最后更新: 2025-01-30 09:57 查看: 23 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

向量空间

数学研究的函数主要包括两类：
（1）标值函数，即只有大小的函数。
（2）向量函数，即同时有大小和方向的函数。
在物理里，不管是力，速度，还是加速度磁场等都是既有大小又有方向的向量。本节简单介绍这些概念。

## 向量空间的分解
对于三维空间的力基本思想是进行坐标分解，如下图：
在三维空间的力$\boldsymbol{F}$ 可以沿着$X,Y,Z$坐标轴进行分解。

设力F与$x$轴夹角为$\alpha$（图中未画出）, 与$y$轴夹角为$\beta$（图中未画出）,  与z轴夹角为$\gamma$ ,同时用$i,j,k$ 分别表示 $x,y,z$轴的单位
 ![图片](/uploads/2025-01/20a58d.svg){width=400px}
 
 这样，就可以得到力F在三维空间上的分解为：
 
 $$
 \boxed{
 {F}= F cos \alpha i + F \cos \beta j +F cos \gamma k
 }
 $$
 这就是空间向量的**代数式表示**方法。
 
 另外一种方法是，写成**坐标形式**，写成尖括号形式
 $$
 \boxed{
 {F}= < F cos \alpha, F \cos \beta ,F cos \gamma k >=( F cos \alpha, F \cos \beta ,F cos \gamma k )
 }
 $$
 
有时候也可以写成括号
 
 $$
 \boxed{
 {F}= ( F cos \alpha, F \cos \beta ,F cos \gamma k )
 }
 $$
 
 这三种仅是一种约定的表示向量方法。
 
 在上面表示时，$x,y,z$是互相垂直的，但是，请记住，实际运算力，并非一定要相互垂直，因此更一般的坐标表示如下图，在这种坐标下，上面表示方法依然有效。
 
  ![图片](/uploads/2025-01/ab6572.jpg){width=200px}
  
 ## 单位向量
 高中学过向量，把模长为1的向量定义为单位向量。 给定三维空间一个坐标，通过模可以获得他的单位向量，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1598)
  假若 $ x$ 是 $R ^3$ 中的向量，且 $ x= (5,8,3)$ ， 那么 $\| x\|$ 长度就是空间长方体对角形的长度，也就是$||x||=\sqrt{5^2+8^2+3^2}=\sqrt{98}$
  ![图片](/uploads/2024-11/d3b64a.jpg){width=300px}

这样，单位向量$u=(\dfrac{5}{\sqrt{98}} ,\dfrac{8}{\sqrt{98}} \dfrac{3}{\sqrt{98}} )$ 这就相当于对一个向量进行了单位化。

## 向量点积
 两个向量$A=(x,y,z)$ 和$B=(m,n,k)$ 的点积定义为
 $$
 W=A \cdot B= xy+yn+zk
$$

他的计算方法是对应坐标乘积后相加，物理意义是一个向量在另外一个向量上的投影，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)

## 切向量
现在考虑空间一个向量 $\vec{r}=<x,y,z>$ 沿着弧线运动，其运动切线方法有一个速度$\vec{u}$ 现在我们看看怎么求$\vec{u}$

![图片](/uploads/2025-01/f9e156.jpg)
 
 从图中可以看到,$dr$微分就是各个分量的微分， 
 $d\vec{r}=<dx,dy,dz>$
 但是，我们需要求的是**单位向量**$\vec{u}$, 根据上面知识，可以得到他的模为
 
 $|d \vec{r}|=\sqrt{(d x)^2+(d y)^2+(d z)^2}=ds$
 
 因此，得到
 $$
 \stackrel{\rightharpoonup}{u}=\frac{d \stackrel{\rightharpoonup}{r}}{|d \stackrel{\rightharpoonup}{r}|}=<\frac{d x}{d s}, \frac{d y}{d s}, \frac{d z}{d s}>
 $$
 
