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线性代数
第二篇 矩阵
正交矩阵
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更新:
2025-08-20 20:35
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正交矩阵
## 正交矩阵 **定义** 若 $n$ 阶实矩阵 $A$ 满足 $A ^{ T } A = A A ^{ T }= E$ ，则 $A$ 称为正交矩阵。显然，正交矩阵是可逆矩阵。由其定义可直接推出下列命题。 （i）$n$ 阶矩阵 $A$ 为正交矩阵的充分必要条件是 $$ A ^{T}= A ^{-1} $$ （ii）$n$ 阶矩阵 $A =\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是正交矩阵的充分必要条件是下列两组等式 $$ \begin{aligned} & \sum_{k=1}^n a_{i k} a_{j k}= \begin{cases}1, & i=j, \\ 0, & i \neq j\end{cases} \\ & \sum_{k=1}^n a_{k i} a_{k j}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & i=j, \\ 0, & i \neq j \end{array} \quad(i, j=1,2, \cdots, n),\right. \end{aligned} $$ 中至少有一组成立（其实，由一组等式成立可推出另一组等式成立）。这就是说，正交矩阵每一行（列）$n$ 个元的平方和等于 1 ；两个不同行（列）的对应元乘积之和等于零。 （iii） $A$ 为正交矩阵，则 $A ^{ T }= A ^{-1}$ 也是正交矩阵。 （iv）若 $A$ 与 $B$ 均为 $n$ 阶正交矩阵，则乘积 $A B ( B A )$ 也是正交矩阵。此结果还可推广为有限多个同阶正交矩阵的乘积仍是正交矩阵。请注意 $A + B$ 一般不是正交矩阵。
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