最后更新: 2026-03-26 16:58 查看: 572 次纠错评论(0) 课件开VIP

第一类曲面积分的计算举例

## 一般曲面积分的推导
本节是上一节的补充，方便有余力的学生学习。

若曲面 $\Sigma$ 上每一点都有唯一的切平面，且切平面的法向量随点的位置连续变化，则称 $\Sigma$ 为光滑曲面。由有限个光滑曲面拼接而成的曲面称为分片光滑的曲面。为建立第一类曲面积分的计算公式，本章后续讨论中，我们总假设积分曲面 $\Sigma$ 是分片光滑的．假设曲面 $\Sigma$ 的参数方程为

$$
\Sigma: x=\varphi(u, v), y=\Psi(u, v), z=\zeta(u, v) \quad(u, v) \in D, ...(10.2)
$$

其中参数域.$D \subset \mathrm{R}^2$ 是有界闭区域，其边界曲线是分段光滑的；假设函数 $(\phi, \phi, \zeta)$ 在区域 D 中都有连续的一阶偏导数．此时曲面法向量可表示为

$$
\begin{aligned}
\vec{n} & =\left(\varphi_u, \psi_u, \zeta_u\right) \times\left(\varphi_v, \psi_v, \zeta_v\right)=\left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right) \\
& =\left(y_u z_v-y_v z_u, z_u x_v-z_v x_u, x_u y_v-x_v y_u\right) \neq \overrightarrow{0}
\end{aligned}
$$

不为零向量。2则基于上述曲面光滑性、参数方程正则性以及被积函数连续性的前提下，我们有如下第一型曲面积分的可积性定理以及计算公式．

**定理**   假设曲面 $\Sigma$ 是光滑的，其参数方程（10．2）满足对任意的 $(\mathrm{u}, \mathrm{v}) \in \mathrm{D}$ ，

$$
J(u, v)=\sqrt{\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|^2+\left|\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}\right|^2+\left|\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}\right|^2} \neq 0,
$$

不为零向量．  则基于上述曲面光滑性、参数方程正则性以及被积函数连续性的前提下，我们有如下第一型曲面积分的可积性定理以及计算公式。
定理   假设曲面 $\Sigma$ 是光滑的，其参数方程（10．2）满足对任意的 $(\mathrm{u}, \mathrm{v}) \in \mathrm{D}$ ，

$$
\boxed{
J(u, v)=\sqrt{\left|\frac{\theta(x, y)}{\partial(u, v)}\right|^2+\left|\frac{\theta(u, z)}{\partial(u, v)}\right|^2+\left|\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}\right|^2} \neq 0 ...(10.3)
}
$$

假设 $\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ 在曲面 $\Sigma$ 上连续，则对面积的曲面积分存在，且可化为参数区域 D 上的二重积分：

$$
\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_D f(\varphi(u, v), \psi(u, v), \zeta(u, v)) J(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v,
$$

其中 $\mathrm{d} S=J(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ 是曲面 $\Sigma$ 的面积微元．

对于空间中的曲面 $\Sigma$ ，我们用 u 曲线和 v 曲线将其分割为许多微小子曲面，每个子曲面近似为切平面上的平行四边形，对于其中 $\left(u_l, v_m\right)$ 为指标的子曲面，考虑参数变化 $\Delta u=u_{l+1}-u_l$ 和 $\Delta v=v_{l+1}-v_l$ 时，曲面上对应的两个微小位移向量分别为

$$
\vec{a}=\left(x_u, y_u, z_u\right) \Delta u \quad \vec{b}=\left(x_v, y_v, z_v\right) \Delta v
$$

而这两个向量张成的平行四边形的面积为

$$
\|\vec{a} \times \vec{b}\|=\left\|\left(x_u, y_u, z_u\right) \times\left(x_v, y_v, z_v\right)\right\| \Delta u \Delta v .
$$

由此可得公式（10．3）中的结论， $\mathrm{d} S=J(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ．

