最后更新: 2025-10-12 11:59 查看: 392 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵重要公式汇总

## 矩阵的初等变换
**性质1** 一个非零常数乘矩阵的某一行 (列)
**性质2** 互换矩阵中某两行 (列) 的位置
**性质3** 矩阵的某一行 (列) 的  $k$ 倍加到另一行 (列)

## 矩阵转置性质
$\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$.
           $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$.
          
$(\lambda \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}=\lambda \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$.

$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$.

重要作用：
① 求解$XA=C$ 方程，详见[逆矩阵解方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3245)
② 判断对称矩阵，即$\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)=\boldsymbol{A}$.

## 伴随矩阵性质

> 伴随矩阵一般不满足 $ (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^* \neq \boldsymbol{A}^*+\boldsymbol{B}^* $

$\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$..
          
          
  $(k \boldsymbol{A})^*=k^{n-1} \boldsymbol{A}^*(n \geq 2)$.

$(\boldsymbol{A B})^*=\boldsymbol{B}^* \boldsymbol{A}^*$.

$\left|\boldsymbol{A}^*\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}(n \geq 2)$.
          
$\left(A^*\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^*=\frac{1}{|A|} A$.
          
        
$\left(\boldsymbol{A}^*\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^*$.
          
$\left(\boldsymbol{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}(n \geq 3)$.

## 矩阵可逆与不可逆的充分必要条件
### 矩阵A可逆
> 所谓可逆，就是可倒(虽然我们从不这么叫，但是这样类比容易记忆)，即$ax=b$里，$a$有倒数，$a$有倒数要求$a\ne0$, 你或者就把$a$当做数字2看待，此时 $2 \ne 0$, $2$ 可以变换为 $1$(即单位矩阵$E$)，方程$2x=b$有唯一解（不管$b$是否为零）,他是满秩，且秩为$n$

①$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆 
$\Leftrightarrow|\boldsymbol{A}| \neq 0$  
$\Leftrightarrow A B=E($ 或 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ）  
$\Leftrightarrow \mathrm{r}(A)=n$ 
$\Leftrightarrow A^*$ 可逆 
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 可以表示为若干初等矩阵的乘积 
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 等价 
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解 
$\Leftrightarrow \forall \boldsymbol{b}, \quad \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解 
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组线性无关 
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 的特征值都不为 0 . 
 
### 矩阵$A$不可逆
> 矩阵$A$不可逆，就是$0x=b$，如果$b=0$ 就变成$0x=0$他有非零解，如果，如果$b$不等于零，就变成 $0x=1$ 方程组无解。

② $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆
$\Leftrightarrow|\boldsymbol{A}|=0$
$\Leftrightarrow \mathrm{r}(\boldsymbol{A})< n $
$\Leftrightarrow A x=0$ 有非零解
$\Leftrightarrow \boldsymbol{A}$ 的列 (行) 向量组线性相关
$\Leftrightarrow 0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值.

重要作用：判断方程组有没有解，典型例题 问 $\lambda$ 取何值时，下面的齐次线性方程组有零解？有非零解？有无穷多解并求出其基础解系。
$$
\left\{\begin{array}{l}
\lambda x_1+x_2+3 x_3=0 \\
x_1+(\lambda-1) x_2+x_3=0 \\
x_1+x_2+(\lambda-1) x_3=0
\end{array}\right.
$$

## 可逆矩阵的性质      
   
(1) 若 $\boldsymbol{A}$ 可逆, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 亦可逆, 且 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}$. 
(2) 若 $\boldsymbol{A}$ 可逆, 则 $k \boldsymbol{A}(k \neq 0)$ 亦可逆, 且 $(k \boldsymbol{A})^{-1}=\frac{1}{k} \boldsymbol{A}^{-1}$. 
(3) 若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 可逆, 则 $A B$ 亦可逆, 且 $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$. 
(4) 若 $\boldsymbol{A}$ 可逆, 则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 亦可逆, 且 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}$. 
(5) $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=\dfrac{1}{|\boldsymbol{A}|}$.

> 注：一般的$(A+B)^{

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