最后更新: 2025-03-15 08:19 查看: 267 次反馈同步训练

矩阵乘法的意义：线性变换

### 引言
> 下课时间到了，在嘈杂的教室里，每个同学都在开心的大笑或者说话，但是在这种复杂的环境下，你闭着眼睛还是能够感觉到哪个是小明的声音，哪个是小强的声音。我们对这个现象已经习以为常，学过高中物理的我们知道，声音是一种波，每个人说的话都是一种声波，当多个声波在空气里传播时，**彼此不受干扰**，因此你能分辨初小明和小强的声音。矩阵乘法从本质上说与此类似，两个矩阵相乘，可以认为是对空间图形的线性变换。本节涉及到空间向量知识，如果对向量不了解，可以学过向量后，再来学习本文。

矩阵的乘法，**从不同的角度考虑会有不同的解释**，本章前面给出的物理解释和经济学解释都是理解矩阵乘法的一种思维，但是，目前业界最主要的解释还是从线性变换来理解矩阵乘法。

对于一个向量，对其变形主要包括两种变换模式： 向量缩放与向量旋转(平移可以认为是矩阵的加法)。

## 向量平移
向量平移可以认为对向量做“加法”，很遗憾，向量平移改变了向量的“线性性质”，为了解决这个问题，我们需要进行“升维”，比如二维平移可以看成三维变换，具体可以参见 [平移矩阵，旋转矩阵，缩放矩阵，线性变换，仿射变换，齐次坐标](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1859)

## 向量缩放

缩放变换中，如果一个图片以原点 $(0,0)$ 为中心缩放 $s$ 倍。那么点 $(x, y)$ 变换后数学形式可以表示为

$$
\begin{aligned}
& x^{\prime}=s x \\
& y^{\prime}=s y
\end{aligned}
$$

写成矩阵形式为：

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

当然，我们也可以给 x 轴和 y 轴不同的缩放倍数 $s x$ 和 $s y$ 。在非均匀情况下，缩放变换的矩阵形式为

$$
\boxed{
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right] ...(\text{图像缩放公式})
}
$$

下图展示了图像缩放示意图
 ![图片](/uploads/2025-03/802f48.jpg){width=600px}
 
 仔细看上面这个矩阵，可以发现他是一个 [对角形矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=470) 即：主对角线有元素，其它元素都是0的矩阵，记住这种矩阵，他在线性变换里非常重要，想象一个三维向量 $a=(1,2,3)$ 乘以一个对角线矩阵，相当大这个矩阵对这个向量的三个维度分别进行了变换。(注意：这里的乘法我们默认都是说的左乘)
 
 `例` 下面矩阵乘法显示一个向量$[1,1]$ 乘以一个矩阵后，变成 $[2,1]$
 **一个向量左乘对角阵相当于对向量各维坐标值进行缩放，缩放的比例就是对角阵元素的值**。当然了，这里的向量缩放这里也可以看成坐标轴进行缩放，两者是等价的
 
 $$
 \left[\begin{array}{ll}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
2 \\
1
\end{array}\right]
$$

从几何意义上看，向量从$\vec{AB}$ 变成$\vec{AC}$

你也可以从物理上理解，一个物体原先速度为$(1,1)$,他分解为最平速度为1，和垂直速度1，乘以矩阵后，水平速度变成了2，而垂直速度仍然是1.

![图片](/uploads/2025-03/f51577.jpg){width=500px}

## 图像旋转
 我们默认旋转变换（Rotate）都绕着原点$ (0, 0)$ 旋转，并且默认旋转方向为逆时针方向（逆时针方向旋转角度值为正，顺时针旋转角度值为负），当一个点 $(x,y)$绕着原点$(0,0)$旋转$\theta$角时，变换矩阵可以表示为：
 
 $$
 \boxed
 {
 \left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]  ...(\text{图像旋转公式})
}
$$
 
### 证明

我们在直角坐标系中绘制一个边长为 1 的正方形，点 $A$ 坐标为 $(1,0)$ ，点 $B$ 坐标为 $(0,1)$ 。正方形沿着原点 $(0,0)$ 旋转的角度为 $\theta$ 角 参考下图。
 ![图片](/uploads/2025-03/09a917.jpg){width=500px}

