最后更新: 2025-11-06 14:53 查看: 98 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量场的通量与散度

## 引子

想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 此时管口和水流平行，水的流量为零
 ![图片](/uploads/2025-01/9477a8.svg){width=400px}
 
 仔细观察 $V=vS \cos \theta \Delta t$ 
 
①如果你这样打括号$V=v (S \cos \theta) \Delta t$, 他的意义是水流速度不变，而通过得面积为有效面积。

②如果你这样打括号$V=(v \cos \theta ) S  \Delta t$, 他的意义是面积不变，但是水流速度分解为垂直截面的速度和平行截面的速度。

这两个理解都对，所以他们的结果是一样的。

现在我们对上面写成向量的形式：

![图片](/uploads/2025-01/e5c9f6.jpg){width=300px}

设 $\vec{F}$ 表示流体的速度，$t$ 表示时间 ,$\vec{n}$ 表示平面微元的法向量。
 $\vec{F} \Delta t$ 表示 $\Delta t$ 时间里通过的流量。
通过橘色 $\Delta S$ 区域的流量就是

$$
\frac{\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta t \Delta s}{\Delta t}=\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta s
$$

上面是一个“单位微元”通过的流量大小，要计算通过整个面积的流量，只要进行二重积分即可，上面图形是规则的，如果是任意一个弯曲面呢？为此我们还要引入一个法向量。

## 向量场的通量与散度
设 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{F}(M)$ 是给定的一个向量场．又假定 $S$ 是一个双侧曲面，并取定了一侧。设 $\boldsymbol{n}$ 是 $S$ 在指定一侧的单位法向量，那么 $\boldsymbol{F}(M)$ 在 $S$ 上按指定一侧的第二型曲面积分

$$
\iint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{~d} S
$$

的值通常称作向量场 $\boldsymbol{F}$ 通过曲面 $S$ 在指定一侧的通量．
之所以称为通量是将向量场 $\boldsymbol{F}$ 看作流速场的结果．当 $\boldsymbol{F}$ 是流速场时，上述积分的值恰好是在单位时间内流过 $S$ 的流量的代数和。这是因为 $\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}=|\boldsymbol{F}| \cos \langle\boldsymbol{F}, \boldsymbol{n}\rangle$ 有可能为正，有可能为负，这要由向量场 $\boldsymbol{F}$ 与法向量 $\boldsymbol{n}$的夹角是否是锐角来决定。

当 $S$ 是一个闭曲面，而法向量取成外法向量时，通量实际上就是曲面上整体的流出量与流入量之差。当通量大于零时，意味着流出的量多于流入的量，而通量小于零时则相反．通量为零意味着流入量等于流出量．

现在我们用通量来解释散度的概念。
设 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是向量场 $\boldsymbol{F}=(P, Q, R)$ 中的一点，又设 $V$ 是包含 $M_0$的一个区域，其边界 $S$ 是光滑曲面，在 $S$ 上取定单位外法向量 $\boldsymbol{n}$ ．当 $P, Q, R$满足高斯定理的条件时便有

$$
\oint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsym

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