最后更新: 2025-05-11 16:43 查看: 596 次反馈同步训练

曲面的侧(曲面的三个偏导数表示法向量)

在介绍对坐标的曲面积分之前， 我们首先要对曲面作一些说明，这里假定曲面是光滑的. 在阅读本文前，需要了解预备知识 [切平面与法线方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395)

## 曲面的侧

通常我们所见的曲面都有两侧（即两面），称为**双侧曲面**，如封闭曲面有内侧和外侧，$x O y$ 面有上侧和下侧，$y O z$ 面有前侧和后侧，$x O z$ 面有左侧和右侧等，
在光滑曲面的情形下，我们通常用曲面上的法向量的指向表示曲面的侧，如取封闭曲面的法向量指向外表示该曲面取外侧，又如取曲面：$z=x^2+y^2$的每点法向量指向上（法向量与 $z$ 轴成锐角）表示取曲面上侧。双侧曲面 $S$ 的特点是：**在 $S$ 上某一点 $M$ 处指定了方向的法向量在 $S$ 上不越过边界任意连续移动返回到点 $M$ 后法向量的方向不改变**。

我们总是假定以后所考虑的曲面都是双侧曲面，不仅如此，还要选定它的某 一侧. 我们称选定了侧的双侧曲面称为**有向曲面**.

> 这里有人或有疑问：难道曲面还有只有单侧的曲面吗？还真有，他就是**莫比乌斯带曲面**。有兴趣的可以查看一下，如下图

![图片](/uploads/2025-05/3ba1ef.jpg)

可以通过确定曲面上法向量的指向来定出曲面的侧，而反之，确定了曲面的侧，也就定出了曲面上法向量的指向.

比如，对于曲面 $z=z(x, y)$ ，若它的法向量 $\boldsymbol{n}$ 指向朝上，则就认为取定曲面 的上侧（见图 7-65)，又如，若闭曲面，取它的法向量指向朝外，就认为取定曲 面的外侧 (见图 7-66).

![图片](/uploads/2023-01/image_20230101d72751e.png){width=500px}

## 曲面的法向量
设曲面 $S$ 由方程
$$
z=f(x, y) ...①
$$ 
我们在 [切平面与法线方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395) 说明了一个重要结论：**曲面的3个偏导数组成一个向量，这个向量就是曲面的法向量**。

对① 变形为$f(x,y,z)=f(x,y)-z$ 或 $f(x,y,z)=z-f(x,y)$ 然后求偏导得到向量

$$
\left(f_x, f_y,-1\right) \text { 及 }\left(-f_x,-f_y, 1\right) \text {. }
$$

这里前一个法向量的第三个坐标 小于0 ，因而它的指向与 $z$ 轴的正向成钝角，故该法向量指向下方。而第二个法向量的第三个坐标大于 $0$ ，因而该法向量指向上方。因此，对于由这种形式表示的曲面 $S$ ，当我们在其上每一点 $P(x, y, z)$ 处取 $n$ $=\left(-f_x,-f_y, l \right)$ 时，我们称选定了曲面的上侧；而当在每点 $P(x, y, z) \in S$ 取 $n =\left(f_x, f_y,-1\right)$时，我们称选定了曲面的下侧．参见图

![图片](/uploads/2025-05/0f92e7.jpg){WIDTH=400PX}

### 总结
若取 $n$ 向上，其与 $z$ 轴的夹角 $\gamma$ 是锐角，此时 $\cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}>0$ ，即取 $n=\left(-z_x,-z_y, 1\right)$ ，则就选定曲面的上侧（图 7-67)；
 
若取 $n$ 向下， $\gamma$ 是钝角，此时 $\cos \gamma=\frac{-1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}<0$ ，即取

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