最后更新: 2025-11-06 14:53 查看: 175 次纠错评论(0) 课件开VIP

向量场的通量与散度

## 引子

想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 此时管口和水流平行，水的流量为零
 ![图片](/uploads/2025-01/9477a8.svg){width=400px}
 
 仔细观察 $V=vS \cos \theta \Delta t$ 
 
①如果你这样打括号$V=v (S \cos \theta) \Delta t$, 他的意义是水流速度不变，而通过得面积为有效面积。

②如果你这样打括号$V=(v \cos \theta ) S  \Delta t$, 他的意义是面积不变，但是水流速度分解为垂直截面的速度和平行截面的速度。

这两个理解都对，所以他们的结果是一样的。

现在我们对上面写成向量的形式：

![图片](/uploads/2025-01/e5c9f6.jpg){width=300px}

设 $\vec{F}$ 表示流体的速度，$t$ 表示时间 ,$\vec{n}$ 表示平面微元的法向量。
 $\vec{F} \Delta t$ 表示 $\Delta t$ 时间里通过的流量。
通过橘色 $\Delta S$ 区域的流量就是

$$
\frac{\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta t \Delta s}{\Delta t}=\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta s
$$

上面是一个“单位微元”通过的流量大小，要计算通过整个面积的流量，只要进行二重积分即可，上面图形是规则的，如果是任意一个弯曲面呢？为此我们还要引入一个法向量。

## 向量场的通量与散度
设 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{F}(M)$ 是给定的一个向量场．又假定 $S$ 是一个双侧曲面，并取定了一侧。设 $\boldsymbol{n}$ 是 $S$ 在指定一侧的单位法向量，那么 $\boldsymbol{F}(M)$ 在 $S$ 上按指定一侧的第二型曲面积分

$$
\iint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{~d} S
$$

的值通常称作向量场 $\boldsymbol{F}$ 通过曲面 $S$ 在指定一侧的通量．
之所以称为通量是将向量场 $\boldsymbol{F}$ 看作流速场的结果．当 $\boldsymbol{F}$ 是流速场时，上述积分的值恰好是在单位时间内流过 $S$ 的流量的代数和。这是因为 $\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}=|\boldsymbol{F}| \cos \langle\boldsymbol{F}, \boldsymbol{n}\rangle$ 有可能为正，有可能为负，这要由向量场 $\boldsymbol{F}$ 与法向量 $\boldsymbol{n}$的夹角是否是锐角来决定。

当 $S$ 是一个闭曲面，而法向量取成外法向量时，通量实际上就是曲面上整体的流出量与流入量之差。当通量大于零时，意味着流出的量多于流入的量，而通量小于零时则相反．通量为零意味着流入量等于流出量．

现在我们用通量来解释散度的概念。
设 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是向量场 $\boldsymbol{F}=(P, Q, R)$ 中的一点，又设 $V$ 是包含 $M_0$的一个区域，其边界 $S$ 是光滑曲面，在 $S$ 上取定单位外法向量 $\boldsymbol{n}$ ．当 $P, Q, R$满足高斯定理的条件时便有

$$
\oint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{~d} S=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} V,
$$

或写成

$$
\oint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{~d} S=\iiint_V \operatorname{div} \boldsymbol{F} \mathrm{~d} V
$$

由积分中值定理立刻推出，

$$
\iiint_V \operatorname{div} \boldsymbol{F} \mathrm{~d} V=\left.\operatorname{div} \boldsymbol{F}\right|_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{y})} \cdot m(V),
$$

其中 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ 是 $V$ 之一点，而 $m(V)$ 表示 $V$ 的体积．这样当积分区域 $V$ 缩成一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 时，通量的平均值的极限即是 $\operatorname{div} \boldsymbol{F}$ 在 $M_0$ 的值：

$$
\left.\operatorname{div} \boldsymbol{F}\right|_{M_0}=\lim _{V \rightarrow M_0} \frac{\oint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{~d} S}{m(V)} .
$$

由此可见，散度在一点的值在一定意义上可看作是在该点附近单位体积内的通量．若散度在一点大于零，表明在该点附近流向该点的量少于自该点流出的量，我们称该点为＂源＂．而若散度在一点处小于零，则表明在该点附近流向该点的量多于自该点流出的量，我们称该点为＂漏＂。散度为零的点则既非＂源＂也非＂漏＂。

若向量场 $\boldsymbol{F}$ 使得散度 $\operatorname{div} \boldsymbol{F}(M) \equiv 0$ ，则向量场 $\boldsymbol{F}$ 称为**无源场**，也称为**管形场**．

