最后更新: 2025-06-18 08:10 查看: 120 次反馈同步训练

局部流量和局部功

## 局部流量和局部功
现在我们关于无源和无旋向量场 $X$ 的定义是

$$
F [ X , \text { 任意闭环 }]=0 \text { 以及 } W [ X , \text { 任意闭环 }]=0 .
$$

我们的下一个目标是证明 $X$ 还有两个非常简单的局部性质等价于上面两个非局部的性质．

为此我们需要计算流量与功当闭环很小而趋于一点时的极限状况，即为＂无穷小闭环＂时的状况。我们以后还要证明这种极限状况与无穷小闭环的形状无关。这样我们就可自由地把闭环选成小正方形，其中心为我们关心的点，比如 $z$ 点，边为水平的直线段与铅直的直线段，长为 $\varepsilon$ ．见图 11－4．

![图片](/uploads/2025-06/6eaafc.jpg)
 
 $F$ 与 $W$ 的准确计算可以通过在正方形四边的四个中点 $(a, b, c, d)$ 处分别计算 $X$ 的值，再对适当分量求和来求出。当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时，近似值就成了精确值，下面的方程也是这样，我们马上就会用到它们：

$$
P(a)-P(c)=\varepsilon \partial_x P(z)
$$

这里 $\partial_x P(z)$ 就是 $\partial_x P$ 在 $z$ 点之值．
于是对于流量我们有

$$
\begin{aligned}
F [ X , \square] & =\varepsilon P(a)+\varepsilon Q(b)-\varepsilon P(c)-\varepsilon Q(d) \\
& =\varepsilon[\{P(a)-P(c)\}+\{Q(b)-Q(d)\}] \\
& =\varepsilon^2\left[\partial_x P(z)+\partial_y Q(z)\right]
\end{aligned}
$$

如果考虑梯度算子 $\nabla$ 与向量场 $X$ 的形式点积

$$
\nabla \cdot X =\binom{\partial_x}{\partial_y} \cdot\binom{P}{Q}=\partial_x P+\partial_y Q
$$

即可化简此式．量 $\nabla \cdot X$ 称为 $X$ 的散度（许多书上记作 $\operatorname{div} X$ ），利

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