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矩阵乘法的应用题(期末考试)

## 经济学中的应用
`例`某地区有三个公司： $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ ，每个公司都生产 I ，II，III，IV 四种产品．已知每个公司的日产量（单位：个）、每种产品的单价（元／个）和单位利润（元／个），见表2．1和表 2.2 ，求每个公司的总收入与总利润．
 ![图片](/uploads/2025-09/0b3b21.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-09/2c3b62.jpg)
 
 解：根据总收入等于总产量乘以产品单价，总利润等于产品总量乘以单位利润，可得表 2．3：
  ![图片](/uploads/2025-09/bf9b2a.jpg)
 
 上面的三个数表可以用三个矩阵表示，设

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}
20 & 30 & 10 & 45 \\
15 & 10 & 70 & 20 \\
20 & 15 & 35 & 25
\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}
100 & 20 \\
150 & 45 \\
300 & 120 \\
200 & 60
\end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc}
18500 & 5650 \\
28000 & 10350 \\
19750 & 6775
\end{array}\right]
$$

矩阵 $\boldsymbol{C}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的乘积，即 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ ．

## 其它学科的应用
生态学、经济学和工程学等许多领域中经常需要对随时间变化的动态系统进行数学建模。系统中的某些量按离散时间间隔测量，于是产生了向量序列 $\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots, \boldsymbol{x}_k$ 。其中的元素 $\boldsymbol{x}_k$ 给出了第 $k$ 次测量时系统状态的有关信息。

如果存在矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，使得 $\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{A} x_1$ ，以此类推，

$$
\boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_k, \quad k=0,1,2, \cdots ...(2.2.9)
$$

则称（2．2．9）为一个线性差分方程（linear difference equation）或者递归方程（recurrence relation）。给定这样一个方程，如果已知 $\

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【高等数学】差分方程

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