我们设原坐标里任一点$(x,y)$ 经过旋转后，在新坐标为$(x',y')$,现在找一下新旧坐标系下“点”的关系。

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

接下来去两个特殊点，代入点 $A$ 的的值 $(1,0)$ 可以得到：

$$
\left[\begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right]
$$

解方程得到：
$$
\begin{aligned}
& A=\cos \theta \\
& C=\sin \theta
\end{aligned}
$$

代人点 $B$ 的的值 $(0,1)$ 可以得到：

$$
\left[\begin{array}{c}
-\sin \theta \\
\cos \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

解方程得到：
$$
\begin{array}{r}B=-\sin \theta \\ D=\cos \theta \end{array}
$$

因此，坐标旋转公式为
$$
A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]
$$

下图显示了一个图形旋转
 ![图片](/uploads/2025-03/4c1896.jpg){width=600px}

`例` 考虑$\theta=45^{\circ}$ 时, $\cos \theta=\sin \theta= \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,此时旋转矩阵$A$为
 
 
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right]
$$

这意味着任何一个向量乘以该矩阵将旋转$45^{\circ}$

## 矩阵的旋转与缩放
在一维里，一个向量乘以$-1$表示逆时针旋转$180$度，在二维复平面里，引入了虚数单位$i$,当一个数乘以$i$后，相当于逆时针旋转$90$度。由此，可以对其扩展。

一个矩阵乘以一个向量, 一般将会对向量的几何图形进行旋转和伸缩变化。常见的一个例子就是旋转矩阵, 旋转矩阵只对向量进行旋转变化而没有伸缩变化。例如, 二阶旋转矩阵 $\boldsymbol{A}$ :

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]
$$

首先看一下旋转矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对单位向量 $\boldsymbol{i}=(1,0), \boldsymbol{j}=(0,1)$ 的作用效果:

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{A i}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\binom{1}{0}=\binom{\cos \theta}{\sin \theta} \\

\end{gathered}
$$

$$\quad$$

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{A j}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\binom{0}{1}=\binom{-\sin \theta}{\cos \theta}=\binom{\cos (\theta+\pi / 2)}{\sin (\theta+\pi / 2)}
\end{gathered}
$$

再结合下图, 可以看出, 旋转矩阵对单位向量 $\boldsymbol{i} 、 \boldsymbol{j}$ 确实分别逆时针旋转了一个 $\theta$ 角度。旋转后的两个向量 $A i$ 和 $A j$ 保持长度不变和夹角不变。或者说，向量 $i \rightarrow A i$ 长度不变，角度逆时针增加了 $\theta$ 度；向量 $\boldsymbol{j} \rightarrow \boldsymbol{A} \boldsymbol{j}$ 长度不变, 同时同向角度增加了 $\theta$ 度。

![图片](/uploads/2025-03/71eeda.jpg){width=600px}
 
 
 然后, 我们考察旋转矩阵 $\boldsymbol{A}$ 把任意向量 $\boldsymbol{c}$ 变换到 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{c}$ 的情形。对于任意向量 $\boldsymbol{c}$, 我们知道,可以分解为单位向量的线性表示:

$$
\boldsymbol{c}=\binom{c_1}{c_2}=c_1\binom{1}{0}+c_2\binom{0}{1}=c_1 \boldsymbol{i}+c_2 \boldsymbol{j}
$$

那么, 旋转矩阵作用于向量 $\boldsymbol{c}$ 的式子为

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{c}=\boldsymbol{A}\left(c_1\binom{1}{0}+c_2\binom{0}{1}\right)=c_1 \boldsymbol{A}\binom{1}{0}+c_2 \boldsymbol{A}\binom{0}{1}=c_1 \boldsymbol{A} \boldsymbol{i}+c_2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{j}
$$

对比上式 ,上面提到，一个向量乘以旋转矩阵$A$，长度不变，方向选择$\theta$角度，所以 分向量 $c_1 i \rightarrow c_1 A i$ 长度不变, 角度逆时针增加了 $\theta$ 度; 分向量 $c_2 \boldsymbo

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