最后更新: 2025-11-06 14:02 查看: 79 次纠错评论(0) 课件开VIP

平面向量与空间向量

## 平面向量
想象在纸面上，有一直蚂蚁沿着45度角在平面以$\vec{v}$速度运行，根据高中物理知识，他的速度可以分解为 $\vec{v_1}$ 和 $\vec{v_2}$
然而，现实实验告诉我们，不能直接把速度分解为两个分量之和，必须使用平行四边形法则才可以，即
$\vec{v}=\vec{v_1} +\vec{v_2} ...(1)$
必须符合平行四边形法则。
 ![图片](/uploads/2025-11/515e20.jpg){WIDTH=300PX}

> 对于向量的处理，其实我们并没有好的方法，我们唯一能做的就是：分解。把速度分解到坐标系上，用坐标轴的分量来表示向量。

上面(1)式这种表示不太容易后期的运算，所以，可以直接在每个分量上加一个字母表示，即
 $$
 \boldsymbol{v}=v_1 \boldsymbol{i} +v_2 \boldsymbol{j} ...(2)
 $$
 
 这里的$i,j$并没有什么特别多含义，仅是一种约定，如果你用$m,n$也可以，只是大家都习惯了这种约定，在不影响混淆的情况下，粗体甚至还可以忽略。
 
即（2）可以写成
$$
 \boldsymbol{v}=v_1 i +v_2 j ...(3)
$$

有时候使用括号表示

$$
 \boldsymbol{v}=(v_1,v_2) ...(4)
$$

或 尖括号
$$
 \boldsymbol{v}=<v_1,v_2> ...(5)
$$

(1)~(5) 表示的意思都是一样，这仅仅表示的一种记法。

## 向量的坐标运算

使用坐标表示向量，最大的好处就是把向量运算分解并变成各个坐标分量上的运算。详见 高中数学 [向量的坐标表示](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1342)

比如现在有2只蚂蚁，蚂蚁1的速度是 $v_1=v_1i+v_2j$，蚂蚁2的速度是 $v_2=v_3i+v_4j$ ，要求两个蚂蚁的速度差，直接使用坐标值相减即可，即
$$
v_1-v_2=((v_1-v_3)i,(v_2-v_4)j)
$$

我们知道两个速度相减后仍然是矢量，而上面等式右边正好也是矢量，所以，使用坐标分解给后期运算带来极大的方便。

![图片](/uploads/2025-11/d037fa.jpg){WIDTH=300PX}

### 向量内积
已知两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，我们定义他们的内积为

$$
\boldsymbol{a \cdot b}=|a||b| \cos \theta
$$

其中称 $|\boldsymbol{a}| \cos \theta$ 为 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的**投影**。

$a$,$b$的内积等于向量$a$得模乘以向量$b$的模，再乘以两个向量夹角的余弦值。

当然，你也可以理解 $|\boldsymbol{b}| \cos \theta$ 为$\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影。

![](../uploads/2022-10/1fb332.jpg)
 
向量内积可以直接使用坐标运算，即
 $$
 \vec{a}=\{x_1,y_1\}, \vec{b}=\{x_2,y_2\}
 $$
 那么，向量的内积就是
 $a \cdot b = x_1 x_2 +y_1y_2$
 
 > 向量的内积结果是一个数量。他本质是表示一个向量的投影在另外一个向量上投影的长度。
 
 如果内积为零，则表示向量垂直。反之也成立，即向量垂直则内积为零。详见 [高中向量内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)
 
### 向量的外积
设向量 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和向量 $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ 是三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中的两个向量，它们的外积 $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，其定义如下：
• **坐标表示**：
$\vec{a} \times \vec{b}=(a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$
• **行列式表示**：
$$
\vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
$$
其中 $\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$ 分别是 $x$，$y$，$z$ 轴正方向上的单位向量。根据行列式的展开法则，可得到与坐标表示相同的结果。
向量外积的意义可以参考 [高等数学向量外积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=355)

## 三维向量
把二维向量推广到空间就是三维向量，想象三维空间里的力，如下图：力$\boldsymbol{F}$ 可以沿着$X,Y,Z$坐标轴进行分解， 设力$F$与$x$轴夹角为$\alpha$（图中未画出）, 与$y$轴夹角为$\beta$（图中未画出）,  与$z$轴夹角为$\gamma$ ,同时用$i,j,k$ 分别表示 $x,y,z$轴的单位
 ![图片](/uploads/2025-01/20a58d.svg){width=300px}
 
 这样，就可以得到力$F$在三维空间上的分解的表示方法：
 
 $$
 \boxed{
 {F}= F cos \alpha i + F \cos \beta j +F cos \gamma k
 }
 $$
 这就是空间向量的**代数式表示**方法。
 
 另外一种方法是，写成**坐标形式**，写成尖括号形式
 $$
 \boxed{
 {F}= < F cos \alpha, F \cos \beta ,F cos \gamma k >
 }
 $$
基本上和二维一样，其它的概念也是二维的推广。

### 向量交
这里比较重要的一个概念是向量角，考虑空间一个向量，他的三个角度，通常使用余弦表示，详见 [向量角余弦](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=353) 
![img-text](/uploads/2022-12/image_202212301d2a95f.png)

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