最后更新: 2025-04-22 18:38 查看: 34 次反馈刷题

环流量

## 环流量的通俗解释

**更详细介绍，请参考 多元积分一节里的 [理解：环量与旋度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2686)**

先看一个简单例子:如下这是一汪湖水，其中箭头所指方向为水流方向，长短为水流的力量大小：
 ![图片](/uploads/2025-01/56eb22.jpg){width=300px}

要计算一艘船在水流中受到多少旋转的力，就把这艘船丢到水里去。船的轮廓曲线抽象为封闭曲线，我们称为 $\Gamma$ ：
 ![图片](/uploads/2025-01/444f3b.jpg){width=300px}
 
 可以比较直观的感受单位时间内，这艘船在水场中受到旋转的力就称为环流量。对于一个圆，我们可以比较直观的感受到：
  ![图片](/uploads/2025-01/dd6e89.jpg){width=300px}
  我们只需要切线方向的力：
   ![图片](/uploads/2025-01/740dfd.jpg){width=300px}
   
   因此整个环流量的表达式为：
   
   $\oint_{\Gamma} \vec{A} \cdot \vec{\tau} d$
 
通量是单位时间内通过的某个曲面的量
散度是通量强度
环流量是单位时间内环绕的某个曲线的量
旋度是环流量强度

现在把这种理念用到磁场里，在高中物理里学过，通电导线在磁场中，受到安培力的作用，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1003) 。

想象一下把一个闭环导线放入磁场里通上电，在导线上去一个微分元，分析改点的受力和运动方向。可得力A沿着闭合回路，回路上任一点的切线方向为该点的矢量场强度。好了，环量的定义出来了，即：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& d \psi=A \bullet d l \\
& \psi=\oint_l A \bullet d l
\end{aligned}
}
$$

![图片](/uploads/2025-01/79ff34.jpg){width=300px}

现在核心结论出来了：
> 若环量为0，即：则该矢里场A就是无旋场了(也称为保守场)，无旋表示没有产生矢量线的旋心；
若环量不为0，即：则该矢量场A就是有旋场了(也称为非保守场)；有旋表示有产生矢量线的旋心。

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【高等数学】理解：环流量与环密度

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