![图片](/uploads/2026-03/560d57.jpg)
 
 特别的，在直角坐标系下，如果曲面 $\Sigma$ 的方程为

$$
z=f(x, y), \quad(x, y) \in D
$$

定义的光滑正则曲面，其中 D 为曲面 $\Sigma$ 在 xOy 平面上的投影区域。此时曲面法向量为 $\left(f_x, f_y,-1\right)$ ，因此面积微元为

$$
\mathrm{d} S=\sqrt{1+\left(z_x^{\prime}\right)^2+\left(z_y^{\prime}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$

此时即可将第一型曲面积分转化为如下重积分来计算

$$
\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1+\left(z_x^{\prime}\right)^2+\left(z_y^{\prime}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$

`例`求 $\oint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为坐标平面与 $x+y+z=1$ 所围成的四面体表面． （如图10．17所示）

解 依题意，$\Sigma=\Sigma_{x y}+\Sigma_{y z}+\Sigma_{z x}+\Sigma_\pi$ ，其中 $\Sigma_{x y}, \Sigma_{y z}, \Sigma_{z x}$ 分别为 $\Sigma$ 在 xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面的部分，$\Sigma \pi$ 为 $\Sigma$ 在平面 $\pi: x+y+z=1$ 内的部分．因此，

$$
\oint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_{x y}} x y z \mathrm{~d} S+\iint_{\Sigma_{y z}} x y z \mathrm{~d} S+\iint_{\Sigma_{z z}} x y z \mathrm{~d} S+\iint_{\Sigma_z} x y z \mathrm{~d} S .
$$

在 $\Sigma_{x y}$ 上 $z=0$ ，因此 $\iint_{\Sigma_{x y}} x y z \mathrm{~d} S=0$ ．
同理， $\iint_{\Sigma_{y z}} x y z \mathrm{~d} S=0, \iint_{\Sigma_{x x}} x y z \mathrm{~d} S=0$ ．

![图片](/uploads/2026-03/78a4cc.jpg)

对于最后一部分，设 $\Sigma_\pi$ 在 xOy 坐标面上的投影区域为 D，则

$$
\begin{aligned}
D & =\{(x, y) \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0, x+y \leqslant 1\} \\
& =\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1-x\},
\end{aligned}
$$

此时曲面方程为 $\Sigma_\pi: z=1-x-y,(x, y) \in D$ ，相应的面积微元为

$$
\mathrm{d} S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} d \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$

由公式（10．3）有

$$
\begin{aligned}
\iint_{\Sigma_\pi} x y z \mathrm{~d} S & =\iint_D x y(1-x-y) \sqrt{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\sqrt{3} \int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{1-x} x y(1-x-y) \mathrm{d} y \\
& =\frac{\sqrt{3}}{6} \int_0^1\left(x-3 x^2+3 x^2-x^4\right) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{3}}{120}
\end{aligned}
$$

综上可得，$\oint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S=\frac{\sqrt{3}}{120}$ ．

`例` 计算曲面积分 $\iint_S \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{4 z+1}}$ ，其中 S 为抛物面 $z=x^2+y^2,(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 。（如图10．18所示）

解 依题意，我们将曲面投影在 xOy 坐标面上。 $z_x=2 x, z_y=2 y$ ，由此相应的面积微元为

$$
\mathrm{d} S=\sqrt{1+4 x^2+4 y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$

![图片](/uploads/2026-03/770489.jpg)

因此

$$
\iint_S \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{4 z+1}}=\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\pi
$$

`例` 计算 $\iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma$ 为平面 $y+z=5$ 被柱面 $x^2+y^2=25$ 所截得 的部分 (见图 7-62) .

