最后更新: 2025-11-06 16:32 查看: 162 次纠错评论(0) 课件开VIP

哈密尔顿算子与拉普拉斯算子

## Hamilton 算子
为了方便，我们介绍 哈密尔顿 Hamilton 引进的微分算子

$$
\boldsymbol{\nabla}=\boldsymbol{i} \frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{j} \frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{k} \frac{\partial}{\partial z},
$$

记号 $\boldsymbol{\nabla}$ 读做＂Nabla＂。
若函数 $f(x, y, z)$ 和向量场 $\boldsymbol{a}(x, y, z)=P(x, y, z) \boldsymbol{i}+Q(x, y, z) \boldsymbol{j}+R(x, y, z) \boldsymbol{k}$ 在区域 $\boldsymbol{\Omega}$上满足下面的运算所需的可偏导条件，则定义

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} f & =\frac{\partial f}{\partial x} \boldsymbol{i}+\frac{\partial f}{\partial y} \boldsymbol{j}+\frac{\partial f}{\partial z} \boldsymbol{k}=\operatorname{grad} f ; \\
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a} & =\left(\boldsymbol{i} \frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{j} \frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{k} \frac{\partial}{\partial z}\right) \cdot(P \boldsymbol{i}+Q \boldsymbol{j}+R \boldsymbol{k})=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\operatorname{div} \boldsymbol{a} ; \\
\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{a} & =\left(\boldsymbol{i} \frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{j} \frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{k} \frac{\partial}{\partial z}\right) \times(P \boldsymbol{i}+Q \boldsymbol{j}+R \boldsymbol{k})=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \\
& =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \boldsymbol{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \boldsymbol{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \boldsymbol{k}=\operatorname{rot} \boldsymbol{a} .
\end{aligned}
$$

显然，

$$
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla} f=\boldsymbol{\nabla} \cdot(\operatorname{grad} f)=\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)=\Delta f,
$$

这里记号 $\Delta=\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ 称为 Laplace 算子，满足 Laplace 方程

$$
\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0
$$

的函数叫做**调和函数**．
这样，Gauss 公式就可表示为

$$
\iint_{\partial \Omega} \boldsymbol{a} \cdot \mathrm{d} S=\iiint_{\Omega} \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a} \mathrm{d} V ;
$$

Stokes 公式就可表示为

$$
\int_{\partial \Sigma} a \cdot \mathrm{~d} s=\iint_{\Sigma}(\nabla \times a) \cdot \mathrm{d} S
$$

设函数 $f, g$ 具有二阶连续偏导数，容易验证等式

$$
\boldsymbol{\nabla} \cdot\left(\begin{array}{ll}
g & \nabla
\end{array}\right)=\nabla g \cdot \nabla f+g \Delta f
$$

成立．如果置 $\boldsymbol{a}=g \quad \nabla f$ ，从 Gauss 公式就得到

$$
\iiint_{\Omega}\left(\nabla_g \cdot \nabla f+g \Delta f\right) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} \nabla \cdot(g \nabla f) \mathrm{d} V=\iint_{\partial \Omega} g \nabla f \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{~d} S=\iint_{\partial \Omega} g(\boldsymbol{g} \mathbf{r a d} f \cdot \boldsymbol{n}) \mathrm{d} S=\iint_{\partial \Omega} g \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{~d} S .
$$

同样置 $\boldsymbol{a}=f \quad \boldsymbol{\nabla} g$ ，就得到

$$
\iiint_{\Omega}\left(\boldsymbol{\nabla} f \cdot \nabla_g+f \Delta g\right) \mathrm{d} V=\iint_{\partial \Omega} f \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{~d} S .
$$

这两式相减就得到

$$
\iiint_{\Omega}(f \Delta g-g \Delta f) \mathrm{d} V=\iiint_{\partial \Omega}\left(f \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{n}}-g \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{n}}\right) \mathrm{d} S .
$$

最后两个公式分别称为 Green 第一公式和 Green 第二公式，在数学物理中有着很多应用．

下面不加证明地列出场论中的一些基本关系式（第二式是将第一式的结果用 Hamilton 算子表示，读者可结合乘积的求导公式和向量的点积与叉积公式来帮助记忆并自行证明）。设 $\boldsymbol{a}=a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k}, \boldsymbol{b}=b_x \boldsymbol{i}+b_y \boldsymbol{j}+b_z \boldsymbol{k}$ 为向量场，其分量函数 $a_x, a_y, a_z, b_x$ ， $b_y, b_z$ 和 $f$ 均具有所需阶的连续偏导数，$\lambda, \mu$ 为常数．
（1） $\operatorname{div}(\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b})=\lambda \operatorname{div} \boldsymbol{a}+\mu \operatorname{div} \boldsymbol{b} ;$

$$
\boldsymbol{\nabla} \cdot(\lambda a+\mu b)=\lambda(\boldsymbol{\nabla} \cdot a)+\mu(\boldsymbol{\nabla} \cdot b) ;
$$

