最后更新: 2025-03-05 08:38 查看: 100 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

一文让你通俗理解奇异值分解SVD

## 一文让你通俗理解奇异值分解SVD
特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。

奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。

在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing）

## 特征值与奇异值 
特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，接下来会谈到特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，**就是提取出一个矩阵最重要的特征**。先谈特征值分解。

### 特征值

如果说一个向量 v 是方阵 A 的特征向量，将一定可以表示成下面的形式：

$$
A v=\lambda v
$$

这时候入就被称为特征向量 $v$ 对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式：

$$
A=Q \Sigma Q^{-1}
$$

其中 $Q$ 是这个矩阵 $A$ 的特征向量组成的矩阵，$\Sigma$ 是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。我这里引用了一些参考文献中的内容来说明一下。

首先，要明确的是，一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。比如说下面的一个矩阵：

$$
M=\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$
它其实对应的线性变换是下面的形式：
 ![图片](/uploads/2025-03/cb33ce.jpg)
 
 因为这个矩阵M乘以一个向量(x,y)的结果是：
 $$
\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
3 x \\
y
\end{array}\right]
$$

上面的矩阵是对称的，所以这个变换是一个对 $x, ~ y$ 轴的方向一个拉伸变换（每一个对角线上的元素将会对一个维度进行拉伸变换，当值 $>1$ 时，是拉长，当值 $<1$ 时时缩短），当矩阵不是对称的时候，假如说矩阵是下面的样子：

$$
M=\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$

它所描述的变换是下面的样子：
 ![图片](/uploads/2025-03/8e14de.jpg)
 
 这其实是在平面上对一个轴进行的拉伸变换（如蓝色的箭头所示），在图中，蓝色的箭头是一个最主要的变化方向（变化方向可能有不止一个），如果我们想要描述好一个变换，那我们就描述好这个变换主要的变化方向就好了。反过头来看看之前特征值分解的式子，分解得到的Σ矩阵是一个对角阵，里面的特征值是由大到小排列的，这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向（从主要的变化到次要的变化排列）。

考虑更一般的非对称矩阵：

$$
M=\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$

很遗憾，此时我们再也找不到一组网格，使得矩阵作用在该网格上之后只有拉伸变换（找不到背后的数学原因是对一般非对称矩阵无法保证在实数域上可对角化，不明白也不要在意）。

我们退而求其次，找一组网格，使得矩阵作用在该网格上之后允许有拉伸变换和旋转变换，但要保证变换后的网格依旧互相垂直，这是可以做到的，如下图所示。
 ![图片](/uploads/2025-03/dc40d0.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-03/a7cfd7.jpg)
  
  简言之，当矩阵是高维的情况下，那么这个矩阵就是高维空间下的一个线性变换，这个变换也同样有很多的变换方向，我们通过特征值分解得到的前N个特征向量，那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向。我们利用这前N个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。

也就是之前说的：提取这个矩阵最重要的特征。总结一下，特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么，可以将每一个特征向量理解为一个线性的子空间，我们可以利用这些线性的子空间干很多的事情。不过，特征值分解也有很多的局限，比如说变换的矩阵必须是方阵。

下面我们就可以自然过渡到奇异值分解的引入。

## 奇异值 
下面谈谈奇异值分解。特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但是它只是对方阵而言的，在现实的世界中，我们看到的大部分矩阵都不是方阵，比如说有N个学生，每个学生有M科成绩，这样形成的一个N * M的矩阵就不可能是方阵，我们怎样才能描述这样普通的矩阵呢的重要特征呢？奇异值分解可以用来干这个事情，奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法：

$$
A=U \Sigma V^T
$$

假设A是一个 $N$＊M的矩阵，那么得到的U是一个 $N$＊$N$ 的方阵（里面的向量是正交的，U里面的向量称为左奇异向量），$\Sigma$ 是一个 $N$＊$M$ 的矩阵（除了对角线的元素都是 0 ，对角线上的元素称为奇异值）， $V ^{\prime}( V$ 的转置 $)$ 是一个 $N

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