最后更新: 2025-03-12 11:24 查看: 146 次反馈同步训练

两个重要矩阵：旋转矩阵与切变矩阵

## 旋转矩阵

我们在直角坐标系中绘制一个边长为 1 的正方形，点 $A$ 坐标为 $(1,0)$ ，点 $B$ 坐标为 $(0,1)$ 。正方形沿着原点 $(0,0)$ 旋转的角度为 $\theta$ 角 参考下图。
 ![图片](/uploads/2025-03/09a917.jpg){width=500px}

我们设原坐标里任一点$(x,y)$ 经过旋转后，在新坐标为$(x',y')$,现在找一下新旧坐标系下“点”的关系。

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

接下来去两个特殊点，代入点 $A$ 的的值 $(1,0)$ 可以得到：

$$
\left[\begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right]
$$

解方程得到：
$$
\begin{aligned}
& A=\cos \theta \\
& C=\sin \theta
\end{aligned}
$$

代人点 $B$ 的的值 $(0,1)$ 可以得到：

$$
\left[\begin{array}{c}
-\sin \theta \\
\cos \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

解方程得到：
$$
\begin{array}{r}B=-\sin \theta \\ D=\cos \theta \end{array}
$$

因此，坐标旋转公式为
$$
A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]
$$

这意味着一个图形如果乘以选择矩阵，则图形进行旋转。

特别的，如果取$\theta= \frac{\pi}{2}$ 则旋转矩阵变成

$$
A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc}
 \dfrac{\sqrt{2}}{2} & - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
 \dfrac{\sqrt{2}}{2} &  \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right]
$$

上面是常用的一个旋转45度矩阵。

$$
\begin{aligned}
A ^2= & {\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\
\sin 2 \theta & \cos 2 \theta
\end{array}\right] } \\
A ^3= & {\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\
\sin 2 \theta & \cos 2 \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\cos 3 \theta & -\sin 3 \theta \\
\sin 3 \theta & \cos 3 \theta
\end{array}\right] } \\
& \vdots \\
A ^n & =\left[\begin{array}{cc}
\cos n \theta & -\sin n \theta \\
\sin n \theta & \cos n \theta
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

特别的
$$
A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc}
 \dfrac{\sqrt{2}}{2} & - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
 \dfrac{\sqrt{2}}{2} &  \d

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