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线性代数
第二篇 矩阵
奇异值分解(SVD)介绍和可视化理解
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更新:
2025-03-05 08:16
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奇异值分解(SVD)介绍和可视化理解
## 介绍 终于有机会来介绍我在线性代数中最喜欢的技术——奇异值分解 (SVD),从某种程度上来说,这可能是线性代数中最具有理论意义和实用价值的技术了,虽然很遗憾我在本科毕业后大概两年才理解到这一点,这种技术可以对任何矩阵适用,不仅仅是方阵,对一般的矩形矩阵也是适用的,仅以我的知识层面而言,SVD的应用就包括,例如推荐系统中的协同滤波和图像处理领域的图像压缩。我们在这期推送中,有机会向大家介绍这种技术,好了,让我们开始吧。 ## 奇异值分解 ($SVD$) 首先,什么是$SVD$,你如何表示它?在数学中,我们可以将任何一个矩阵A做奇异值分解,用数学符号表示如下 $$ A=USV^T ...(1) $$ 这里: 1. $U$ 是一个 $n \times n$ 正交矩阵,其列叫做 $A$ 的**左奇异向量**。 2. $V$ 是一个$d \times d$ 正交矩阵,其列叫做 $A$ 的**右奇异向量**。 3. $S$ 是一个 $n \times d$ 对角矩阵,对角线上具有非负数字,我们通常将这些数字从大到小排序,人们给这些数字一个名称叫做 $A$ 的**奇异值**。 为了更清楚地介绍上面的名词,我们说如果存在满足下面公式的向量 $u$ 和 $v$ ,则向量 $u$ 和 $v$ 称为**奇异向量**。 $\sigma$ 叫做是一个**奇异值**。 $$ A v=\sigma u ...(2) $$ 我们要仔细观察一下方程(1)和方程(2),事实上他们表达的是同一个意思,我们注意到因为 $v$是正交矩阵,所以它的逆矩阵就是其转置矩阵,注意到这一点,我们就知道了方程(1)事实就是(2)的紧凑的矩阵形式,因此,每个奇异向量都有一个对应的奇异值。下面我们来进行可视化,颜色相同的列表示对应的奇异值和向量,如下图所示。 方程
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