最后更新: 2025-10-26 04:55 查看: 741 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

曲面的侧与第二类曲面积分概述

在介绍对坐标的曲面积分之前， 我们首先要对曲面作一些说明，这里假定曲面是光滑的. 在阅读本文前，需要了解预备知识 [向量的内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=354) 与 [切平面与法线方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395) 且已经了解了 [通量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=434) 的概念。

## 曲面的侧

通常我们所见的曲面都有两侧（即两面），称为**双侧曲面**，如封闭曲面有内侧和外侧，$x O y$ 面有上侧和下侧，$y O z$ 面有前侧和后侧，$x O z$ 面有左侧和右侧等，

![图片](/uploads/2025-10/cddb0a.jpg){width=600px}
 
 
在光滑曲面的情形下，我们通常用曲面上的法向量的指向表示曲面的侧，

如果是封闭曲面，取法向量向外的方向为曲面的外侧。

非封闭曲面，取法向量与曲面的夹角为锐角表示曲面的外侧。

比如如取曲面：$z=x^2+y^2$的每点法向量指向上（法向量与 $z$ 轴成锐角）表示取曲面上侧。双侧曲面 $S$ 的特点是：**在 $S$ 上某一点 $M$ 处指定了方向的法向量在 $S$ 上不越过边界任意连续移动返回到点 $M$ 后法向量的方向不改变**。

我们总是假定以后所考虑的曲面都是双侧曲面，不仅如此，还要选定它的某 一侧. 我们称选定了侧的双侧曲面称为**有向曲面**. 比如，对于曲面 $z=z(x, y)$ ，若它的法向量 $\boldsymbol{n}$ 指向朝上，则就认为取定曲面 的上侧（见图 7-65)，又如，若闭曲面，取它的法向量指向朝外，就认为取定曲 面的外侧 (见图 7-66).

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## 有向曲面积分概述

假设有一水流过光滑曲面$\Sigma$，水流方向为$\boldsymbol{F}(x, y, z)$ 现在我们要计算单位时间内，水流流过曲面的流量。示意图如下图所示。

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我们把曲面$\Sigma$ 任意分成 $n$ 个小曲面，观察其中第 $i$ 个小曲面 $\Delta S_i$ ，这也是可定向的有向小曲面，如下图所示（下图粉红色箭头代表曲面上每一点的法向量）。

![图片](/uploads/2025-10/280123.jpg){width=500px}
 
 在有向小曲面 $\Delta S_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ ，曲面 $\Sigma$ 在 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 点有单位法向量 $\boldsymbol{n}_i$ ，以及 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 对应的向量 $\boldsymbol{F}_i=F\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ ，如下图所示，据此可作乘积 $\boldsymbol{F}\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \boldsymbol{n}_i \Delta S_i(i=1,2, \cdots, n)$ 。
 
 ![图片](/uploads/2025-10/8ce698.jpg){width=500px}
 
 
 
将这 $n$ 个小曲面对应的乘积累加起来的结果是黎曼和 $\sum_{i=1}^n \boldsymbol{F}\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \boldsymbol{n}_i \Delta S_i$ ，当曲面 $\Sigma$ 被划分的越来越细时，也就是 $\lambda \rightarrow 0$ 时，若该黎曼和的极限存在就得到了如下积分：

$$
\iint_{\Sigma} \boldsymbol{F}(x, y, z) \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d} S=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \boldsymbol{F}\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \boldsymbol{n}_i \Delta S_i
$$

这就是有向曲面积分。

### 使用切平面替代曲面

当曲面足够小时，可以使用该点的“切平面面积”近似代替曲面的面积
 
 ![图片](/uploads/2025-10/c91cef.jpg){width=500px}
 
 
 
也就是说有下面的约等式成立：

$$
\boldsymbol{F}\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \boldsymbol{n}_i \Delta S_i \approx \boldsymbol{F}\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \boldsymbol{n}_i \mathrm{~d} S_i
$$

### 计算有向切平面

可以把 $\boldsymbol{n}_i \mathrm{~d} S_i$ 整体看作一个向量，$\boldsymbol{n}_i$ 指向了曲面的方向，而 $\mathrm{~d} S_i$ 指定了曲面的大小。直接计算流体$\boldsymbol{F}\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) $流过 $\boldsymbol{n}_i \mathrm{~d} S_i$ 的流量并不好计算，所以我们采用坐标分解的方式。

![图片](/uploads/2025-10/dd8a9b.jpg){width=500px}

具体来说就是，设切平面 $\mathrm{d} S_i$ 在 $x O y$ 面上的投影 $\left(\Delta \sigma_i\right)_{x y}$（之前说 $\Delta S_i$ 在 $x O y$ 面上的投影为 $\left(\Delta \sigma_i\right)_{x y}$ ，这是约等于 $\mathrm{d} S_i$ 在 $x O y$ 面上的投影的，因为后面还会还有取极限操作，所以这里可认为 $\mathrm{d} S_i$ 在 $x O y$ 面上的投影就是 $\left(\Delta \sigma_i\right)_{x y}$ 了），其方向为 $\boldsymbol{k}$ ；在 $y O z$ 面上的投影为 $\left(\Delta \sigma_i\right)_{y z}$ ，其方向为 $\boldsymbol{i}$ ；在 $z O x$ 面上的投影为 $\left(\Delta \sigma_i\right)_{z x}$ ，其方向为 $\boldsymbol{j}$ ，如下图所示。

![图片](/uploads/2025-10/c53c64.jpg){width=600px}
 
根据[空间向量的平行四边形法则](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=170)，  $\boldsymbol{n}_i \mathrm{~d} S_i$ 是由 $\left(\Delta \sigma_i\right)_{y z} \boldsymbol{i} 、\left(\Delta \sigma_i\right)_{z x} \boldsymbol{j}$ 和 $\left(\Delta \sigma_i\right)_{x y} \boldsymbol{k}$ 组成的，只是这三项前面的系数可能为 $1 、-1$ 或者是 0 ，也就是说可能有：

$$
\boldsymbol{n}_i \mathrm{~d} S_i=1 \cdot\left(\Delta \sigma_i\right)_{y z} \boldsymbol{i}+1 \cdot\left(\Delta \sigma_i\right)_{z x} \boldsymbol{j}+1 \cdot\left(\Delta \sigma_i\right)_{x y} \boldsymbol{k}
$$

也可能有：

$$
\boldsymbol{n}_i \mathrm{~d} S_i=-1 \cdot\left(\Delta \sigma_i\right)_{y z} \boldsymbol{i}+0 \cdot\left(\Delta \sigma_i\right)_{z x} \boldsymbol{j}

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【数学分析】有向曲面与第二类曲面积分的物理意义【数学分析】第二类曲面积分计算举例

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