最后更新: 2025-04-22 18:38 查看: 50 次反馈刷题

通量

## 通量

**更详细介绍，请参考 多元积分一节里的 [理解：通量与散度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=434)**

想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 也管口和水流平行，此时流量为零
 ![图片](/uploads/2025-01/9477a8.svg){width=400px}
 
 仔细观察 $V=vS \cos \theta \Delta t$ 
 
①如果你这样打括号$V=v (S \cos \theta) \Delta t$, 他的意义是水流速度不变，而通过得面积为有效面积。

②如果你这样打括号$V=(v \cos \theta ) S  \Delta t$, 他的意义是面积不变，但是水流速度分解为垂直截面的速度和平行截面的速度。

这两个理解都对，所以他们的结果是一样的。

现在我们对上面写成向量的形式：

![图片](/uploads/2025-01/e5c9f6.jpg){width=300px}

设 $\vec{F}$ 表示流体的速度，$t$ 表示时间
 $\vec{F} \Delta t$ 表示 $\Delta t$ 时间里通过的流量。
通过橘色 $\Delta S$ 区域的流量就是

$$
\frac{\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta t \Delta s}{\Delta t}=\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta s
$$

上面是一个“单位微元”通过的流量大小，要计算通过整个面积的流量，只要进行二重积分即可，上面图形是规则的，如果是任意一个弯曲面呢？为此我们还要引入一个法向量。
 
## 法向量
在一个曲面上，取一个面积元，当这个面积非常小时，这个面积可以近似看成平面。既然是平面，就能找到一条直线和这个平面垂直，这个直线就是法线，正如我们后面要考虑方向，就给他一个更专业的名字：法向量。表示他处了有大小还要有方向，如下图
 ![图片](/uploads/2025-01/e98751.svg)

## 定义

有了向量$A$、任意一个面积$S$，还有一个法向量$n$，我们就把

$$
\boxed{
\iint_{\Sigma} A \cdot n d S
}
$$

称为向量场 $A$ 通过曲面 $\Sigma$ 向着指定侧的通量（或流量）．
由两类曲面积分的关系，通量又可表达为
  
给定一[向量场](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=434) $\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$, 其中函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 具有一阶连续偏导数，
曲面$\Sigma$为场内的一片有向光滑曲面， $n$ 为$\Sigma$ 上的某一 $M(x, y, z)$ 处的单位法向量。对面积的曲面积分:

$$
\iint_{\Sigma} \vec{A} \bullet \vec{n} d S=\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d x d z+R d x d y
$$
称为向量场 $A$ 通过有向曲面 $\Sigma$ 的通量

## 通量的物理解释

我们知道磁场对通电导线有作用力，并从这个现象入手定义了物理量——磁感应强度B。安培在研究磁场与电流的相互作用方面作出了杰出的贡献，为了纪念他，人们把通电导线在磁场中受的力称为安培力（Ampère force），把电流的单位定为安培，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1003)

![图片](/uploads/2024-12/10b0d3.jpg){width=200px}
 
上图如果进行简化，可以得到下面的方式：磁场垂直向下，电流从纸面向内，则有安倍力向左，如下图

![图片](/uploads/2024-12/6fbd1e.jpg){width=200px}

在高中物理我们学过，垂直于磁场 $B$ 的方向放置的长为 $l$ 的一段导线，当通过的电流为I时，它所受的安培力F为
$ F=IlB$
 
现在我们让导线倾斜

![图片](/uploads/2024-12/1f15b3.jpg){width=200px}

此时磁通量B可以分解为平行于导线的磁通量$B_{//}$和垂直于导线的磁通量$B_{\perp}$ ，而平行于导线的磁通量$B_{//}$ 并不产生安倍力，只有垂直于导线的磁通量$B_{\perp}$产生安倍力。

换句话说，只有垂直的磁通量$B_{\perp}$是有效的。“正如山不转水转一样”，上面是面积不变，而让磁通量改变。但是，我们可以换一个角度，磁通量不变，而让面积分解，如下：虽然磁通量通过面积$S$，但是真正有效的面积是$S'$

![图片](/uploads/2024-12/158b1e.jpg){width=280px}
 
 理解了上面的概念后，再看通量的定义：$n$ 为$\Sigma$ 上的某一 $M(x, y, z)$ 处的单位法向量。为什么使用法向量，因为通过法向量才算是“有效的面积”。
 
  ![图片](/uploads/2024-12/bfe636.jpg)
  
 
> 通量通俗解释就是单位时间内，通过**有效面积**的流量。

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