最后更新: 2025-04-14 22:24 查看: 409 次反馈刷题

第二类曲面积分（对坐标轴的曲面积分）

## 对坐标曲面积分的概念
设一河流中每点处水的流速与时间无关，只与点的位置有关，在点 $M(x, y, z)$ 处的流速为 $v(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$ ，在河中放一双侧曲面 $S$ ，并选定 $S$ 的一侧，求单位时间内水流向 $S$ 指定一侧的质量$\Phi$  （称为水流量，设水的密度为1）。

> **建议在阅读本文前，理解了[梯度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=391)**

### 情况1
先看一种特殊情况：设 $v$ 为常向量，$S$ 为有向平面 $\pi$（其方向如单位法向量 $e_n$ 所指）上的一块，如图11．19，从图上直观可看出，单位时间内流过 $S$的质量就是以 $S$ 为底，$|v|$ 为斜高的代数体积（即可取负值）：

$$
\Phi=S|v| \cos \varphi=v \cdot e_n S=v \cdot S\left(\text { 记 } S=e_n S\right) ~ .
$$

![图片](/uploads/2025-04/892256.jpg)

当 $\Phi$ 为正时，此时 $\varphi$ 为锐角，说明水的流向与$S$ 的指定侧方向一致；
$\Phi$ 为负时，说明水的流向与$S$ 的指定侧方向相反。
这样水流量 $\Phi$ 不但刻画了单位时间内水流经过曲面 $S$ 的大小，而且说明了水的流向，这也是规定曲面方向的实际意义．

## 情况2 一般情况：
如下图

![图片](/uploads/2025-04/657aad.jpg)
 
（1）分割：将 $S$ 分割为 $n$ 个小块 $\Delta S_i$ $(i=1,2, \cdots, n)$ ，其面积也记为 $\Delta S_i$ ；
（2）近似代替：在 $\Delta S_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ ，通过 $\Delta S_i$ 的流量

$$
\begin{aligned}
\Delta \Phi_i & \approx v_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \Delta S_i \\
& =v_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot e_n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i \\
& \quad(i=1,2, \cdots, n),
\end{aligned}
$$

$e _n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 为曲面 $S$ 在点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 处与曲面侧方向一致的单位法向量；

（3）求和：总流量 $\Phi=\sum_{i=1}^n \Delta \Phi_i \approx \sum_{i=1}^n v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \Delta S_i$

$$
=\sum_{i=1}^n v_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot e_n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i
$$

（4）取极限：

$$
\begin{aligned}
\Phi & =\sum_{i=1}^n \Delta \Phi_i=\lim _{\lambda=0} \sum_{i=1}^n v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \Delta S_i=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot e_n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i \\
& =\iint_S v(x, y, z) \cdot e_n(x, y, z) d S
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{\Delta S_i\right.$ 的直径 $\}$ 。
抽去上式的物理意义得：

## 第二类曲线积分的定义
 设 $S$ 为光滑的有向曲面，$e_n(x, y, z)$ 为 $S$ 上 $(x, y, z)$ 处的单位法向量， $F (x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$ 为 $S$ 上的有界函数，若
 
 $$
\iint_S F(x, y, z) \cdot e_n(x, y, z) d S
$$

存在，则称此积分为向量值函数 $F(x, y, z)$ 在定向曲面 $S$ 上的第二类曲面积分，记为 $\iint_S F (x, y, z) \cdot d S$ ，即

$$
\iint_S F (x, y, z) \cdot d S=\iint_S F (x, y, z) \cdot e _n(x, y, z) d S
$$

由定义可知，向量值函数 $F (x, y, z)$ 在定向曲面 $S$ 上的第二类曲面积分就是数量值函数 $F (x, y, z) \cdot e _n(x, y, z)$ 在曲面 $S$ 上的第一类曲面积分，若令 $e _n(x, y, z)=\cos \alpha i+\cos \beta j+\cos \gamma k$ ，则

$$
F (x, y, z) \cdot e _n(x, y, z)=P(x, y, z) \cos \alpha+Q(x, y, z) \cos \beta+R(x, y, z) \cos \gamma
$$

