最后更新: 2025-11-06 15:25 查看: 163 次纠错评论(0) 课件开VIP

向量场的环量与旋度

## 向量场的环量与旋度
设 $\boldsymbol{F}=P \boldsymbol{i}+Q \boldsymbol{j}+R \boldsymbol{k}$ 是一个向量场，而 $L$ 是向量场中给定的一条有定向的闭曲线．我们称曲线积分

$$
I=\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z
$$

为向量场 $\boldsymbol{F}$ 沿 $L$ 的环量．积分 $I$ 又可写成

$$
I=\oint_L \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r},
$$

其中 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z)$ 。
当 $\boldsymbol{F}$ 是一个静力场时，其环量 $I$ 是 $\boldsymbol{F}$ 沿曲线 $L$ 作用一周时所做的功．当 $\boldsymbol{F}$ 是一个流速场时， $\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}$ 则是曲线 $L$ 上一点处的流速在 $L$ 切线方向的投影乘以相应的弧微分。因此，**在流速场中沿一条有向闭曲线之环量是流速沿曲线切线方向投影的某种代数和**。它的物理意义在于表明这个闭曲线整体上看是否旋转。

在某些特殊情形下，这一点看得十分清楚。比如，设 $\boldsymbol{F}$ 是一个流速场，其流线（即向量线）如图所示。

![图片](/uploads/2025-11/0c0e20.jpg){width=300px}

取其中一条封闭的向量线 $L$（其指向与 $\boldsymbol{F}$ 的一致）作为环量定义中的曲线，则由于 $\boldsymbol{F}$ 与 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ 同向， $\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}$恒大于 0 ，因而 $I=\oint_L \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}>0$ 。另一方面，从流线上图不难看出，沿着曲线 $L$ ，该流速场有＂旋转＂．此例说明，当沿着曲线 $L$ 流速场有旋转时，则沿 $L$ 的环量不等于零．

> 注意：对于一个公式，可以有不同的解读意义，这对初学者来说感觉不可思议。

### 环量密度
为了研究向量场中每一点附近的＂旋转＂情况．引进环量面密度的概念．
在向量场 $\boldsymbol{F}$ 中任意取定一点 $M$ 。在 $M$ 处任意取定一个单位向量 $\boldsymbol{n}$ ，过点 $M$ 任作一小曲面 $S(S$ 在 $M$ 处的法向量为 $\boldsymbol{n})$ ，并设 $L$ 为曲面 $S$ 的正向边界，与 $n$ 组成右手系（见下图）。

![图片](/uploads/2025-11/9c91a9.jpg){width=300px}

当曲面 $S$ 收缩成一点 $M$ 时，即当 $S$ 的直径 $\lambda(S) \rightarrow 0$ 时，若极限

$$
\frac{\lim _{\lambda(S) \rightarrow 0} \oint_L \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}}{m(S)}
$$

存在（其中 $m(S)$ 为曲面 $S$ 的面积），则称该极限值为向量场 $\boldsymbol{F}$ 在 $M$ 点绕方向 $\boldsymbol{n}$ 之环量面密度，或称为方向旋量。

当 $P, Q, R$ 满足斯托克斯公式的条件时，有

$$
\begin{aligned}
\oint_L \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}= & \iint_S\left[\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \cos \alpha+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \cos \beta\right. \\
& \left.+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \cos \gamma\right] \mathrm{d} S
\end{aligned}
$$

其中 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是 $S$ 的法向量的方向余弦．利用积分中值定理，我们又有

$$
\begin{aligned}
\oint_L \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}= & {\left[\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \cos \alpha+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \cos \beta\right.} \\
& \left.+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \cos \gamma\right]\left.\right|_{\widetilde{M}} \cdot m(S),
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\lim _{\frac{\lambda(S) \rightarrow 0}{m(S)} \oint_L \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}}= & {\left[\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \cos \alpha+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \cos \beta\right.} \\
& \left.+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \cos \gamma\right]\left.\right|_M \\
= & \left|\begin{array}{ccc}
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right|_M .
\end{aligned}
$$

这就是向量场 $\boldsymbol{F}=(P, Q, R)$ 在一点 $M$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向旋量公式，其中 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 在 $M$ 点的值恰好就是 $\boldsymbol{n}$ 的方向余弦。

上述公式又可以进一步改写为

$$
\frac{\lim _{\lambda(S) \rightarrow 0} \oint_L \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}}{m(S)}=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right|_M \cdot \boldsymbol{n} .
$$

我们称向量

$$
\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right|_M
$$

为向量场 $\boldsymbol{F}$ 在一点 $M$ 处的旋度，并记为 $\operatorname{rot} \boldsymbol{F}$ 。那么， $\boldsymbol{F}$ 在一点 $M$ 处沿任一方向 $\boldsymbol{n}$ 之方向旋量为

$$
\operatorname{rot} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n}=|\operatorname{rot} \boldsymbol{F}| \cos \langle\boldsymbol{n}, \operatorname{rot} \boldsymbol{F}\rangle .
$$

也就说，沿 $\boldsymbol{n}$ 之方向旋量恰好等于旋度 $\operatorname{rot} \boldsymbol{F}$ 在 $\boldsymbol{n}$ 上的投影。
由此又推出，方向旋量沿旋度的方向达到最大值．或者等价地说，旋度的方向是使方向旋量最大的方向。

旋度作为一个向量，其模恰好是沿各个方向的方向旋量中的最大值．
方向旋量与旋度的这种关系和方向导数与梯度的关系很相似。
旋度的运算有以下规则。
设 $\boldsymbol{F}, \boldsymbol{G}$ 为向量场，$u$ 为数量场，$C$ 为常数， $\boldsymbol{F}, \boldsymbol{G}, u$ 足够阶可微，则有
（1） $\operatorname{rot}(\boldsymbol{C F})=\operatorname{Crot} \boldsymbol{F}$ ；
（2） $\operatorname{rot}(\boldsymbol{F} \pm \boldsymbol{G})=\operatorname{rot} \boldsymbol{F} \pm \operatorname{rot} \boldsymbol{G}$ ；
（3） $\operatorname{rot}(u \boldsymbol{F})=u \operatorname{rot} \boldsymbol{F}+\operatorname{grad} u \times \boldsymbol{F}$ ；
（4） $\operatorname{div}(\boldsymbol{F} \times \boldsymbol{G})=\boldsymbol{G} \cdot \operatorname{rot} \boldsymbol{F}-\boldsymbol{F} \cdot \operatorname{rot} \boldsymbol{G}$ ；
（5） $\operatorname{rot}(\operatorname{grad} u)=0$ ；
（6） $\operatorname{div}(\operatorname{rot} \boldsymbol{F})=0$ ．
这些规则的证明，请读者自己完成．

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