（2）

$$
\begin{aligned}
& \operatorname{rot}(\lambda a+\mu b)=\lambda \operatorname{rot} a+\mu \operatorname{rot} b ; \\
& \nabla \times(\lambda a+\mu b)=\lambda(\nabla \times a)+\mu(\nabla \times b) ;
\end{aligned}
$$

（3） $\operatorname{div}(f a)=f \operatorname{div} \boldsymbol{a}+\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{a}$ ；

$$
\boldsymbol{\nabla} \cdot(f a)=f(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a})+(\boldsymbol{\nabla} f) \cdot \boldsymbol{a} ;
$$

（4）

$$
\begin{aligned}
& \operatorname{rot}(f a)=f \operatorname{rot} a+\operatorname{grad} f \times a ; \\
& \nabla \times(f a)=f((\nabla \times a)+(\nabla f) \times a) ;
\end{aligned}
$$

（5）

$$
\begin{aligned}
& \operatorname{div}(a \times b)=b \cdot \operatorname{rot} a-a \cdot \operatorname{rot} b ; \\
& \nabla \cdot(a \times b)=b \cdot(\nabla \times a)-a \cdot(\nabla \times b) ;
\end{aligned}
$$

（6）

$$
\begin{aligned}
& \operatorname{rot}(\operatorname{grad} f)=0 ; \\
& \nabla \times(\nabla f)=(\nabla \times \nabla) f=0 ;
\end{aligned}
$$

（7）

$$
\begin{gathered}
\operatorname{div}(\boldsymbol{\operatorname { r o t }} \boldsymbol{a})=0 ; \\
\boldsymbol{\nabla} \cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{a})=0 .
\end{gathered}
$$
最后我们谈一下公式（3）的应用．从公式（3）得

$$
f \operatorname{div} \boldsymbol{a}=\operatorname{div}(f \boldsymbol{a})-\operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{a},
$$

两边积分便得＂分部＂积分公式

$$
\iiint_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{a} \mathrm{~d} V=\iiint_{\Omega} \operatorname{div}(f \boldsymbol{a}) \mathrm{d} V-\iiint_{\Omega} \operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{a} \mathrm{~d} V=\iiint_{\partial \Omega} f \boldsymbol{a} \cdot \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega} \operatorname{grad} f \cdot \boldsymbol{a} \mathrm{~d} V .
$$

这说明了对 $\boldsymbol{a}$ 的＂导数＂ $\operatorname{div} \boldsymbol{a}$ ，利用 Gauss 公式可以转移到可能具有较好性质的函数 $f$的＂导数＂ $\operatorname{grad} f$ 上．读者在后续的课程中会看到，这是偏微分方程中＂广义解（弱解）＂的基础，也是广义导数的引人思想．

## 总结
（1）哈密顿算子
称向量微分算子 $\nabla \equiv \frac{\partial}{\partial x} i+\frac{\partial}{\partial y} j+\frac{\partial}{\partial z} k$ 为哈密顿（Hamilton）算子，$\nabla$ 读作＂纳普拉（Nabla）＂．$\nabla$ 算子本身只是一种微分运算符号，同时又被看作是向量，即 $\nabla$ 是以 $\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}$ 为分量的向量，所以它在运算中具有向量和微分的双重性质，其运算规则是

$$
\begin{gathered}
\nabla u=\left(\frac{\partial}{\partial x} i+\frac{\partial}{\partial y} j+\frac{\partial}{\partial z} k\right) u=\frac{\partial u}{\partial x} i+\frac{\partial u}{\partial y} j+\frac{\partial u}{\partial z} k \\
\nabla \cdot \boldsymbol{A}=\left(\frac{\partial}{\partial x} i+\frac{\partial}{\partial y} j+\frac{\partial}{\partial z} k\right) \cdot(P i+Q j+R k)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
\end{gathered}
$$

特别地，有 $\nabla \cdot \nabla u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$ ，将此式右端记为 $\nabla^2 u$ ，也记为 $\Delta u$ ，即 $\nabla^2=\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ ，称此为拉普拉斯（Laplace）算子．

$$
\nabla \times A=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial x} \\
P & Q & R
\end{array}\right|
$$