![图片](/uploads/2023-01/image_202301018f30aaa.png)
解 积分曲面 $\sum: z=5-y$, 其投影域 $D_{x y}=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 25\right\}$, 又

$$
\mathrm{d} S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{1+0+(-1)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
$$

故

$$
\begin{aligned}
\iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S & =\sqrt{2} \iint_{D_{x y}}(x+y+5-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{2} \iint_{D_{x y}}(5+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\sqrt{2} \int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^5(5+r \cos \theta) r \mathrm{~d} r=125 \sqrt{2} \pi
\end{aligned}
$$

`例` 计算 $\int_{\Sigma} x y z z d S$, 其中 $\Sigma$ 是由平面 $x=0, y=0, z=0$ 及 $x+y+z=1$ 所 围四面体的整个边界曲面.
解 如图 7-63，整个边界曲面 $\Sigma$ 在平面 $x=0, y=0, z=0$ 及 $x+y+z=1$ 上 的部分依次记为 $\Sigma_1 、 \Sigma_2 、 \Sigma_3 、 \Sigma_4$ ，于是

$$
\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_1} x y z \mathrm{~d} S+\iint_{\Sigma_2} x y z \mathrm{~d} S+\iint_{\Sigma_3} x y z \mathrm{~d} S+\iint_{\Sigma_4} x y z \mathrm{~d} S .
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_202301017b41089.png)

因为在 $\Sigma_1, \Sigma_2, \Sigma_3$ 上，被积函数 $f(x, y, z)=x y z=0$, 故

$$
\iint_{\Sigma_1} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_2} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_3} x y z \mathrm{~d} S=0 .
$$

在 $\Sigma_4$ 上， $z=1-x-y$, 所以

$$
\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{1+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{3},
$$

从而 $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_4} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{D_{n y}} \sqrt{3} x y(1-x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$,
 
其中 $D_{x y}$ 是 $\Sigma_4$ 在 $x O y$ 面上的投影区域，即由直线 $x=0, y=0, z=0$ 和 $x+y+z=1$ 所围成的闭区域，故

$$
\begin{aligned}
\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S & =\sqrt{3} \int_0^1 x \mathrm{~d} x \int_0^{1-x} y(1-x-y) \mathrm{d} y=\sqrt{3} \int_0^1 x\left[(1-x) \frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]_0^{1-x} \mathrm{~d} x \\
& =\sqrt{3} \int_0^1 x \cdot \frac{\left(1-x^3\right)}{6} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{3}}{6} \int_0^1\left(x-3 x^2+3 x^3-x^4\right) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{3}}{120} .
\end{aligned}
$$

`例` 计算第一类曲面积分 $\int_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为立体 $\sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 1$ 的整 个边界曲面.
解 曲面 $\Sigma$ 所围的立体在 $x O y$ 面上投影区域为 $D_{x y}: x^2+y^2 \leq 1$ (见图 7-64)， 曲面 $\Sigma$ 分为 $\Sigma_1, \Sigma_2$ 两部分， 其中

$$
\begin{aligned}
& \Sigma_1: z=1, \mathrm{~d} S=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \\
& \Sigma_2: z=\sqrt{x^2+y^2}, \\
& \mathrm{~d} S=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
\end{aligned}

![图片](/uploads/2023-01/image_202301014fe4b62.png)

$\Sigma_1: z=1 ， \mathrm{~d} S=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，

$$
\Sigma_2: z=\sqrt{x^2+y^2}, \quad \mathrm{~d} S=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}} \mathrm{~d} \mathrm{~d} y=\sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y ，
$$

因此 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma_1}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S+\iint_{\Sigma_2}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S$

$$
\begin{aligned}
& =\iint_{D_N}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_n}\left(x^2+y^2\right) \sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=(1+\sqrt{2}) \iint_{D_N}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =(1+\sqrt{2}) \int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1 r^3 \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{2}(1+\sqrt{2}) .
\end{aligned}

