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保守场与势函数

## 保守场与势函数

保守场在物理中是一种十分重要的场，而且许多场，如重力场，或某些静电场都是保守场。保守场的基本特征是在这种场中第二型曲线积分与路径无关，而只依赖于积分的起点与终点。现在我们给出更确切的定义：

设 $\boldsymbol{F}=P \boldsymbol{i}+Q \boldsymbol{j}+R \boldsymbol{k}$ 是定义在区域 $D \subset \boldsymbol{R}^3$ 中的一个向量场．若沿 $D$ 中任意一条曲线 $\widehat{A B}$ 的积分

$$
\int_{\hat{A B}} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=\int_{\hat{A B}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z
$$

只与曲线的起点 $A$ 及终点 $B$ 有关，而与曲线 $\overparen{A B}$ 的路径无关，则称向量场 $\boldsymbol{F}$在 $D$ 内是一个**保守场**。

现在我们给出一个向量场是保守场的几个等价条件 。为此，我们引入区域的线单连通性的概念。

在空间的区域 $D$ 中，若任意给出一条简单闭曲线 $\Gamma$ ，我们都能在 $D$ 中找到一个曲面 $S \subset D$ 使得 $S$ 的边界恰好就是 $\Gamma$ ，那么 $D$ 就被称为是**线单连通**的．

> 空心球是线单连通的，而环面体（比如汽车的轮胎）则不是线单连通的．

定理 1 设 $D$ 是一个线单连通域，而 $\boldsymbol{F}=P \boldsymbol{i}+Q \boldsymbol{j}+R \boldsymbol{k}$ 是定义在 $D$ 上的一个向量场，其中 $P, Q, R$ 在 $D$ 内有一阶连续偏导数。那么，下列三个条件是等价的：
（1） $\boldsymbol{F}$ 在 $D$ 内是保守场；
（2） $\boldsymbol{F}$ 在 $D$ 内沿任意闭曲线 $\Gamma$ 的环量为零，即

$$
\oint_{\Gamma} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=0
$$

（3） $\boldsymbol{F}$ 是无旋场，即 $\operatorname{rot} \boldsymbol{F}=0$ ．
证 为了证明这三个条件彼此等价，我们只要由（1）推出（2），再由（2）推出（3），最后由（3）推出（1）即可。
（1）$\Longrightarrow$（2）设 $\Gamma$ 是 $D$ 中任意一条有向闭曲线，并在 $\Gamma$ 上任意取定两个点 $A$ 与 $B$ ．假定自 $A$ 点开始沿着 $\Gamma$ 的定向走至点 $B$ 所经过的弧记作 $L_1$ ，而自 $A$ 开始沿着与 $\Gamma$ 定向相反的方向走至 $B$ 所走过的弧为 $L_2$ ，那么根据条件（1）有

$$
\int_{L_1} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=\int_{L_2} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}
$$
注意到 $L_2$ 的走向与 $\Gamma$ 的定向相反，立即得到

$$
\oint_{\Gamma} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\int_{L_1} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}-\int_{L_2} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=0 .
$$

（2）$\Longrightarrow$（3）在（2）的假定下，向量场 $\boldsymbol{F}$ 在 $D$ 内任意一点沿任意一个方向的方向旋量均为零。因此其旋度为零。
（3）$\Longrightarrow$（1）设 $\boldsymbol{F}$ 的旋度 $\operatorname{rot} \boldsymbol{F}=0$ ．又设 $A$ 与 $B$ 是 $D$ 内任意两点，而 $\Gamma_1$ 与 $\Gamma_2$ 是在 $D$ 内的、以 $A$ 为始点、 $B$ 为终点的任意两条弧。假若 $\Gamma_1$ 与 $\Gamma_2$不相交，那么 $\Gamma_1$ 与反向的 $\Gamma_2$ 组成一条有向的闭曲线，记为 $L$ ．根据 $D$ 是线单连通域的假定。这条闭曲线一定是某曲面 $S \subset D$ 之边界。于是，由斯托克斯公式

$$
\oint_L \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=\iint_S \operatorname{rot} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{~d} S=0
$$

也即

$$
\int_{\Gamma_1} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}-\int_{\Gamma_2} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=0 .
$$

