最后更新: 2025-04-22 18:37 查看: 72 次反馈刷题

散度

##  散度

**更详细介绍，请参考 多元积分一节里的 [理解：通量与散度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=434)**

考虑在向量场里，通过一个“立方体”得流量。为此在立方体上取一个“立方体微元”，如下图
 ![图片](/uploads/2025-01/6f766c.jpg)
 
为方便研究，把上面立方体微元进行了**无限的放大**。

因为一个向量场可以分解为$i,j,k$三个维度，为了方便理解，这里先看$i$ 维度，即沿着$x$方向上，单位时间内通过的面积向量，

想象一下，水是均匀的从左向右流过立方体，则在$\Delta t$ 时间内，流过的体积为
$$
V= \Delta t \times   \text{宽} \times \text{高}= \Delta t \cdot  \Delta y \cdot \Delta z
$$

![图片](/uploads/2025-01/3a0c5d.jpg){width=400px}

因为我们只考虑$i$ 方向， 即通过右侧有效面积是 $ \Delta y \cdot \Delta z $ ,因此结果是
$V=F1 \cdot (\Delta t  \cdot \Delta y \cdot \Delta z) $

除以 $\Delta t$,这样单位时间内流过右侧面积流量就是，即

$V=F1 \cdot (    \Delta y \cdot \Delta z)$
这里$F1$可以认为是向量$F$的$i$分量，

因此在$\Delta t$内通过右平面的流量为
$$

V_{右平面}=F_1(x+\Delta x, y,z) \Delta y \Delta z ...①

同样，通过左平面的流量为(注意方向向左)
$$

V_{左平面}=F_1(x, y,z) \Delta y \Delta z ...②

因为左平面的流量就是$F_1(x, y,z)$,不需要加$\Delta x$

所以，总流量就是：
$$
\boxed{
\Delta_V=V_{右平面}-V_{左平面}=F_i(x+\Delta x, y,z) \Delta y \Delta z -F_1(x, y,z) \Delta y \Delta z
}
$$

把上式左右两端同除以$\Delta x$   有

$$
\frac{V}{\Delta x} =\left[\frac{F_i(x+\Delta x, y, z)-F_1(x, y, z)}{\Delta x}\right] {\Delta x \Delta y \Delta z}
$$

可以发现左侧表示单位i方向体积变化，右侧正是 $\frac{\partial F_1}{\partial x} \Delta x \Delta y \Delta z$

所以
$x$ 方向的流出量：

$$
\frac{\partial F_1}{\partial x} \Delta x \Delta y \Delta z  ...①
$$

$y$ 方向的流出量：

$$
\frac{\partial F_2}{\partial y} \Delta x \Delta y \Delta z ...②
$$

$z$ 方向的流出量：

$$
\frac{\partial F_3}{\partial z} \Delta x \Delta y \Delta z ... ③
$$

单位盒子全部的流出量就是 ①+②+③：

$$
\left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right) \Delta x \Delta y \Delta z
$$

再积分就得整个盒子全部的流出量就是散度，记做

$$
div F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}
$$

### 散度通俗理解

比如在游泳池中考虑一个封闭的正方体区域，在该区域的六个表面中，要么有液体流出，要么有液体流入。设流出为正，流入为负，把六个面的流量相加，就是散度， 如果结果为正，则代表该区域有正的散度，即有流量流出。如果为负表示有流量流入，如果为零，表示流量既没有流入也没有流出，称为无源场。

散度表示场中一点处通量对体积的变化率。散度的另外一种通俗理解，考虑有一个质子向外发射射线，用一个纸袋保住质子，可以发现，散度为正。而且不论纸袋多大或者多小，保住的射线数量是一定的。
 ![图片](/uploads/2025-03/90ada2.jpg){width=200px}

另外一个粒子是电磁场，如下图
 ![图片](/uploads/2025-03/750b87.jpg){width=200px}
只要保住了磁铁，不论袋子形状如何，只要是密闭的袋子，流入和流出磁场的磁力线个数是相等的，也就是向外发射射线的数为0，因此是无源场。

## 定义
我们在矢量场中取一个闭合曲面 $S$ ，其内部空间记为 $V$ 。以向外为正方向，矢量场 $F ( r )$ 在闭合曲面的通量 $\Phi$ 可以用以下面积分表示，积分范围默认为 $S$

$$
\Phi=\oint F \cdot d s
$$

![图片](/uploads/2025-01/d1bf72.jpg){width=200px}
 
现在我们把该曲面以其内部一点 $r$ 为中心按比例不断缩小，若通量与体积 $V$ 的比值存在极限，就把该极限叫做该点的散度（divergence），用 $div$ 表示， 所以，$A$点的散度为 
$$
div \boldsymbol{A} = \frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} 
$$

这里建议大家把梯度当做二维平面的速度，而把散度当做三维空间里的速度。
考虑三种特殊情况：
① $div \boldsymbol{A} >0 $ , 这表示有源源不断的速度向外，这表示这是有**正源**，例如这里点中心有一个粒子。

② $div \boldsymbol{A} <0 $ , 这表示有源源不断的速度进来，这表示这是有负源，换句话说，他在不断从外部吸收能量，通俗的叫法，这是**黑洞**。
③$div \boldsymbol{A} =0 $， 既不吸收也不释放源泉，称作 **无源**

假设密度不变的水以匀速流动， 对于任何一个闭合曲面，流入的流量（负值）和流出的流量（正值）相等，总通量为零。所以该场的散度处处为零。

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【高等数学】通量【高等数学】方向导数【高等数学】旋度

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