最后更新: 2025-04-22 18:38 查看: 77 次反馈刷题

旋度

## 旋度

**更详细介绍，请参考 多元积分一节里的 [理解：环量与旋度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2686)**

假设有一速度场，旋度是度量该速度场中的旋转分量。即以数学语言的方式来形容速度场的旋转程度。

1，旋度公式：

$$
r o t A=\left(\frac{\partial R}{\partial Y}-\frac{\partial Q}{\partial Z}\right) i+\left(\frac{\partial P}{\partial Z}-\frac{\partial R}{\partial X}\right) j+\left(\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}\right) K
$$

为了便于记忆将公式写成：

$$
\operatorname{rot} A=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right|
$$

2．我们该如何理解旋度？
首先我们不考虑三维空间，建立一个二维平面，即 $X Y$ 平面。假设速度场沿 X 方向速度分量是 $P(x, y) i$ ，沿 $Y$ 方向的速度分量是 $Q(x, y) j$ 在 $X Y$ 平面中有一刚体。如下图：
 ![图片](/uploads/2025-01/625730.jpg){width=400px}
 图中的刚体可以是一块木板、玻璃什么的。
  ![图片](/uploads/2025-01/ecfcb3.jpg){width=400px}
  
  当向量 $Q 1= Q 2= Q 3=\ldots \ldots Qn$ 的时候，其中 Q 向量代表速度，向量的长度代表速度的大小。大家可以发现刚体将沿着平行于 $Y$ 轴的方向运动，而不会发生旋转，那么我们说刚体的旋度是 0 。即
  $\frac{\partial Q}{\partial x}=0$
  刚体将不发生旋转。那么刚体如何才能旋转呢？
  
   $\frac{\partial Q}{\partial x} \ne 0$
   
   的时候，即沿着刚体的方向 Q 发生变化时候刚体将产生旋转，如下图：
  ![图片](/uploads/2025-01/c02757.jpg){width=400px}

物理学中我们知道旋转线速度 $=$ 角速度  $\times $ 半径 $(v=w r)$ ，所以角速度

$$
\omega=\frac{\partial v}{\partial r} \text {, 可以证明他就是 } \frac{\partial Q}{\partial x} \text { 。 }
$$

旋转轴方向垂直于 $X Y$ 平面。接下来我们看图中的 $A$ 点，如下图：

![图片](/uploads/2025-01/4f3061.jpg)
这里的P1，P2和Q1，Q2指刚体上不同的点相对于 $Y$ 轴和X 轴 的角速度变化。
那么很容易发现该旋转是两个旋转的叠加，某一点的角速度

$$
\omega=\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}
$$

即旋度为

$$
\omega=\left(\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}\right) k
$$

由于这是在$XOY$平面得出的结果，同样在YOZ，XOZ平面也可以得出同样的推论，因此得到旋度公式

$$
\operatorname{rot} A=\left(\frac{\partial R}{\partial Y}-\frac{\partial Q}{\partial Z}\right) i+\left(\frac{\partial P}{\partial Z}-\frac{\partial R}{\partial X}\right) j+\left(\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}\right) K
$$

若向量场里 rot A 处处为零，表示这是一个无旋场。

其他版本
【高等数学】斯托克斯公式、环流量与旋度【高等数学】方向导数【高等数学】通量【高等数学】散度【高等数学】理解：旋度

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