积分
$$
\begin{aligned}
& \iint_S F(x, y, z) \cdot d S \\
= & \iint_S F(x, y, z) \cdot e_n(x, y, z) d S \\
= & \iint_S[P(x, y, z) \cos \alpha+Q(x, y, z) \cos \beta+R(x, y, z) \cos \gamma] d S \\
= & \iint_S P(x, y, z) \cos \alpha d S+\iint_S Q(x, y, z) \cos \beta d S+\iint_S R(x, y, z) \cos \gamma d S
\end{aligned}
$$

将 $\iint_S P(x, y, z) \cos \alpha d S$ 记为 $\iint_S P(x, y, z) d y d z, \iint_S Q(x, y, z) \cos \beta d S$ 记为 $\iint_S Q(x$ ， $y, z) d z d x, \iint_S R(x, y, z) \cos \gamma d S$ 记为 $\iint_S R(x, y, z) d x d y$ ，则第二类曲面积分的坐标表达式为

$$
\begin{aligned}
\iint_S F (x, y, z) \cdot d S & =\iint_S P(x, y, z) d y d z+\iint_S Q(x, y, z) d z d x+\iiint_S R(x, y, z) d x d y \\
& =\iint_S P(x, y, z) d y d z+Q(x, y, z) d z d x+R(x, y, z) d x d y
\end{aligned}
$$

所以第二类曲面积分又称为对坐标的曲面积分．

注（1）由以上记法可知，积分 $\iint_S F (x, y, z) \cdot d S$ 中记号 $d S$ 相当于 $e_n(x$ ， $y, z) d S$ ，即

$$
d S= e _n(x, y, z) d S=(\cos \alpha d S, \cos \beta d S, \cos \gamma d S)=(d y d z, d z d x, d x d y)
$$

$d y d z=\cos \alpha d S, d z d x=\cos \beta d S, d x d y=\cos \gamma d S, d y d z$ 是 $d S$ 在 $y O z$ 坐标面上的有
向投影面积，当 $\alpha$ 为锐角时为正，否则为负；同理 $d z d x$ 是 $d S$ 在 $z O x$ 坐标面上的有向投影面积， $d x d y$ 是 $d S$ 在 $x O y$ 面上的有向投影面积．称 $d S$ 为定向曲面元素， $d y d z, ~ d z d x, d x d y$ 为 $d S$ 的坐标，也称为定向曲面的投影元素．
（2）虽然二重积分 $\iint_D f(x, y) d x d y$ 与曲面积分 $\iint_S f(x, y, z) d x d y$ 记号类似，但其中 $d x d y$ 的意义不同，二重积分中 $d x d y$ 为 $D$ 中面积元素，恒为正，曲面积分中 $d x d y$ 为 $S$ 中面积元素 $d S$ 在 $x O y$ 面上的有向投影面积，当 $S$ 的法向量指向上方时， $d x d y$ 为正，否则为负．
（3） $\iint_S f(x, y, z) d S$ 与 $\iint_S f(x, y, z) d x d y$ 也不同， $\iint_S f(x, y, z) d S$ 中 $S$ 没有方向问题，面积元素 $d S$ 总为正．

实际中常常是三部分积分同时出现，如例中的流量可表示为

$$
\Phi=\iint_S P(x, y, z) d y d z+Q(x, y, z) d z d x+R(x, y, z) d x d y
$$

## 向量表示与性质 
在应用中出现较多的是

$$
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

这种合并起来的形式. 为简单记，上式记为

$$
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$

如果令 $A(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$ ，

$$
\mathrm{dS}=\mathrm{d} y \mathrm{~d} z i+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y j+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y k,
$$

那么上式就可以写成简便的向量形式： $\iint_{\Sigma} A(x, y, z) \cdot \mathrm{dS}$
其中 $\mathrm{dS}$ 称为有向曲面面积元素.
根据对坐标的曲面积分的定义，存在条件及以上记法，上面讨论的流体密 度为 1 ，流速单位时间内流过曲面 $\sum$ 指定侧的流量为

$$
\begin{aligned}
\Phi & =\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iint_{\Sigma} A(x, y, z) \cdot \mathbf{d S} ;
\end{aligned}
$$

