最后更新: 2025-11-29 15:37 查看: 200 次纠错评论(0) 课件开VIP

外微分简介

## 外微分
前面介绍线、面、体积分（三重积分）的时候，我们得到了它们之间的下列关系式：

$$
\begin{gathered}
\oint_{\partial D} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
\oint_{\partial V} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
\oint_{\partial S} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\iiint_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\end{gathered}
$$

它们的共同点为左端积分区域是右端积分区域的边界，右端的积分表达式是左端的积分表达式某种意义上的＂微分＂．有没有一种统一的关系式将上面这些式子表达呢？这需要引进新的数学工具——外微分式（也称为外微分形式或简称为微分式），下面以 $\mathbf{R}^3$ 中（ $\mathbf{R}^2$ 中类似）外微分式为例，作不严格的直观性的介绍。

##  外微分

设 $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z$ 为自变量微分，称 $\omega_1=P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z$为一次外微分式；称 $\omega_2=P(x, y, z) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y$为二次外微分式；称 $\omega_3=f(x, y, z) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z$ 为三次外微分式；也称函数 $\omega_0= f(x, y, z)$ 为 $\mathbf{0}$ 次外微分式．

注（1）上面的式子中 $\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z, \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z$ 等作为符号看，正像多项式 $a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$ 定义中将 $x$ 看成符号一样，以下的外微分式的运算可与多项式的运算作类比．
（2）显然函数 $f(x, y, z)$ 的全微分式 $\mathrm{d} f=f_x(x, y, z) \mathrm{d} x+f_y(x, y, z) \mathrm{d} y+f_z(x$ ， $y, z) \mathrm{d} z$ 是一次外微分式，但一次外微分式中并不要求 $\omega_1$ 是某个函数的全微分．

## 外微分式的运算

1．加法与数乘
对于 $p$ 次 $(p=1,2,3)$ 外微分如下定义加法与乘以数值函数的运算（以 $p=2$为例）：
$$
\begin{aligned}
& \left(P_1 \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q_1 \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+R_1 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y\right)+\left(P_2 \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q_2 \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+R_2 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y\right) \\
= & \left(P_1+P_2\right) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z+\left(Q_1+Q_2\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x+\left(R_1+R_2\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y,
\end{aligned}
$$

其中 $P_i, Q_i, R_i(i=1,2)$ 都是三元函数．

$$
f(x, y, z)(P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y)=f P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+f Q \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+f R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y,
$$

其中 $P, Q, R$ 都是三元函数．
以上两种运算的结果仍是同次的外微分．
2．外积运算
先看最简单的情形：自变量的微分 $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z$ 作为最基本的一次外微分式，规定 $\mathrm{d} x$ 与 $\mathrm{d} y$ 的外积为 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y$（这里 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y$ 整体作为符号，同时 $\wedge$ 又作为运算符）， $\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z, \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x$ 等也类似理解．

约定外积运算满足性质：
（1） $\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z=-\mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} y, \quad \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x=-\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} z, \quad \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y=-\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} x ;$
（2） $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} x=0, \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} y=0, \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} z=0$ ；
（3）结合律：如 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z=(\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y) \wedge \mathrm{d} z=\mathrm{d} x \wedge(\mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z)$ ．
注意，以上性质与向量代数中的两向量的外积（或叉积）类似．如 $a \times b=-b \times a$.
由以上性质得 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} x=-\mathrm{d} x \wedge(\mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y)=-(\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} x) \wedge \mathrm{d} y=0$ ，即自变量外微分中，只要出现两个相同微分，则结果为 0 ．

一般情况，如

$$
\begin{aligned}
& \left(P_1 \mathrm{~d} x+Q_1 \mathrm{~d} y\right) \wedge\left(P_2 \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q_2 \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x\right) \\
= & P_1 P_2 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+P_1 Q_2 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+Q_1 P_2 \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q_1 Q_2 \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x \\
= & P_1 P_2 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q_1 Q_2 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z,
\end{aligned}
$$

上式中用了 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x=0, \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z=0$ ．可见外微分式的外积仍为外微分式。

3．外微分式的外微分
如 $f(x, y, z)$ 的外微分为

$$
\mathrm{d} f=f_x \mathrm{~d} x+f_y \mathrm{~d} y+f_z \mathrm{~d} z,
$$

一次外微分 $\omega_1$ 的外微分为

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega_1= & \mathrm{d}(P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z)=\mathrm{d} P \wedge \mathrm{~d} x+\mathrm{d} Q \wedge \mathrm{~d} y+\mathrm{d} R \wedge \mathrm{~d} z \\
= & \left(P_x \mathrm{~d} x+P_y \mathrm{~d} y+P_z \mathrm{~d} z\right) \wedge \mathrm{d} x+\left(Q_x \mathrm{~d} x+Q_y \mathrm{~d} y+Q_z \mathrm{~d} z\right) \wedge \mathrm{d} y+ \\
& \left(R_x \mathrm{~d} x+R_y \mathrm{~d} y+R_z \mathrm{~d} z\right) \wedge \mathrm{d} z \\
= & P_y \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} x+P_z \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+Q_x \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y+Q_z \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} y+R_x \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} z+R_y \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z \\
= & \left(R_y-Q_z\right) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z+\left(P_z-R_x\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x+\left(Q_x-P_y\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
$$

