最后更新: 2025-11-07 12:53 查看: 190 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

柯西收敛准则与调和级数、几何级数

## 级数收敛的柯西准则
考虑一个数列$u_n$的和
$$
u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots ...(1)
$$

**级数收敛的柯西准则** 级数收敛的充要条件是：任给正数 $\varepsilon$ ，总存在正整数 $N$ ，使得当 $m>N$ 以及对任意的正整数 $p$ ，都有

$$
\left|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots+u_{m+p}\right|<\varepsilon ...(7)
$$

根据定理 ，我们立刻可写出级数发散的充要条件：存在某正数 $\varepsilon_0$ ，对任何正整数 $N$ ，总存在正整数 $m_0(>N)$ 和 $p_0$ ，有

$$
\left|u_{m_0+1}+u_{m_0+2}+\cdots+u_{m_0+p_0}\right| \geqslant \varepsilon_0 ...(8)
$$

由定理立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件．

**推论** 若级数收敛，则$\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$

柯西准则想表达的有2个意思：

>（1）若级数收敛，那么他的第$n$项的极限趋近于零
>（2）若级数收敛，从第$n$位开始到第$p$位的所有项的和也趋近零。
 
 
当一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的一般项 $u_n$ 不收敛于零时，由推论可知该级数发散。因此，上述推论常用来判断级数的发散．但推论只是级数收敛的必要条件，不是充分条件，即当一般项 $u_n \rightarrow 0$ 时，不能得出该级数收敛的结论．请看下例．

## 调和级数
`例`证明调和级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots$是发散的．

分析：要证明他是发散的，我们只要严重从m开始的后p位之和是发散的即可。为了方便严重，我们取$p=m$，即看一下从m开始的后面$m$位之和是多少
**证** 由

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0
$$
 
无法用推论推出调和级数发散．但令 $p=m$ 时，有

$$
\begin{aligned}
\left|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots+u_{2 m}\right| & =\left|\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+\cdots+\frac{1}{2 m}\right| \\
& \geqslant\left|\frac{1}{2 m}+\frac{1}{2 m}+\cdots+\frac{1}{2 m}\right| \\
& =\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

因此由上面推论（8），取 $\varepsilon_0=\frac{1}{2}$ ，对任何正整数 $N$ ，只要 $m>N$ 和 $p=m$ 就有（7）式成立，所以调和级数是发散的．

**证法2**  比较判别法（经典方法）

$$
\begin{aligned}
& 1+\frac{1}{2}+\fr

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