 这里的$ds$可以认为是“微弧”长

因为根据定义，单位向量模长为1，所以
$$
|\vec{u}|=\sqrt{\left(\frac{d x}{d s}\right)^2+\left(\frac{d y}{d s}\right)^2+\left(\frac{d z}{d s}\right)^2}=1
$$

## 方向导数
假设有一个函数 $f=(x,y,z)$ ,他是空间一个函数,你可以把$f$想象为一个电磁场，里面有一个粒子，这个电磁场在每个方向上都给粒子一个力，让粒子运动，而粒子最终的**速率**是所有力合成后的结果。

> 物理中有速率和速度两个概念。速率仅指大小不含方向，而速度包括大小和方向。

那么方向导数怎么求呢？

假设要求粒子沿着$l$方向的速率。基本思想是：把各个力都投影到$l$上，然后直接相加即可，即：
(再次强调一下，虽然我们经常用直角坐标系，但是并不是绝对的，因此这里 $\alpha, \beta$ 表示l与$x,y$的夹角，但$\alpha+\beta$不代表一定要等于90度)
即方向导数公式为

$$
\boxed{
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta
}
$$

![图片](/uploads/2025-01/ce4585.jpg)

`例`求二维函数 $z=x e ^{2 \gamma}$ 在点 $P(1,0)$ 处沿从点 $P(1,0)$ 到点 $Q(2,-1)$ 的方向的方向导数．

解 这里方向 $l$ 即向量 $\overrightarrow{P Q}=(1,-1)$ 的方向，与 $l$ 同向的单位向量为 $e_l=$ $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ．

因为函数可微分，且

$$
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=\left.e^{2 y}\right|_{(1,0)}=1,\left.\quad \frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,0)}=\left.2 x e^{2 y}\right|_{(1,0)}=2
$$

故所求方向导数为
 
$$
\left.\frac{\partial z}{\partial l}\right|_{(1,0)}=1 \times \frac{1}{\sqrt{2}}+2 \times\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}

可以证明三元函数的方向导数为
$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0, z_0\right)}=f_z\left(x_0, y_0, z_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0, z_0\right) \cos \beta+f_z\left(x_0, y_0, z_0\right) \cos \gamma .
$$

`例` 求 $f(x, y, z)=x y+y z+z x$ 在点 $(1,1,2)$ 沿方向 $l$ 的方向导数，其中 $l$ 的方向角分别为 $60^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ ．

解 与 $l$ 同向的单位向量

$$
e_l=\left(\cos 60^{\circ}, \cos 45^{\circ}, \cos 60^{\circ}\right)=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)
$$

因为函数可微分，且

$$
\begin{aligned}
& f_x(1,1,2)=\left.(y+z)\right|_{(1,1,2)}=3 \\
& f_y(1,1,2)=\left.(x+z)\right|_{(1,1,2)}=3 \\
& f_z(1,1,2)=\left.(y+x)\right|_{(1,1,2)}=2
\end{aligned}
$$

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(1,1,2)}=3 \times \frac{1}{2}+3 \times \frac{\sqrt{2}}{2}+2 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}(5+3 \sqrt{2}) .
$$

## 梯度
方向导数相当于你给了我一个方向，我可以求出沿着这个方向的速率大小。但是，我们更多时候关心的是粒子的最终速度。
通过物理课知道，粒子运动最终的轨迹是一个曲线，而切线方向就是粒子运动的最终方向，切线长度就是粒子速度的大小。为此，我们给出如下定义：

在平面区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 $P_0\left(x_0, y_0\right) \in D$ ，都可定出一个向量

$$
f_x\left(x_0, y_0\right) i +f_y\left(x_0, y_0\right) j
$$

这向量称为函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的梯度，记作 $\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)$ 或 $\nabla f\left(x_0, y_0\right)$ ，即

$$
\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)=\nabla f\left(x_0, y_0\right)=f_x\left(x_0, y_0\right) i+f_y\left(x_0, y_0\right) j
$$

