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高等数学
附录：向量场
散度和旋度的几何形式
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2025-06-18 08:12
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散度和旋度的几何形式
## 散度和旋度的几何形式 上面, 我们是从考虑特殊形状的区域中流出的流体来得到散度的表达式的,但区域的形状与流并无内在的关系.如果考虑从另一个无穷小矩形R流出的流体,那么将会得到更多的洞察,这个矩形有两边是向量场X的流线,而另两边则是流线的正交轨迹的一段. 见图11-5.  图中 $z$ 是一点，而 $R$ 最终将会缩成这一点，我们就是要在此点求 $X$ 的散度．令 $S$ 和 $P$ 是过 $z$ 点的流线及其正交轨迹，$s$ 和 $p$ 分别是 $S$ 和 $P$ 上的弧长，$p$ 的增加方向选定与 $X$ 成正的直角（如图上的箭头所示）。 从 $R$ 的净流出流量等于流入流量与流出流量之差，前者是 $|X| d p$ ，后者仍是此式，不过要取在 $R$ 的对边上而且反号。现在很清楚，有两个因素使得流出的流体多于流入的流体：（1）在出口处流速 $|X|$ 更大；（2）在出口处两条流线的距离 $d p$ 更大。 第二个因素显然受 $X$ 的方向在 $d p$ 间距中有多大的变化所控制，即受 $P$ 在 $z$点的曲率 $\kappa_P$ 控制。说精确一点，如果用 $\delta$ 来表示一个量在流线上运动 $d s$ 时的增长量，则
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