最后更新: 2025-03-12 11:24 查看: 42 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

两个重要矩阵：旋转矩阵与切变矩阵

## 旋转矩阵

我们在直角坐标系中绘制一个边长为 1 的正方形，点 $A$ 坐标为 $(1,0)$ ，点 $B$ 坐标为 $(0,1)$ 。正方形沿着原点 $(0,0)$ 旋转的角度为 $\theta$ 角 参考下图。
 ![图片](/uploads/2025-03/09a917.jpg){width=500px}

我们设原坐标里任一点$(x,y)$ 经过旋转后，在新坐标为$(x',y')$,现在找一下新旧坐标系下“点”的关系。

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

接下来去两个特殊点，代入点 $A$ 的的值 $(1,0)$ 可以得到：

$$
\left[\begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right]
$$

解方程得到：
$$
\begin{aligned}
& A=\cos \theta \\
& C=\sin \theta
\end{aligned}
$$

代人点 $B$ 的的值 $(0,1)$ 可以得到：

$$
\left[\begin{array}{c}
-\sin \theta \\
\cos \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

解方程得到：
$$
\begin{array}{r}B=-\sin \theta \\ D=\cos \theta \end{array}
$$

因此，坐标旋转公式为
$$
A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]
$$

这意味着一个图形如果乘以选择矩阵，则图形进行旋转。

特别的，如果取$\theta= \frac{\pi}{2}$ 则旋转矩阵变成

$$
A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc}
 \dfrac{\sqrt{2}}{2} & - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
 \dfrac{\sqrt{2}}{2} &  \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right]
$$

上面是常用的一个旋转45度矩阵。

$$
\begin{aligned}
A ^2= & {\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\
\sin 2 \theta & \cos 2 \theta
\end{array}\right] } \\
A ^3= & {\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\
\sin 2 \theta & \cos 2 \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\cos 3 \theta & -\sin 3 \theta \\
\sin 3 \theta & \cos 3 \theta
\end{array}\right] } \\
& \vdots \\
A ^n & =\left[\begin{array}{cc}
\cos n \theta & -\sin n \theta \\
\sin n \theta & \cos n \theta
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

特别的
$$
A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc}
 \dfrac{\sqrt{2}}{2} & - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
 \dfrac{\sqrt{2}}{2} &  \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right]
\cdot
A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc}
 \dfrac{\sqrt{2}}{2} & - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
 \dfrac{\sqrt{2}}{2} &  \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right]=?
$$

$A_{\text {rotate }} \cdot A_{\text {rotate }}$ 表示矩阵旋转两次，也就是角度为90度，不用计算，仔细思考上面结果是多少

上面可以推广到三维，例如
$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
\cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\
\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$
就是空间图形绕Z周旋转矩阵。

## 切变矩阵
一本书实以水平的力，会发生切变
 ![图片](/uploads/2025-03/4df9ea.jpg)
 
 在平面上，一个正方形受到了一个 $x_1$ 轴方向的水平切变力，切变表现为，其力偶作用由正方形变成一个等底，等高的平行四边形。其中，点 $P_1\left(x_1, x_2\right)$ 为正方形的任意一点，点 $P_2\left(x_1{ }^{\prime}, x_2{ }^{\prime}\right)$ 是切变后 $P_1$ 点所对应的平移点。
  ![图片](/uploads/2025-03/bcc67e.jpg)
  
  由切变的意义，在从点 $P_1$ 到点 $P_2$ 的切变过程中，纵坐标 $x_2$（高度）不会发生变化，即 $x_2{ }^{\prime}=x_2$ ；横坐标 $x_1$ 会向右（力的方向）平移一段距离 $P_1 P_2$ 。如果把切变的变化量用一个变化的夹角来度量，就可以得到 $P_1 P_2=x_2 \tan \theta$（见图（b），因为两个三角形全等：$\triangle o A x_2 \cong \Delta x_1 P_2 P_1$ ），因此横坐标的变化关系为 $x_1{ }^{\prime}=x_1+x_2 \tan \theta$ 。把 $\tan \theta$ 简写为一个变量 $k(k \in R )$ ，则有 $\left\{\begin{array}{l}x_1{ }^{\prime}=x_1+k x_2 \\ x_2{ }^{\prime}=x_2\end{array}\right.$ ，将其改写成矩阵／向量的表达式

$$
\binom{x_1^{\prime}}{x_2^{\prime}}=\left[\begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & 1
\end{array}\right]\binom{x_1}{x_2}
$$

类似地，如果正方形切变的方向是竖直 $x_2$ 轴的方向，那么变化前后的坐标表达式为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1^{\prime}=x_1 \\
x_2^{\prime}=k x_1+x_2
\end{array} \text { 或 }\binom{x_1^{\prime}}{x_2^{\prime}}=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
k & 1
\end{array}\right]\binom{x_1}{x_2}\right.
$$

> 因此，一个矩阵乘以矩阵 $\left[\begin{array}{ll}1 & k \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ k & 1\end{array}\right]$ 将发生切边。
 
我们称 $\left[\begin{array}{ll}1 & k \\ 0 & 1\end{array}\right]$  为切变矩阵。

如果仔细观看，上面二维的可以推广到三维的，比如乘以
$$
=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & k & 1
\end{array}\right]
$$
就是验证$y,z$ 方向切边

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