最后更新: 2025-11-29 15:37 查看: 150 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

外微分简介

## 外微分
前面介绍线、面、体积分（三重积分）的时候，我们得到了它们之间的下列关系式：

$$
\begin{gathered}
\oint_{\partial D} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
\oint_{\partial V} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
\oint_{\partial S} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\iiint_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\end{gathered}
$$

它们的共同点为左端积分区域是右端积分区域的边界，右端的积分表达式是左端的积分表达式某种意义上的＂微分＂．有没有一种统一的关系式将上面这些式子表达呢？这需要引进新的数学工具——外微分式（也称为外微分形式或简称为微分式），下面以 $\mathbf{R}^3$ 中（ $\mathbf{R}^2$ 中类似）外微分式为例，作不严格的直观性的介绍。

##  外微分

设 $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z$ 为自变量微分，称 $\omega_1=P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z$为一次外微分式；称 $\omega_2=P(x, y, z) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y$为二次外微分式；称 $\omega_3=f(x, y, z) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z$ 为三次外微分式；也称函数 $\omega_0= f(x, y, z)$ 为 $\mathbf{0}$ 次外微分式．

注（1）上面的式子中 $\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z, \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z$ 等作为符号看，正像多项式 $a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$ 定义中将 $x$ 看成符号一样，以下的外微分式的运算可与多项式的运算作类比．
（2）显然函数 $f(x, y, z)$ 的全微分式 $\mathrm{d} f=f_x(x, y, z) \mathrm{d} x+f_y(x, y, z) \mathrm{d} y+f_z(x$ ， $y, z) \mathrm{d} z$ 是一次外微分式，但一次外微分式中并不要求 $\omega_1$ 是某个函数的全微分．

## 外微分式的运算

1．加法与数乘
对于 $p$ 次 $(p=1,2,3)$ 外微分如下定义加法与乘以数值函数的运算（以 $p=2$为例）：
$$
\begin{aligned}
& \left(P_1 \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q_1 \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+R_1 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y\right)+\left(P_2 \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q_2 \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+R_2 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y\right) \\
= & \left(P_1+P_2\right) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z+\left(Q_1+Q_2\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x+\left(R_1+R_2\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y,
\end{aligned}
$$

其中 $P_i, Q_i, R_i(i=1,2)$ 都是三元函数．

$$
f(x, y, z)(P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y)=f P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+f Q \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+f R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y,
$$

其中 $P, Q, R$ 都是三元函数．
以上两种运算的结果仍是同次的外微分．
2．外积运算
先看最简单的情形：自变量的微分 $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z$ 作为最基本的一次外微分式，规定 $\mathrm{d} x$ 与 $\mathrm{d} y$ 的外积为 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y$（这里 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y$ 整体作为符号，同时 $\wedge$ 又作为运算符）， $\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z, \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x$ 等也类似理解．

约定外积运算满足性质：
（1） $\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z=-\mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} y, \quad \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x=-\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} z, \quad \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y=-\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} x ;$
（2） $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} x=0, \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} y=0, \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} z=0$ ；
（

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