故 $\operatorname{grad} u=\nabla u, \operatorname{div} \boldsymbol{A}=\nabla \cdot \boldsymbol{A}, \operatorname{rot} \boldsymbol{A}=\nabla \times \boldsymbol{A}$ ．

这样就将梯度、散度、旋度的运算问题转化为算子 $\nabla$ 的运算，而 $\nabla$ 所服从的微分运算法则和向量运算法则是我们所熟悉的．这就是引进 $\nabla$ 算子的原因．

根据 $\nabla$ 的微分和向量运算法则可证得以下梯度、散度、旋度的基本性质：

### （2）梯度的基本性质
（1）$\nabla(u+v)=\nabla u+\nabla v$ ；
（2）$\nabla(u v)=v \nabla u+u \nabla v$ ；
（3）$\nabla\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v \nabla u-u \nabla v}{v^2}$ ；

（4．）$\nabla u \cdot \mathrm{~d} s=\mathrm{d} u$（这里 $\mathrm{d} s=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z)$ ）．
（3）散度的基本性质
（1）$\nabla \cdot(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=\nabla \cdot \boldsymbol{A}+\nabla \cdot \boldsymbol{B}$ ；
（2）$\nabla \cdot(u A)=u \nabla \cdot A+A \cdot \nabla u$ ；
（3）$\nabla \cdot(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})=(\nabla \times \boldsymbol{A}) \cdot \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \cdot(\nabla \times \boldsymbol{B})$ ；
（4．）$\nabla \cdot(\nabla \times A)=0$ ．

`例`已知 $\varphi=\mathrm{e}^{x y z}, r=x i+y j+z k$ ，求 $\operatorname{div}(\varphi r)$ ．
解

$$
\begin{gathered}
\operatorname{div}(\varphi r)=\nabla \cdot(\varphi r)=\varphi \nabla \cdot r+\nabla \varphi \cdot r \\
\nabla \cdot r=\nabla \cdot(x i+y j+z k)=3 \\
\nabla \varphi=\nabla \mathrm{e}^{x y z}=\mathrm{e}^{x y z} \nabla(x y z)=\mathrm{e}^{x y z}(y z i+x z j+x y k)
\end{gathered}
$$

故 $\operatorname{div}(\varphi r)=3(1+x y z) \mathrm{e}^{x y z}$ 。
### （4）旋度的基本性质
（1）$\nabla \times(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=\nabla \times \boldsymbol{A}+\nabla \times \boldsymbol{B}$ ；
（2）$\nabla \times(u A)=u(\nabla \times A)+\nabla u \times A$ ；
（3）$\nabla \times \nabla u=\mathbf{0}$ ．

注（1）可证若算子＂$\nabla$＂作用于数量值函数产生一个向量值函数，并满足梯度的基本性质；＂$\nabla$ ．＂作用于向量值函数产生一个数量值函数，并满足散度的基本性质；＂$\nabla \times$＂作用于向量值函数产生一个向量值函数，并满足旋度的基本性质，则该算子＂$\nabla$＂必为 $\nabla=\frac{\partial}{\partial x} i+\frac{\partial}{\partial y} j+\frac{\partial}{\partial z} k$ ．并且 $\nabla u, \nabla \cdot A, \nabla \times A$ 的结果就是（9．2）式，（9．3）式，（9．4）式。
（2）利用 $\nabla$ 算子，高斯公式与斯托克斯公式可分别写为

$$
\iiint_{\Omega} \nabla \cdot \boldsymbol{F} \mathrm{d} V=\oint_{\Sigma} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} S, \iint_{\Sigma}(\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot \mathrm{d} S=\oint_{\partial \Sigma^{+}} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r} .
$$

`例`证明： $\operatorname{div}(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})=\operatorname{rot} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \cdot \operatorname{rot} \boldsymbol{B}$ ．
证

$$
\begin{aligned}
\operatorname{div}(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) & =\nabla \cdot(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \\
& =\boldsymbol{B} \cdot(\nabla \times \boldsymbol{A})-\boldsymbol{A} \cdot(\nabla \times \boldsymbol{B})=\boldsymbol{B} \cdot \operatorname{rot} \boldsymbol{A}-\boldsymbol{A} \cdot \operatorname{rot} \boldsymbol{B} .
\end{aligned}
$$

注意：此例利用了散度基本性质中的（3）式，由此题证明过程知，只要充分利用 $\nabla$ 的向量与微分的二重性质，就不难推出梯度、散度与旋度的一些基本性质。

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