最后更新: 2025-11-06 15:37 查看: 161 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

保守场与势函数

## 保守场与势函数

保守场在物理中是一种十分重要的场，而且许多场，如重力场，或某些静电场都是保守场。保守场的基本特征是在这种场中第二型曲线积分与路径无关，而只依赖于积分的起点与终点。现在我们给出更确切的定义：

设 $\boldsymbol{F}=P \boldsymbol{i}+Q \boldsymbol{j}+R \boldsymbol{k}$ 是定义在区域 $D \subset \boldsymbol{R}^3$ 中的一个向量场．若沿 $D$ 中任意一条曲线 $\widehat{A B}$ 的积分

$$
\int_{\hat{A B}} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=\int_{\hat{A B}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z
$$

只与曲线的起点 $A$ 及终点 $B$ 有关，而与曲线 $\overparen{A B}$ 的路径无关，则称向量场 $\boldsymbol{F}$在 $D$ 内是一个**保守场**。

现在我们给出一个向量场是保守场的几个等价条件 。为此，我们引入区域的线单连通性的概念。

在空间的区域 $D$ 中，若任意给出一条简单闭曲线 $\Gamma$ ，我们都能在 $D$ 中找到一个曲面 $S \subset D$ 使得 $S$ 的边界恰好就是 $\Gamma$ ，那么 $D$ 就被称为是**线单连通**的．

> 空心球是线单连通的，而环面体（比如汽车的轮胎）则不是线单连通的．

定理 1 设 $D$ 是一个线单连通域，而 $\boldsymbol{F}=P \boldsymbol{i}+Q \boldsymbol{j}+R \boldsymbol{k}$ 是定义在 $D$ 上的一个向量场，其中 $P, Q, R$ 在 $D$ 内有一阶连续偏导数。那么，下列三个条件是等价的：
（1） $\boldsymbol{F}$ 在 $D$ 内是保守场；
（2） $\boldsymbol{F}$ 在 $D$ 内沿任意闭曲线 $\Gamma$ 的环量为零，即

$$
\oint_{\Gamma} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=0
$$

（3） $\boldsymbol{F}$ 是无旋场，即 $\operatorname{rot} \boldsymbol{F}=0$ ．
证 为了证明这三个条件彼此等价，我们只要由（1）推出（2），再由（2）推出（3），最后由（3）推出（1）即可。
（1）$\Longrightarrow$（2）设 $\Gamma$ 是 $D$ 中任意一条有向闭曲线，并在 $\Gamma$ 上任意取定两个点 $A$ 与 $B$ ．假定自 $A$ 点开始沿着 $\Gamma$ 的定向走至点 $B$ 所经过的弧记作 $L_1$ ，而自 $A$ 开始沿着与 $\Gamma$ 定向相反的方向走至 $B$ 所走过的弧为 $L_2$ ，那么根据条件（1）有

$$
\int_{L_1} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=\int_{L_2} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}
$$
注意到 $L_2$ 的走向与 $\Gamma$ 的定向相反，立即得到

$$
\

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