>  $\operatorname{div} \boldsymbol{F}(M) >0 $ 表示向外辐射能量，如果$\operatorname{div} \boldsymbol{F}(M) < 0 $ 表示从外界吸收能量，更通俗的叫法是黑洞。 而 $\operatorname{div} \boldsymbol{F}(M) = 0 $表示既不吸收能量也不释放能量，比如水均匀直线运动。能量保持守恒。

**若 $\boldsymbol{F}$ 为无源场，则通过该场中任何一个闭曲面沿外法向之通量为零．从数学上看这是高斯公式之推论。从物理上看，在无源无漏的场中流入一个闭曲面的量等于流出这个闭曲面的量。这便是物质不灭定律的反映**。

我们之所以把散度恒为零的场称为管形场，是因为在这样的场中，任取一个向量管（即由向量线所组成的管形曲面，见下图），穿越这个向量管的任意一个截面的通量是一个常数。
 ![图片](/uploads/2025-11/435ca8.jpg)
 
 也即，若 $\boldsymbol{F}$ 是一个无源向量场，并假定 $S_1$及 $S_2$ 是其中一个向量管的两个截面，如上图．在 $S_1$ 及 $S_2$ 上分别选定单位法向量 $\boldsymbol{n}_1$ 及 $\boldsymbol{n}_2$ ，其指向与 $\boldsymbol{F}$ 在 $S_1$ 或 $S_2$ 上的指向相同，则通过 $S_1$ 及 $S_2$ 的通量相等，也即

$$
\iint_{S_1} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}_1 \mathrm{~d} S=\iint_{S_2} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}_2 \mathrm{~d} S .
$$

> 你也可以这样想，水通过管道，假设水没有旋转，这样就没有能量损失，那么在$S_1$处面积小则水流速度快，在$S_2$处面积大则水流速度慢，这样速度和面积的双重作用导致任意界面能量都是常数。

事实上，设 $V$ 是 $S_1$ 及 $S_2$ 所夹向量管的部分，又设 $S$ 为 $V$ 之表面， $\boldsymbol{n}$ 为 $S$ 的单位外法量。这时在 $S_1$（或 $S_2$ ）上 $\boldsymbol{n}$ 与 $\boldsymbol{n}_1$（或 $\boldsymbol{n}_2$ ）方向相反，不妨设在 $S_1$上 $\boldsymbol{n}=-\boldsymbol{n}_1$ ．由高斯公式有

$$
\iint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{~d} S=\iiint_V \operatorname{div} \boldsymbol{F} \mathrm{~d} V=0
$$

也即

$$
-\iint_{S_1} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}_1 \mathrm{~d} S+\iint_{S_2} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}_2 \mathrm{~d} S+\iint_{S^{\prime}} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d} S=0
$$
其中 $S^{\prime}$ 是 $V$ 之侧面（即 $S^{\prime}=S -\left\{S_1 \cup S_2\right\}$ ）．很容易看出在 $S^{\prime}$ 上 $\boldsymbol{F}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 垂直，故上述等式中第三个积分为零。这就证实了我们的结论。

根据记号

$$
\nabla=\frac{\partial}{\partial x} i+\frac{\partial}{\partial y} j+\frac{\partial}{\partial z} k
$$

可将向量场 $\boldsymbol{F}=P \boldsymbol{i}+Q \boldsymbol{j}+R \boldsymbol{k}$ 的散度

$$
\operatorname{div} \boldsymbol{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$

形式地写成 $\nabla$ 点乘 $\boldsymbol{F}$ ，即

$$
\operatorname{div} \boldsymbol{F}=\nabla \cdot \boldsymbol{F}
$$

### 散度的运算基本规则
（1） $\operatorname{div}(\lambda \boldsymbol{F})=\lambda \operatorname{div} \boldsymbol{F}, \forall \lambda \in \boldsymbol{R}$ ；
（2） $\operatorname{div}\left(\boldsymbol{F}_1 \pm \boldsymbol{F}_2\right)=\operatorname{div} \boldsymbol{F}_1 \pm \operatorname{div} \boldsymbol{F}_2 ;$
（3） $\operatorname{div}(\varphi \boldsymbol{F})=\varphi \operatorname{div} \boldsymbol{F}+\boldsymbol{F} \cdot \operatorname{grad} \varphi$ ，其中 $\varphi$ 是一个数量场；
（4）div $\operatorname{grad} \varphi=\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}$ 或写作

$$
\nabla \cdot \nabla \varphi=\Delta \varphi
$$

其中 $\Delta$ 为**拉普拉斯算子**：

$$
\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$

这里的规则（1）与（2）是显然的事实，而（3）与（4）可以直接计算验证．

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