最后更新: 2025-06-23 05:57 查看: 47 次反馈同步训练

流量与功

## 理解：标量场与矢量场
### 标量场
假设有一个**标量函数**
$$
f(x,y,z)=x^2+y^2-z  ...(1)
$$

你可以把这个函数想象为空间里温度的表达式，给定三维空间里一个点坐标$(x,y,z)$，就可以获得该点对应的温度值，

例如取 $f(1,1,1)=1^2+1^2-1=1$ 则表示在空间坐标为 $(1,1,1)$的位置温度为1度，以此类推。

![图片](/uploads/2025-04/e29d00.jpg){width=400px}

### 矢量场
对于上面的温度，很多时候我们并不关心该点的温度的大小，而更关心该点“**温度变化趋势**”，很明显，**只要两点有温度差，温度就会从高温传递到低温，而且直觉告诉我们，高温会选择最快的方向流向低温**。

我们对$f$分别向坐标轴求偏导，就会得到3个数，这3个数组成一个向量，我们称呼他为“梯度”。 比如要求上面函数在(1,1,1)这点的梯度，只要把该函数分别对$x,y,z$求偏导再带入该点的坐标轴值即可得到。
$x=\frac{\partial P}{\partial x}=2x=1$
$y=\frac{\partial Q}{\partial x}=4y=4$
$z=\frac{\partial R}{\partial z}=6z=6$

所以，$f(x)$ 在$P(1,1,1)$的梯度就是$\vec{OP}=(1,4,6)$ ，换句话说，**在$P(1,1,1)$点的温度，沿着$(1,4,6)$ 方向温差变化最大**。如下图所示。

![图片](/uploads/2025-06/79ccc9.jpg){width=300px}

在[高中向量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=755)里介绍过，**大小相等方向相同**的两个向量是相等向量,换句话说，向量可以平移，在上图温差向量里，向量的起点放在了坐标原点A，我们可以把向量起点A平移到P点，以便更方便显示该P点温差的方向。
把每一点的向量生成出来（**即温差标出来**），就是该标量函数(我们称作势函数)对应的向量场。
 
  ![图片](/uploads/2025-01/96c9f5.jpg){width=400px}
 
 > 现在我们对上面的问题进行抽象，给你一个函数，不管是温度、还是水流量或者电磁场，对他求偏导，就会生成一个矢量场，换句话说，标量函数求梯度，就得到矢量场。
 
## 流量
理解了矢量场后，接下来开始说流量，最通俗易懂的就是水流。在河流里仍一个铁丝，我们分析水流流过铁丝的流量。
水流以速度$X$流过曲线$K$，我们把速度$X$分解为沿曲线切线的流量$( X \cdot T )T$ 和沿曲线法线方向的流量 $( X \cdot N ) N$ ，即下图黄色方向和绿色方向。

![图片](/uploads/2025-06/6c21dd.jpg){width=400px}

很明显只有沿着法线方向的水流通过了曲线，可以记做 $F [ X , K]$ 而且不难证明下面公式的成立。(切线方向时的铁丝进行旋转，这就是[环量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2686))

$$
F [- X , K]= F [ X ,-K]=- F [ X , K]
$$

图 11－2 就 $K$ 为包围阴影区域 $R$ 的简单闭环的情况进一步说明了流量的概念。图 11－2a 画出了 $X$ 的法向分量，我们对这个有符号的量做积分就可以得出 $F [ X , K]$ 。图11－2b说明如何估计流量。我们用具有有向边缘 $\Delta_j$ 的多边形逼近来代替 $K$ ，并在每个 $\Delta_j$ 的中点做 $X$ 的法向分量。于是流量就可以用有阴影的矩形的有符号的面积的代数和来逼近。在图上所画的情况下，正面积显然多于负面积，所以流量为正．当这些 $\Delta_j$ 越变越小，其数目越来越多时，这个近似就越来越好．

![图片](/uploads/2025-06/20af75.jpg)
 
 
在图 11－2a 的简单环路 $K$ 的情况下，对于流量还有一种有趣的看法：

**$F [ X , K]$=单位时间流出$R$的流体总量－单位时间流入$R$的流体总量．**

以下我们恒设流体是不可压缩的。这样只要在 $R$ 内没有源和汇，流入 $R$ 的流体必定都会流出 $R$ ，所以

$$
F [ X , K]=0
$$

其实我们还要反过来应用此式来给出一个定义：如果对于区域 $R$ 内的所有简单环路，流量均为零，就说这个区域内的流体是**无源**的。这种没有任何有限的源或汇的流的最简单例子就是 $X =$ 常数 (比如 取常数X=10，即：水流以每秒10m的速度**均匀流动**)。如果环路中包含了（例如）一个源，则不可压缩性就指出，流量就是这个源的强度．
 
 例如电场表示一种力,但是电磁学的4个基本定律之一（麦克斯韦方程）指出,我们可以把它想象为一种不可压缩流,而正负电荷则起了源和汇的作用,所以穿过空间中任一封闭曲面的流量,就等于此曲面所包围的总电荷（高斯定律）
 
 ## 功
 
上面，我们只讨论了 $X$ 的法向分量，现在转到切向分量．为此，我们现在把 $X$ 想象为一个力场而不是流体的流场。如果一个质点受到某个力场 $X$ 的作用而得到无穷小

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