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正交矩阵

## 正交矩阵

**定义**  若 $n$ 阶实矩阵 $Q$ 满足 $Q ^{ T } Q =Q Q ^{ T }= E$ ，则 $A$ 称为**正交矩阵**。

考虑下面两个表达式：
$$ \begin{array}{l}
Q ^{ T } Q =E ...① \\
Q ^{ -1 } Q =E ...②
\end{array}
$$

可以看到，①② 很像，所以有
$$
\boxed{
Q^T=Q^{-1} ...(1)
}
$$

(1)式表明

> **正交矩阵的逆矩阵等于他的转置**

我们知道，矩阵的逆通常求解比较繁琐，但是正交矩阵的逆求解比较简单，只要转置一下就可以了。

> 注意：矩阵必须是正交矩阵才有（1）这个结论，反之，对于普通是矩阵是没有（1）这个结论的。这就像我们定义小于零的数是负数，所以负数小于零一样。如果问为什么负数小于零，这个疑问是没意义的。同样，一个矩阵如果被称作是正交矩阵，就意味着他满足$A^TA=E$,进而他的转置等于他的逆，否则他就不应称作正交矩阵。

## 核心性质

#### 1. 逆矩阵等于其转置
这是正交矩阵最本质的特征：
$$
Q^{-1} = Q^T
$$
因此，求正交矩阵的逆矩阵非常方便，无需进行复杂的行变换或伴随矩阵计算。

#### 2. 行列式的值
对定义式 $Q^T Q = I$ 两边取行列式：
$$
\det(Q^T Q) = \det(I)
$$
$$
\det(Q^T) \cdot \det(Q) = 1
$$
由于 $\det(Q^T) = \det(Q)$，所以：
$$
[\det(Q)]^2 = 1
$$
因此，正交矩阵的行列式只能是 **+1** 或 **-1**：
$$
\det(Q) = \pm 1
$$

*   **特殊类型**：若 $\det(Q) = +1$，则 $Q$ 称为**特殊正交矩阵**或**旋转矩阵**。它表示一个纯粹的旋转（没有反射）。
*   **特殊类型**：若 $\det(Q) = -1$，则 $Q$ 包含一个**反射**（镜像）操作。

#### 3. 列向量与行向量的正交归一性
将 $Q$ 按列分块为 $Q = [{q}_1, {q}_2, \dots, {q}_n]$，其中 ${q}_i$ 是列向量。

根据 $Q^T Q = I$：
$$
Q^T Q =
\begin{bmatrix}
{q}_1^T \\
{q}_2^T \\
\vdots \\
{q}_n^T
\end{bmatrix}
[{q}_1, {q}_2, \dots, {q}_n]
=
\begin{bmatrix}
{q}_1^T {q}_1 & {q}_1^T {q}_2 & \cdots & {q}_1^T {q}_n \\
{q}_2^T {q}_1 & {q}_2^T {q}_2 & \cdots & {q}_2^T {q}_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{q}_n^T {q}_1 & {q}_n^T {q}_2 & \cdots & {q}_n^T {q}_n
\end{bmatrix}
= I
$$
这等价于：
- **每一列都是单位向量**：${q}_i^T {q}_i = \|{q}_i\|^2 = 1$
- **任意两不同列相互正交**：${q}_i^T {q}_j = 0 \quad (i \neq j)$

**同理**，对于行向量：由 $Q Q^T = I$ 可知，$Q$ 的**每一行也都是单位向量，且任意两不同行相互正交**。

**结论**：正交矩阵的**列向量组**构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组**标准正交基**，其**行向量组**也构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组**标准正交基**。

#### 4. 保持向量长度和夹角（保距性）
设 $x, y \in \mathbb{R}^n$，令 $z = Qx$，$w = Qy$。
- **长度不变**：

$$
  \|Qx\|^2 = (Qx)^T (Qx) = x^T Q^T Q x = x^T I x = x^T x = \|x\|^2
$$
  所以 $\|Qx\| = \|x\|$。
- **夹角不变**：
  内积 $(Qx)^T (Qy) = x^T Q^T Q y = x^T y$，所以内积保持不变。
  由于长度和夹角都由内积和范数决定，因此正交变换**不改变向量的长度和夹角**。它是一个**等距同构**。

#### 5. 保持几何形状
由于正交变换保持长度和角度不变，它只会将图形进行**旋转**、**反射**或它们的组合，**不会改变图形的形状**（如圆还是圆，正方形还是正方形，只是位置和方向可能改变）。它不会拉伸、压缩或扭曲图形。

#### 6. 乘积仍为正交矩阵
若 $Q_1$ 和 $Q_2$ 都是 $n \times n$ 的正交矩阵，则它们的乘积 $Q_1 Q_2$ 也是正交矩阵。
**证明**：
$$
(Q_1 Q_2)^T (Q_1 Q_2) = Q_2^T Q_1^T Q_1 Q_2 = Q_2^T I Q_2 = Q_2^T Q_2 = I
$$
同理可证逆和转置也保持正交性。因此，**所有 $n$ 阶正交矩阵在矩阵乘法下构成一个群**，称为**正交群**，记作 $O(n)$。行列式为+1的正交矩阵构成其子群 $SO(n)$（特殊正交群）。

#### 7. 特征值的模为1
设 $\lambda$ 是正交矩阵 $Q$ 的一个特征值，对应的特征向量为 $v \neq 0$，即 $Q v = \lambda v$。
由保距性，$\|Qv\| = \|\lambda v\| = |\lambda| \cdot \|v\|$，而 $\|Qv\| = \|v\|$，所以 $|\lambda| \cdot \|v\| = \|v\|$，从而 $|\lambda| = 1$。

因此，正交矩阵的特征值是**复数**，但其**模长必为1**。对于实正交矩阵，非实的特征值成共轭对出现（$e^{\pm i\theta}$），实特征值只能是 $+1$ 或 $-1$。

#### 8. 奇异值为1
矩阵的奇异值是其奇异值分解中对角矩阵 $\Sigma$ 的对角元素。对于正交矩阵 $Q$，有 $Q^T Q = I$，而 $Q^T Q$ 正是SVD中的 $\Sigma^2$。所以 $\Sigma^2 = I$，因此所有奇异值 $\sigma_i = 1$。

## 正交矩阵的几何意义

> **正交矩阵是一个定义非常严格的矩阵，这意味着如果你随意些一个矩阵，那么大概率他都不是正交矩阵。**

下面写出一~三阶正交矩阵。

1.  **1阶正交矩阵**：只有 $\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}$
2.  **2阶正交矩阵**：标准形式为

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