同理二次外微分 $\omega_2$ 的外微分为
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega_2 & =\mathrm{d}(P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y) \\
& =\mathrm{d} P \wedge(\mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z)+\mathrm{d} Q \wedge(\mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x)+\mathrm{d} R \wedge(\mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y) \\
& =\left(P_x+Q_y+R_z\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z,
\end{aligned}
$$

可见 $p$ 次外微分式的外微分为 $p+1$ 次外微分式．

## 外微分式的应用

在第二类曲面积分

$$
\begin{aligned}
& \iiint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_S P \cos \alpha \mathrm{~d} S+Q \cos \beta \mathrm{~d} S+R \cos \gamma \mathrm{~d} S \\
& \quad\left(e_n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) \text { 为 } S \text { 上指定侧的单位法向量 }\right)
\end{aligned}
$$

中赋予外微分式符号意义如下：
 ![图片](/uploads/2025-09/c0ad7b.jpg)
 
 以上这些外微分式可以这样形象理解：将 $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z$ 类比为坐标向量 $i$ ， $\boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ ，则 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y$ 表示按顺序 $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \boldsymbol{e}_n$ 服从右手规则， $\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} x$ 表示按顺序 $\mathrm{d} y, \mathrm{~d} x, \boldsymbol{e}_n$ 服从右手规则，其余情况类推．

按以上约定显然有

$$
\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z=-\mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} y, \quad \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x=-\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} z, \quad \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y=-\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} x .
$$

积分 $\iint_S P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z$ 表示 $S$ 的法向量 $n$ 指向前侧， $\iint_S P \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} y$ 表示 $S$ 的法向量指向后侧，即

$$
\iint_S P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z=-\iint_S P \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} y
$$

同理 $\iint_S R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y$ 表示 $S$ 取上侧， $\iint_S R \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} x$ 表示 $S$ 取下侧．
注意：本书前面介绍的对坐标的曲面积分中一般用：

$$
\begin{aligned}
& \iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, S \text { 取前侧表示 } \iint_S P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z ; \\
& \iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, S \text { 取后侧表示 } \iint_S P \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} y \text {, } \\
& \iint_S Q \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, S \text { 取上侧表示 } \iint_S Q \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y ;
\end{aligned}
$$
$$
\iint_S Q \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, S \text { 取下侧表示 } \iint_S Q \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} x \text { 等. }
$$

可见 $S$ 取下侧若用 $\iint_S Q \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 表示，则必须说明＂$S$ 取下侧＂，若不作说明， $\iint_S Q \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 的意义应指 $S$ 取上侧（但教材中为清楚起见，这种情况也进行了说明），其余规定类似。

按以上解释，因为在 $\mathbf{R}^2$ 中

$$
\begin{gathered}
\omega_1=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y, \\
\mathrm{~d} \omega_1=\left(P_x \mathrm{~d} x+P_y \mathrm{~d} y\right) \wedge \mathrm{d} x+\left(Q_x \mathrm{~d} x+Q_y \mathrm{~d} y\right) \wedge \mathrm{d} y \\
=Q_x \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y-P_y \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y=\left(Q_x-P_y\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y,
\end{gathered}
$$

所以格林公式可表示为

$$
\int_{\partial D} \omega_1=\iint_D \mathrm{~d} \omega_1,
$$

同理，由（8．2）式得斯托克斯公式为

$$
\int_{\partial S} \omega_1=\iint_S \mathrm{~d} \omega_1
$$

由（8．3）式得高斯公式为

$$
\iint_{\partial V} \omega_2=\iiint_V \mathrm{~d} \omega_2
$$

三式可统一表示为 $\int_{\partial \Omega} \omega=\int_{\Omega} \mathrm{d} \omega, \partial \Omega$ 表示积分区域 $\Omega$（曲面或立体）的边界．
若将定积分的牛顿一莱布尼茨公式 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$ 写为 $\int_a \mathrm{~d} F(x)= \int_{\partial \Omega} F(x)$ ，其中 $\Omega=[a, b], \partial \Omega=\{a, b\}$ ，则 $\int_{\partial \Omega} \omega=\int_{\Omega} \mathrm{d} \omega$ 也包含了牛顿－莱布尼茨公式．

