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高等数学
附录：向量场
从向量场看复积分
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2025-06-18 08:53
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从向量场看复积分
通量、散度、旋度、梯度、向量场
## 波利亚向量场 在复分析中，如果一个向量场在某个区域内是无旋且无源的，那么它就属于调和向量场。而波利亚向量场应该是指那些与解析函数的导数直接相关的向量场。具体来说，对于解析函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，可以构造两个向量场：一个是$(u,v)$，另一个是$(-v,u)$。这两个向量场分别对应于$f$的导数的实部和虚部。 **定义**：给定一个定义在复平面区域 $D$ 上的**复值函数** $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$（其中 $z = x + iy$，$u$ 和 $v$ 是实值函数），其对应的**波利亚向量场**定义为以下**实平面上的向量场**： $$ \boxed{\mathbf{F}_f(x, y) = (u(x, y), \ -v(x, y))} $$ **构造方式**：直接取复函数 $f(z)$ 的**实部 $u$** 作为向量场的 **$x$-分量**。取复函数 $f(z)$ 的**虚部 $v$ 的相反数（$-v$）** 作为向量场的 **$y$-分量**。 向量场在点 $(x, y)$ 处的值是 $\mathbf{F}_f(x, y) = (u(x, y), -v(x, y))$. 可以证明他满足柯西-黎曼方程。 ## 例子：面积作为流量 作为一个有趣而且有启发性的例子，我们用物理上很直观的高斯定理和斯托克斯定理来重新考虑以下结果： $$ \oint_K \bar{z} d z=2 i A . $$ 注意 $H(z)=\bar{z}$ 的波利亚向量场是 $\overline{H(z)}=z$ ，它是沿半径方向由原点向外的，像源点一样。但是和源点不同，流速随距离增加，这就使得这个流很清楚不会是零散度的．实际上，经过计算其流量密度，就有 $$ \nabla \cdot \overline{ H }=\binom{\partial_x}{\partial_y} \cdot\binom{x}{y}=2 $$ 换言之，在每个单位时间，都有 2 单位流体输入每个单位面积．所以流体流出 $K$ 的流量是 $2 A$ ．另一方面，这个流是零旋度的： $$ \nabla \times \ov
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