最后更新: 2026-01-16 22:01 查看: 10 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

逆矩阵(下)

## 逆矩阵(下)
逆矩阵是矩阵里，非常重要的矩阵，这使得我们值得花更多时间来研究他。
下面将通过一些典型例题来介绍逆矩阵的性质。

## 逆矩阵的求法

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right)$ ，问 $A$ 可逆否，若可逆，求 $A^{-1}$ ．
解 $|A|=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right)=(-1) \cdot 2=-2 \neq 0$.故 $A$ 可逆，下面用两种方法求 $A^{-1}$ ．

法 1 利用公式 $A^{-i}=\frac{A^*}{|A|}$ ．

$$
\begin{aligned}
& A_{11}=\left|\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & -1
\end{array}\right|=1, A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & -1
\end{array}\right|=-1, A_{13}=\left|\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & -1
\end{array}\right|=0, \\
& A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
-1 & -1
\end{array}\right|=3, A_{22}=\left|\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
-1 & -1
\end{array}\right|=-1, \\
& A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}
0 & 2 \\
-1 & -1
\end{array}\right|=-2,
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& A_{31}=\left|\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 2
\end{array}\right|=5, A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 2
\end{array}\right|=-1, A_{33}=\left|\begin{array}{ll}
0 & 2 \\
1 & 1
\end{array}\right|=-2 . \\
& \text { 故 } A^*=\left(\begin{array}{lll}
A_{11} & A_{21} & A_{31} \\
A_{12} & A_{22} & A_{32} \\
A_{13} & A_{23} & A_{33}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 5 \\
-1 & -1 & -1 \\
0 & -2 & -2
\end{array}\right), \\
& \text { 所以 } A^{-1}=A^*=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 5 \\
-1 & -1 & -1 \\
0 & -2 & -2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right) .
\end{aligned} 
$$
法2 用初等行变换的方法

![图片](/uploads/2026-01/755af0.jpg)
 
 
 $$
A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right) .
$$

注（1）法 1 用公式法求已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 的逆矩阵．需要计算 $A^*$ 的 $n^2$ 个元素 $A_{i j}$ ，而 $A_{i j}$ 是 $A$ 的元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，它是 $n-1$ 阶行列式，同时还要注意到它前面的符号为 $(-1)^{i+j}$ ，另外还要算 $|A|$ ，计算量较大，容易出错。因此公式法一般适合一些特殊的矩阵或阶数比较低的矩阵求逆，（如2阶， 3阶矩阵求逆）。另外，为了避免遗忘取代数余子式前面的符号。可先只计算 $a_{i j}$的余子式 $M_{i j}$ 把 $M_{i j}$ 前面的符号统一在构造 $A^*$ 时考虑，例如 3 阶矩阵 $A$ 求 $A^*$

时，其各元素前面的符号为 $\left(\begin{array}{lll}+ & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{array}\right)$ ，即矩阵从上到下，从左到右符号总是正负相间排列．只需在符号后面加上你算出的 $M_{i j}$ 的值即可．值得提出的是．公式法本身及矩阵可逆的充分必要条件在理论推导及其他应用方面是很重要的。
（2）法2求逆矩阵是一个较方便和实用的方法。应熟练掌握，一般来说，用行变换把 $A$ 化为单位阵，是按如下的操作程序进行；先用倍乘变换把 $a_{11}$ 变为 1 ，然后把第一行分别乘 $-a_{21},-a_{31}, \cdots,-a_{n 1}$ 加到第 $2,3, \cdots, n$ 行上对应元素上去。这样把第一列第一行以下的元素全化为零。再逐次用类似的方法把经过变换后的矩阵的主对角元素 $b_{22}, b_{33}, \cdots, b_{n-1, n-1}$ 以下的元素全部化为零。矩阵就化为上三角阵了。然后再用类似的方法，从变换成上三角矩阵的第 $n$ 行第 $n$ 列的元素开始，用行变换向上消元素为零，依次做下去，就可把矩阵 $A$ 化为对角元均不为零的对角阵了。（注意：只要 $A$ 可逆，必然可化为这种矩阵）。最后再分别用倍乘变换把对角阵化为单位阵 $I_n$ 。由于这些初等行变换是对矩阵 $\left(A I_n\right)$ 作用的．所以在把 $A$ 化为 $I_n$ 的同时，右边的 $I_n$ 就化为 $A^{-1}$ 了．

## 例题
`例`  设 $A \in M_n$ ，且满足 $A^2-2 A+2 I=0$ ，问 $A+I$ 可逆否？若可逆，求 $(A+I)^{-1}$ 。

分析 由于 $A+I$ 是一个抽象的 $n$ 阶矩阵。直接利用 $|A+I|$ 是否为零来证明它是否可逆在本题中比较困难．但是若根据已知条件 $A^2-2 A+2 I=0$能推出 $(A+I) B=I$（或 $B(A+I)=I)$ ，我们就求出了 $A+I$ 的逆矩阵 $B$ ，当然也就证明了 $A+I$ 可逆了。

证 已知 $A^2-2 A+2 I=0$ ，有 $(A+I)(A-3 I)+5 I=0$ ．故 $(A+I) \cdot(A-3 I)=-5 I$ ，则 $(A+I) \frac{A-3 I}{-5}=I$ ，

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：逆矩阵(上)★★★★★

下一篇：正交矩阵

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)