当 $\Gamma_1$ 与 $\Gamma_2$ 有交点时，那么它们围成若干个闭的回路乃至有若干个相重合的子弧（如下图）

![图片](/uploads/2025-11/ad9f69.jpg){width=300px}
 
 上，根据前面的讨论积分也相等．总之

$$
\int_{\Gamma_1} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=\int_{\Gamma_2} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r} .
$$

这就证明了积分与路径无关，只与起始点有关．因此， $\boldsymbol{F}$ 是保守场．证毕．
与保守场相关的是有势场．如果对于向量场 $\boldsymbol{F}$ ，存在一个函数 $f$ 使得其负梯度恰好是 $\boldsymbol{F}$ ，也即

$$
\boldsymbol{F}=-\operatorname{grad} f,
$$

那么称 $\boldsymbol{F}$ 为有势场，而称 $f$ 为 $\boldsymbol{F}$ 的**势函数**．
重力场是有势场，其势能为**势函数**．静电场是有势场，其电势为势函数．

**定理2** 设 $\boldsymbol{F}$ 为定义在一个区域 $D$ 上的一个光滑向量场，则 $\boldsymbol{F}$ 在 $D$ 内为保守场的充要条件是 $\boldsymbol{F}$ 是有势场。

证 设 $\boldsymbol{F}$ 为保守场．在 $D$ 中任意取定一点 $A$ ．对于 $D$ 中任意一点 $M \in D$ ，我们任取一条曲线弧 $\overparen{A M} \subset D$ ，并考虑积分

$$
\int_{\widehat{A M}} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r} .
$$

由 $\boldsymbol{F}$ 为保守场知，这个积分与曲线弧 $\overparen{A M}$ 的选择无关，而只依赖于 $A$ 与 $M$ ．但 $A$ 是取定不动的，故上述积分只是点 $M$ 的函数，记作

$$
f(M)=\int_{\overparen{A M}} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=\int_{\overparen{A M}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z,
$$

其中 $P, Q, R$ 是 $\boldsymbol{F}$ 的三个分量．
现在我们来验证一 $f$ 是 $\boldsymbol{F}$ 的势函数．为此，我们将 $f(M)$ 记作 $f(x, y, z)$ ，这里 $(x, y, z)$ 是 $M$ 的坐标。

首先，我们要证明对于任意一点 $M(x, y, z) \in D$ ，

$$
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x, y, z) .
$$

我们考虑充分小的 $\Delta x$ ．这时记 $(x+\Delta x, y, z)$ 为 $M^{\prime}$ ，并设 $\overline{M M^{\prime}} \subset D$ ，这时有

$$
f(x+\Delta x, y, z)-f(x, y, z)=\int_{\overparen{M} M^{\prime}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z
$$

特别地选择 $\overparen{M M^{\prime}}$ 是自点 $M$ 到 $M^{\prime}$ 的直线段，该直线段平行于 $x$ 轴，在其上 $y$ 及 $z$ 坐标没有增量。可见

$$
f(x+\Delta x, y, z)-f(x, y, z)=\int_x^{x+\Delta x} P(t, y, z) \mathrm{d} t
$$

由此立即推出 $\frac{\partial f}{\partial x}=P(x, y, z)$ ．

类似的讨论可以证明 $\frac{\partial f}{\partial y}=Q(x, y, z), \frac{\partial f}{\partial z}=R(x, y, z)$ ．总之， $\operatorname{grad} f= \boldsymbol{F}$ ．因此， $\boldsymbol{F}$ 是有势场．

以上证明了任何保守场都是有势场。
下面我们要证明有势场都是保守场。假定 $\boldsymbol{F}$ 是有势场，其势函数为 $-f$ ．设 $\boldsymbol{F}$ 的三个分量为 $P, Q, R$ ，那么 $\boldsymbol{F}=\operatorname{grad} f$ ，也即

$$
P=\frac{\partial f}{\partial x}, \quad Q=\frac{\partial f}{\partial y}, \quad R=\frac{\partial f}{\partial z}
$$

或写成

$$
\mathrm{d} f=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z
$$

换句话说，$P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 是一个全微分．这样对于 $D$ 中任意一条曲线 $\Gamma$ ，其起始点为 $A$ ，而终点为 $B$ ，都有

$$
\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} y=\int_{\Gamma} \mathrm{d} f=f(B)-f(A)
$$

这表明积分与路径无关，因而 $\boldsymbol{F}$ 是保守场．证毕．

其他版本
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