最后更新: 2025-01-28 21:22 查看: 26 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

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## 曲线积分与路径无关的物理解释
在高中学习过万有引力、静电场力等，这些力都是保守力，详见[麦克斯韦方程组](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879) ,而保守力做功最大的好处是与路径无关。
最经典的，一个小球从A下落到B，不论是自由落体下落，还是沿着斜面下落，或者沿着曲面下落，中间怎么走的不重要，重力做功的大小只与A,B的起始位置有关，如下图
 ![图片](/uploads/2025-01/7fba5c.jpg){width=500px}
 
 下面我们研究一下重力做功的问题，参考下图，一个小球受到万有引力的作用从A运动到B点，该模型中，求变力在曲线上做功，即为第二类曲线积分。
 
 任意k点，变化的引力为 $F=\frac{G M m}{r^2}$ ，其中 $r^2=x^2+y^2$ ，立即推，$F=\frac{G M m}{x^2+y^2}$ 。
 
 ![图片](/uploads/2025-01/78d4f5.jpg)
  
设引力与 y 轴夹角设为 $\theta$ ，小球所受引力在 x 轴和 y 轴的分量，可表示为 
$F \sin \theta=F_x=P$ 
$F \cos \theta=F_y=Q$

这样，整个功就是 $W_L=\int_L P d x+Q d y$ 。
（因为P是水平方向，所以我们只关系Pdx,而Pdy做功始终为零，同样也只关系Qdy，Qdx做功也始终为零）

根据勾股定理，可得出， $\sin \theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, ~ \cos \theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

所以，$P=F \sin \theta=\frac{G M m x}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}} ;  Q=F \cos \theta=\frac{G M m y}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}$

现在我们计算一下
$\frac{\partial P}{\partial y} $ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 可以发现他们相等
即积分结果与路径无关，需要满足下面条件。

$$
\boxed{
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x}
}
$$

可以证明，上面通过简单的示例退出的结论适合整个曲线积分。

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