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高等数学
附录：向量场
零散度和零旋度向量场
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2025-06-18 08:16
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零散度和零旋度向量场
旋度;通量;散度;梯度;向量场
## 零散度和零旋度向量场 由前面定义可知，若 $X$ 在某区域 $R$ 中为无源且无旋的，则在 $R$ 的每一点均有 $$ \nabla \cdot X =0 \quad \text { 以及 } \quad \nabla \times X =0 \text {. } $$ 这时我们就说 $X$ 在 $R$ 中是零散度和零旋度的。 例如，考虑一个具有强度 $S$ 的源点的向量场： $$ X(z)=\frac{S}{2 \pi \bar{z}} \quad \Leftrightarrow \quad X =\frac{S}{2 \pi}\binom{x /\left(x^2+y^2\right)}{y /\left(x^2+y^2\right)} $$ 除在原点外，它应该处处有零流量密度（即散度），而在原点，此向量场无定义。请自行验证此事。回想一下，我们以前说过，它也是一根很长的有电荷均匀分布的导线所生成的静电场。我们现在看见了，说这个场是局部保守的也是有物理意义的。如果是局部保守的，当我们把冰球（现在它必须带有电荷才能感到静电场的作用力）射入一个无穷小环路，在回到起点时，冰球的动能不变。要证明这个局部保守性，就必须验证这个场是零旋度的。 我们已经看到，一个无源且无旋的向量场必是零散度和零旋度的。在本节结束时，我们想要证明其逆：若在一区域中，一个向量场散度和旋度均为零，则它对区域中所有简单环路的流量和功也都为零．这时，我们有： > **一向量场在一单连通区域中无源且无旋，当且仅当它具有零散度和零旋度。** 为了理解这个逆定理，考虑图 11－6。把那个图所说明的推理再重复一次。首先注意，如果图上的网格越来越细，则 $K$ 上的流量和功就趋于 $C$ 上的流量和功。其次，把流量和功与 $K$ 内的散度和旋度联系起来。请验证，原来给出 $$ \oint_K f(z) d z=\sum \oint_{\square} f
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