公式

$$
\int_{\partial \Omega} \omega=\int_{\Omega} \mathrm{d} \omega
$$

称为一般形式的斯托克斯公式．
几个看上去完全不同的公式，在引进外微分形式后，却得到了外形完全一致的结果，这个表达式简洁、和谐、优美，便于记忆。这不是偶然的巧合，而恰好反映了事物的本质．基于这一事实，也可以建立更高维如 $\mathbf{R}^n$ 甚至微分流形中的斯托克斯公式．

关于外微分更多理解，请参考 [向量函数与外微分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3067)

## 外微分的理解

你可以把外微分想象成一种专门用于“测量”几何形状（比如曲线、曲面、高维曲面）的**高级微积分工具**。它的核心思想是：**局部简单信息加起来，得到整体复杂信息**。

让我们用一个生动的比喻来贯穿整个解释：

### 比喻：计算一个湖的总水量

想象一下，你面前有一个形状非常不规则的山间湖泊。你的任务是计算这个湖里总共有多少水。

1.  **普通微积分（初等方法）：**
    *   你会怎么做？你可能会把湖面分成无数个非常小的**正方形网格**。
    *   在每个小格子里，你测量水面的高度（函数值）和格子的面积，然后算出这个小格子上的“体积”（高度 × 面积）。
    *   最后，你把所有小格子的体积**加起来（求积分）**，就得到了整个湖的水量。
    *   **关键点**：这个方法依赖于你事先画好的那个**方形网格坐标系**。如果湖是倾斜的，或者你用极坐标来画网格，计算会变得非常复杂。

2.  **外微分（更高级、更自由的方法）：**
    *   外微分提供了一种更“自由”的视角。它不依赖于任何特定的坐标系（比如方形网格）。
    *   它的思路是：**我不关心整个湖有多大，我只关心湖的边界——也就是湖岸线——上发生了什么。**
    *   **外微分（d）的作用**：外微分算子 `d` 就像一个“局部信息提取器”。如果我们有一个函数（比如湖岸每个点的海拔高度），那么 `d(海拔)` 得到的就是一个更高级的东西（1-形式），它代表了在每个点的**坡度**或**高度变化率**。这个“坡度”是一个不依赖于坐标的固有属性。
    *   **斯托克斯定理（核心定理）**：这是外微分力量的体现。它说：
        **（整个湖的总水量） = （沿着湖岸线一圈的流量总和）**

什么意思？你不用再费力地去测量湖里面每一个点，你只需要**派一艘船沿着湖岸线走一圈**，测量水流进或流出的净流量，就能推算出湖内部的总水量！
        *   **“整个湖”** 就是你要测量的几何对象（一个二维区域）。
        *   **“湖岸线”** 就是这个几何对象的**边界**（一个一维的环）。
        *   外微分 `d` 建立了连接**内部**（湖本身）和**边界**（湖岸线）的桥梁。

### 把比喻翻译成数学语言

*   **微分形式**：这是外微分操作的对象。你可以把它理解成一种“可以被积分在几何形状上的量”。
    *   **0-形式**：就是普通的函数（比如温度分布、海拔高度）。
    *   **1-形式**：像是一个“测量微小线段”的工具（比如测量一个微小位移上的功）。
    *   **2-形式**：像是一个“测量微小面积”的工具（比如测量通过一个微小面积的流量）。
    *   以此类推...

*   **外微分 (d)**：这是一个操作符，它把一个 k-形式“升级”成一个 (k+1)-形式。
    *   `d(0-形式)` -> 1-形式。例如：`d(温度)` 得到**温度梯度**。
    *   `d(1-形式)` -> 2-形式。例如：`d(力场)` 可以衡量力的**旋度**（旋转强度）。
    *   `d(2-形式)` -> 3-形式。例如：`d(流速场)` 可以衡量流体的**散度**（源汇强度）。

*   **外微分的核心精神**：
    1.  **全局来源于边界**：一个区域整体的性质，可以由其边界的行为完全决定。这大大简化了问题。
    2.  **坐标无关**：外微分的定义和计算不依赖于你选择什么样的坐标系（直角坐标、极坐标等），它描述的是几何对象本身的内在属性。这使得它在处理复杂几何（如广义相对论中的弯曲时空）时非常强大。
    3.  **统一微积分定理**：你会发现，大学微积分里的**牛顿-莱布尼兹公式**、**格林公式**、**斯托克斯公式**、**高斯公式**，其实都是同一个“斯托克斯定理”在不同维度的特例！这个统一的定理就是：**∫_M dω = ∫_∂M ω** （在区域M上对dω积分，等于在M的边界∂M上对ω积分）。

### 总结一下

**外微分就是一种“高级的求导”，它专门生成一些具有几何意义的量（微分形式），并通过一个非常强大的定理（斯托克斯定理）将一个大区域上的复杂积分问题，转化为其边界上的一个相对简单的积分问题。它让我们能用一种更统一、更本质的方式来处理曲线、曲面乃至更高维空间的微积分问题。**

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