最后更新: 2025-04-21 12:00 查看: 44 次反馈刷题

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格林公式的向量形式

## 格林公式的向量表达方式
$$
\boxed {
\oint_{L} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_{D} (
\nabla \times \vec{F}) \cdot \mathbf{k} \, dA
}
$$

**左边**：向量场 $ \vec{F} $ 沿闭合路径 $ L $ 的环量（线积分）。  
**右边**：向量场旋度 $ \nabla \times \vec{F} $ 在区域 $ D $ 内的通量积分（仅保留垂直于平面的分量 $ \mathbf{k} $）
**物理意义** 旋度 $ \nabla \times \vec{F} $ 描述了向量场的局部旋转特性，格林公式表明环量由区域内的旋度分布决定。

`例` 函数 $u(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有连续的二阶偏导数，$L$ 为 $D$的边界且逐段光滑．证明：

$$
\oint_{L^{+}} \frac{\partial u}{\partial n} d s=\iint_D \Delta u d \sigma,
$$

其中 $\frac{\partial u}{\partial n }$ 表示函数 $u(x, y)$ 沿 $L$ 的外法线方向的方向导数，$\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ ．

![图片](/uploads/2025-04/40b839.jpg)
 
 证 设 $t_0$ 为 $L^{+}$的单位切向量，其方向余弦为 $\cos \alpha, \cos \beta$ ．而 $n _0$ 为 $L$ 的外法线方向的单位向量。设 $n _0=(a, b) . t _0$ 与 $n _0$ 应满足（参见图）

$$
n _0 \cdot t _0=0 \quad \text { 及 } \quad n _0 \times t _0= k ,
$$

其中 $k$ 为 $z$ 轴正方向的单位向量．由于

$$
\begin{aligned}
n _0 \times t _0 & =\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
a & b & 0 \\
\cos \alpha & \cos \beta & 0
\end{array}\right| \\
& =(a \cos \beta-b \cos \alpha) k ,
\end{aligned}
$$
故条件 $n _0 \cdot t _0=0$ 及 $n _0 \times t _0= k$ 即表为
$$
\left\{\begin{array}{l}
a \cos \alpha+b \cos \beta=0, \\
a \cos \beta-b \cos \alpha=1,
\end{array}\right.
$$

由此解出 $a=\cos \beta, b=-\cos \alpha$ ，即

$$
n _0=(\cos \beta,-\cos \alpha) .
$$

此式说明 $n _0$ 的方向余弦为 $\cos \beta,-\cos \alpha$ ．于是由方向导数的定义，有

$$
\begin{aligned}
\oint_{L^{+}} \frac{\partial u}{\partial n } d s & =\oint_{L^{+}}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \cos \beta-\frac{\partial u}{\partial y} \cos \alpha\right) d s \\
& =\oint_{L^{+}} \frac{\partial u}{\partial x} d y-\frac{\partial u}{\partial y} d x \\
& =\iint_D\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\right] d x d y \\
& =\iint_D \Delta u d x d y .
\end{aligned}
$$

证毕．

`例`设区域 $D$ 的边界为闭曲线 $L$ ．某稳定流体（即流体的流速与时间无关，只与点的位置有关）在 $\bar{D}=D+L$ 上每一点 $(x, y)$ 处的速度为

$$
v(x, y)=(P(x, y), Q(x, y)),
$$

其中函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $\bar{D}$ 上有一阶连续偏导数。该流体通过闭曲线 $L$的流量 $\Phi$ 定义为

$$
\Phi=\oint_{l^{+}} v \cdot n d s,
$$

其中 $n$ 为 $L$ 的外法线方向的单位向量．试证明下列公式成立：

$$
\oint_{L^{+}} v \cdot n d s=\iint_D\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) d \sigma .
$$

证 设 $L^{+}$的切向量的方向余弦为 $\cos \alpha, \cos \beta$ ．由上例 知

$$
n =(\cos \beta,-\cos \alpha),
$$

于是

$$
\oint_{L^{+}} v \cdot n d s=\oint_{L^{+}}(P \cos \beta-Q \cos \alpha) d s=\oint_{L^{+}} P d y-Q d x .
$$

又由格林公式可得

$$
\oint_{L^{+}} P d y-Q d x=\iint_D\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) d \sigma .
$$

由上两式即可推出所要的公式．证毕．

上述公式也可看作是格林公式的另一种形式向量表达方式．物理上称函数 $\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)$ 为平面向量场 $v=(P(x, y), Q(x, y))$ 的散度。于是上述公式的物理意义是：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等于其散度在该闭曲线所包围的区域上的二重积分之值．

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做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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