其中 $\nabla=\frac{\partial}{\partial x} i+\frac{\partial}{\partial y} j$ 称为（二维的）向量微分算子或 Nabla 算子，$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x} i+\frac{\partial f}{\partial y} j$ ．

> 小提示 ：$\nabla f$ 写作 Nabla f，但是一般读作 del f

想象一下，你在山上，怎么会下山？虽然下山的路径有无数条，但是你肯定会沿着下降速度最快的方向下山。

![图片](/uploads/2025-01/c24f06.svg){width=400px}

进一步的，如果把山的每一点高度相同的连接在一起，会形成一个**等值线**(也叫等高线)。这些等值线投影到水平面上，会形成一个个曲线。可以证明速度方向的水平投影正是水平面上该点曲线的法向量。

由此我们有如下3个小结论：如果我们把你下山的速度方向定义为方向导数的方法，那么就有

（1）当 $\theta=0$ ，即方向 $e _l$ 与梯度 $\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)$ 的方向相同时，函数 $f(x, y)$ 增加最快．此时，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度 $\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)$的模，即

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=\left|\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)\right|
$$

这个结果也表示：函数 $f(x, y)$ 在一点的梯度 $\operatorname{grad} f$ 是这样一个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值．

（2）当 $\theta=\pi$ ，即方向 $e_l$ 与梯度 $\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)$ 的方向相反时，函数 $f(x, y)$ 减少最快，函数在这个方向的方向导数达到最小值，即

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=-\left|\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)\right|
$$

（3）当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ ，即方向 $e _l$ 与梯度 $\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)$ 的方向正交时，函数的变化率为零，即

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=\left|\operatorname{grad} f\left(x_0, y_0\right)\right| \cos \theta=0
$$

### 三维空间

上面讨论的是二维的，如果是三维呢？根据空间隐函数求导，s是弧，对其求导的：
$$
\frac{d f}{d s}=\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d s}+\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d s}+\frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d s}
$$

上面可以写成向量内积的写法

$$
\frac{d f}{d s}=<\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}>\cdot<\frac{d x}{d s}, \frac{d y}{d s}, \frac{d z}{d s}>
$$

$$
=\nabla f \cdot \dot{\vec{u}}
$$

`例`设 $f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)$ ，点 $P_0(1,1)$ ，求：
（1）$f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处增加最快的方向以及 $f(x, y)$ 沿这个方向的方向导数；
（2）$f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处减少最快的方向以及 $f(x, y)$ 沿这个方向的方向导数；
（3）$f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处的变化率为零的方向．
解（1）$f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处沿 $\nabla f(1,1)$ 的方向增加最快，

$$
\nabla f(1,1)=\left.(x i+y j)\right|_{(1,1)}=i+j,
$$

故所求方向可取为

$$
n=\frac{\nabla f(1,1)}{|\nabla f(1,1)|}=\frac{1}{\sqrt{2}} i+\frac{1}{\sqrt{2}} j,
$$

方向导数为

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial n}\right|_{(1,1)}=|\nabla f(1,1)|=\sqrt{2} .
$$

（2）$f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处沿 $-\nabla f(1,1)$ 的方向减少最快，这方向可取为

$$
n_1=-n=-\frac{1}{\sqrt{2}} i-\frac{1}{\sqrt{2}} j
$$

方向导数为

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial n_1}\right|_{(1,1)}=-|\nabla f(1,1)|=-\sqrt{2} .
$$

（3）$f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处沿垂直于 $\nabla f(1,1)$ 的方向变化率为零，这方向是

$$
n_2=-\frac{1}{\sqrt{2}} i+\frac{1}{\sqrt{2}} j \text { 或 } n_3=\frac{1}{\sqrt{2}} i-\frac{1}{\sqrt{2}} j \text {. }
$$

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