最后更新: 2025-10-10 08:25 查看: 213 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

三个重要矩阵：缩放矩阵、旋转矩阵与切变矩阵

### 引言
> 下课时间到了，在嘈杂的教室里，每个同学都在开心的大笑或者说话，但是在这种复杂的环境下，你闭着眼睛还是能够感觉到哪个是小明的声音，哪个是小强的声音。我们对这个现象已经习以为常，学过高中物理的我们知道，声音是一种波，每个人说的话都是一种声波，当多个声波在空气里传播时，**彼此不受干扰**，因此你能分辨初小明和小强的声音。矩阵乘法从本质上说与此类似，两个矩阵相乘，可以认为是对空间图形的线性变换。本节涉及到空间向量知识，如果对向量不了解，可以学过向量后，再来学习本文。

在矩阵变换里有3种重要变换，这里单独介绍一下。

## 缩放矩阵

缩放变换中，如果一个图片以原点 $(0,0)$ 为中心缩放 $s$ 倍。那么点 $(x, y)$ 变换后数学形式可以表示为

$$
\begin{aligned}
& x^{\prime}=s x \\
& y^{\prime}=s y
\end{aligned}
$$

写成矩阵形式为：

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

当然，我们也可以给 x 轴和 y 轴不同的缩放倍数 $s x$ 和 $s y$ 。在非均匀情况下，缩放变换的矩阵形式为

$$
\boxed{
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right] ...(\text{图像缩放公式})
}
$$

下图展示了图像缩放示意图
 ![图片](/uploads/2025-03/802f48.jpg){width=600px}
 
 仔细看上面这个矩阵，可以发现他是一个 [对角形矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=470) 即：主对角线有元素，其它元素都是0的矩阵，记住这种矩阵，他在线性变换里非常重要。 
 
> 一个对角矩阵作用在一个三维向量 $a=(1,2,3)$上，相当于这个矩阵对这个向量的三个维度分别进行了变换。 
 
 `例` 下面矩阵乘法显示一个向量$[1,1]$ 左乘以一个对角矩阵后，变成 $[2,1]$
   
$$
 \left[\begin{array}{ll}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
2 \\
1
\end{array}\right]
$$

从几何意义上看，向量从$\vec{AB}$ 变成$\vec{AC}$ ，也就是向量$AB$发生了放大和旋转。

对角矩阵的2相当于$x$方向上放大2倍，对角矩阵的1相当于$y$方向上放大1倍。

![图片](/uploads/2025-03/f51577.jpg){width=500px}

## 旋转矩阵
 我们默认旋转变换（Rotate）都绕着原点$ (0, 0)$ 旋转，并且默认旋转方向为逆时针方向（逆时针方向旋转角度值为正，顺时针旋转角度值为负），当一个点 $(x,y)$绕着原点$(0,0)$旋转$\theta$角时，变换矩阵可以表示为：

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