### 性质
对坐标的曲面积分也具有线性性、区域可加性，例如，若被积函数在对应光 滑曲面上连续，则

$$
\iint_{\Sigma}\left[\alpha R_1(x, y, z)+\beta R_2(x, y, z)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\alpha \iint_{\Sigma} R_1(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\beta \iint_{\Sigma} R_2(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y ；
$$

设 $\Sigma=\Sigma_1+\Sigma_2$ ，则 $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma_1} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{\Sigma_2} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ；
特别地，若用 $-\Sigma$ 表示双侧曲面 $\Sigma$ 与指定的一侧相反的一侧，则

$$
\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{-\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$

因此，关于对坐标的曲面积分，我们必须注意积分曲面的侧.

## 曲面积分的计算
对坐标的曲面积分也是化为二重积分来计算的.具体方法如下:
定理 2 设光滑有向曲面 $\Sigma$ 由方程 $z=z(x, y)$ 给出， $\Sigma$ 在 $x O y$ 面上的投影区域 为 $D_{x y}$ ，函数 $z=z(x, y)$ 在 $D_{x y}$ 上具有连续偏导数，且函数 $R(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续， 则有

$$
\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pm \iint_{D_y} R(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y ，
$$

当曲面 $\sum$ 取上侧，即 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦中 $\cos \gamma>0$ 时，等式的右端取正号， 即

$$
\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_y} R(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \text {; }

定理 2 设光滑有向曲面 $\sum$ 由方程 $z=z(x, y)$ 给出， $\sum$ 在 $x O y$ 面上的投影区 域为 $D_{x y}$ ，函数 $z=z(x, y)$ 在 $D_{x y}$ 上具有连续偏导数，且函数 $R(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连 续，
曲面 $\Sigma$ 取下侧，即 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦中 $\cos \gamma<0$ 时，等式的右端取负号，即

$$
\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{x y}} R(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$

定理的证明从略.
类似地，我们有相应的结果.
设光滑有向曲面 $\Sigma$ 由方程 $x=x(y, z)$ 给出， $\Sigma$ 在 $y O z$ 面上的投影区域为 $D_{y z}$ ， 函数 $x=x(y, z)$ 在 $D_{y z}$ 上具有连续偏导数，且函数 $P(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续，则有

$$
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\pm \iint_{D_y} P(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z,
$$

当曲面 $\sum$ 取前侧，即 $\sum$ 的法向量的方向余弦中 $\cos \alpha>0$ 时，等式的右端取正号，即

$$
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\iint_{D_{y z}} P(x(y, z), y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z
$$

曲面 $\Sigma$ 取后侧，即 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦中 $\cos \alpha<0$ 时，等式的右端取负号，即

$$
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{D_y} P(x(y, z), y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z .
$$

设光滑有向曲面 $\Sigma$ 由方程 $y=y(x, z)$ 给出， $\Sigma$ 在 $x O z$ 面上的投影区域为 $D_{x z}$ ， 函数 $y=y(x, z)$ 在 $D_{x z}$ 上具有连续偏导数，且函数 $Q(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续，则有

$$
\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z=\pm \iint_{D_x} Q(x, y(x, z)) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z ，
$$

当曲面 $\sum$ 取右侧，即 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦中 $\cos \beta>0$ 时，等式的右端取正号，即

$$
\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z=\iint_{D_{j E}} Q(x, y(x, z), z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z
$$

曲面 $\Sigma$ 取左侧，即 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦中 $\cos \beta<0$ 时，等式的右端取负号，即

$$
\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z=-\iint_D Q(x, y(x, z), z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z
$$

注 若 $\sum$ 是由平行于 $z$ 轴的母线构成的柱面，
这时，由于在 $x O y$ 面上所有的投影面积 $\left(\Delta \sigma_i\right)_{x y}=0$ ，
因此 $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$

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