $a_{ii}=-a_{ii}$ 因此 $$a_{ij}=0$

对称矩阵的性质包括：
1．对称矩阵的特征值：一定是**实数**；
2．对称矩阵的多重特征值：多重特征值对应的特征空间的维度（几何重数）一定等于代数重数，即：代数重数＝几何重数；
3．对称矩阵一定可以**对角化**；
4．对称矩阵的特征向量**相互垂直**；
5．对称矩阵：因为特征向量相互正交，所以一定可以正交对角化 $A=P D P^{-1}$ 。

作为对称矩阵的最常见的一个特列就是：**单位矩阵E**和**对角矩阵**

## 如何判断一个矩阵是对称矩阵

根据定义很难判断一个矩阵是否是对称矩阵，通常，我们使用对称矩阵的一个推论：对称矩阵满足$A^T=A$
 
> **即：如果一个矩阵转置后，等于他本身，则这个矩阵为对称矩阵。**
 
 
注意：当我们考试时，遇到要判断一个矩阵是否是对称矩阵时，应该首先想到转置，利用转置的定义和性质，来推导矩阵的转置等于矩阵，这是常用的技巧，情况下面例题。 
 
 `例` 若$A$是一个矩阵，证明 $A^TA$与$AA^T$ 都是对称矩阵。
  证明：$\left(A A^T\right)^T=\left(A^T\right)^T A^T=A A^T$
 把  $A A^T$ 看成一个整体， 这说明 $A A^T$ 转置等于$A A^T$，所以他是对称矩阵。同理可得$A^TA$ 也是对称矩阵。

> **上面这个可以作为一个结论记住，即任给你一个矩阵A(他不一定是对称矩阵)，但是乘以他的转置后就变成对称的了，这启发了我们，如何利用已知矩阵快速构造对称矩阵。后面会介绍特征值分解时，会用到这个结论。**

`例`设 $A^{-1}$ 为对称矩阵，求证 $A$ 也是对称矩阵.

证一：

$$
\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=\left[\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^T\right]^{-1}=\left[\left(\boldsymbol{A}^T\right)^{-1}\right]^{-1}=\boldsymbol{A}^T
$$

证二：

$$
A^{\mathrm{T}}=\left[\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{-1}\right]^{-1}=\left[\left(A^{-1}\right)^{\mathrm{T}}\right]^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A
$$

证三：$A A^{-1}=E$ ，取转置得 $\left(A^{-1}\right)^T A^T=E$ ，即 $A^{-1} A^T=E$ ，故

$$
\boldsymbol{A}^T=\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}
$$

`例` 假设 $n$ 阶实矩阵 $A$ 有 $n$ 个两两正交的特征向量，试证 $A$ 是对称矩阵．
证：设 $A$ 的 $n$ 个两两正交的特征向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_n$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 必为 $n$ 个线性无关的特征向量，故 $\boldsymbol{A}$ 与对角阵相似．

将 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots \boldsymbol{\alpha}_n$ 单位化得 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_n$ ．因 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_n$ 仍为 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量，故可令 $Q=\left[\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_n\right]$ ，则 $Q$ 为正交矩阵 ，从而 $Q^{-1}=Q^{\mathrm{T}}$ ，于是

$$
Q^{-1} A Q=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right)
$$

可得

$$
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q} \operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right) \boldsymbol{Q}^{-1}=\boldsymbol{Q} \operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right) \boldsymbol{Q}^T
$$

实对称矩阵具有非常优良的性质，一些性质会在[矩阵的对角化](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=499) 里介绍

## 对称矩阵的两个性质

> **性质1**：任意 $n \times n$ 矩阵 $M$ 可唯一分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。

证明：
令  
$$
S = \frac{M + M^T}{2}, \quad K = \frac{M - M^T}{2}.
$$  
验证：  
- $S^T = \frac{M^T + M}{2} = S$ → 对称。  
- $K^T = \frac{M^T - M}{2} = -K$ → 反对称。  
- $M = S + K$。

唯一性：若 $M = S_1 + K_1 = S_2 + K_2$，则 $S_1 - S_2 = K_2 - K_1$，
左边对称，右边反对称，所以该矩阵既是对称又是反对称 ⇒ 为零矩阵 ⇒ $S_1=S_2, K_1=K_2$。

性质1表明，任何一个方阵都可以分解为两个对称矩阵，并且给出了找到这两个矩阵的方法。

假设有一个矩阵 $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$

利用对称-反对称分解公式：  
$$
S = \frac{A + A^T}{2}, \quad K = \frac{A - A^T}{2}.
$$  
计算 $A^T = \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$，则：  
$$
S = \frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}1 & 2.5 \\ 2.5 & 4\end{pmatrix},
$$  
$$
K = \frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}0 & -0.5 \\ 0.5 & 0\end{pmatrix}.
$$

这在工程上会大量使用。

**性质2**
> 设 $A$ 是 $n\times n$ 反对称矩阵，且 $n$ 为奇数，证明 $\det(A) = 0$。

**证明**：  
由 $A^T = -A$ 得  
$$
\det(A) = \det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n \det(A).
$$

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