## 物理应用
和对弧长的曲线积分一样，对面积的曲面积分也有类似的一些物理应用，比 如求曲面型构件的质量，质心，转动惯量等.
已知曲面型构件 $\Sigma$ 的密度函数 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续，则 $\Sigma$ 的质量为

$$
M=\iint_{\Sigma} \rho(x, y, z) \mathrm{d} S
$$

曲面 $\Sigma$ 的质心 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ 的坐标分别为

$$
\bar{x}=\frac{\iint_{\Sigma} x \rho(x, y, z) \mathrm{dS}}{M}, \bar{y}=\frac{\iint_{\Sigma} y \rho(x, y, z) \mathrm{dS}}{M} \bar{z}=\frac{\iint_{\Sigma} z \rho(x, y, z) \mathrm{dS}}{M} \text {; }
$$

曲面 $\Sigma$ 相对于 $x$ 轴， $y$ 轴， $z$ 轴的转动惯量依次为

$$
\begin{aligned}
& I_x=\iint_{\Sigma}\left(y^2+z^2\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} S, \\
& I_y=\iint_{\Sigma}\left(z^2+x^2\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} S, \\
& I_z=\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} S
\end{aligned}
$$

`例` 已知抛物面壳 $z=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)(0 \leq z \leq 1)$ 的密度函数为 $\rho(x, y, z)=z$ ，试 求其质量.
解 由对面积的曲面积分定义可知，抛物面壳的质量为

$$
M=\iint_{\Sigma} \rho(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S=\iint_{D_y} \frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right) \sqrt{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \text {, }
$$

其中 $D_{x y}$ 为曲面 $\sum$ 在 $x O y$ 面上的投影区域， $D_{x y}=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2\right\}$ ， 利 用二重积分的极坐标，则有

$$
\begin{aligned}
M & =\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^{\sqrt{2}} r^2 \sqrt{1+r^2} r \mathrm{~d} r=\frac{1}{2} \cdot 2 \pi \cdot \frac{1}{2} \int_0^{\sqrt{2}} r^2 \sqrt{1+r^2} \mathrm{~d} r^2 \\
& =\frac{\pi}{2} \int_0^{\sqrt{2}}\left(r^2+1-1\right) \sqrt{1+r^2} \mathrm{~d} r^2=\frac{\pi}{2} \int_0^{\sqrt{2}}\left[\left(1+r^2\right)^{\frac{3}{2}}-\sqrt{1+r^2}\right] \mathrm{d}\left(r^2+1\right) \\
& =\frac{\pi}{2}\left[\frac{2}{5}\left(1+r^2\right)^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}\left(1+r^2\right)^{\frac{3}{2}}\right]_0^{\sqrt{2}}=\frac{4}{5} \sqrt{3} \pi+\frac{2}{15} \pi
\end{aligned}
$$

`例`试求均匀曲面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 的质心坐标.
解 由对称性知 $\bar{x}=\bar{y}=0$ ，
设曲面 $\Sigma$ 在 $x O y$ 面上的投影区域为 $D_{x y}$ ，则有 $D_{x y}=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2\right\}$ ，

$$
\bar{z}=\frac{\iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S}{\iint_{\Sigma} \mathrm{d} S}=\frac{1}{2 \pi a^2} \iint_D \sqrt{a^2-x^2-y^2} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{a \pi a^2}{2 \pi a^2}=\frac{a}{2},
$$

即质心坐标为 $\left(0,0, \frac{a}{2}\right)$.

`例`求密度为 $\rho_0$ 的均匀半球壳 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}(a>0)$ 对 $z$ 轴的转动惯量.
解

$$
\begin{aligned}
I_z & =\rho_0 \iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S=\rho_0 \iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) \sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\rho_0 \int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^a r^2 \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}} r \mathrm{~d} r=a \rho_0 \pi \int_0^a\left[\sqrt{a^2-r^2}-\frac{a^2}{\sqrt{a^2-r^2}}\right] \mathrm{d}\left(a^2-r^2\right) \\
& =a \rho_0 \pi\left[\frac{2}{3}\left(a^2-r^2\right)^{\frac{3}{2}}-2 a^2\left(a^2-r^2\right)^{\frac{1}{2}}\right]_0^a=a \rho_0 \pi\left(-\frac{2}{3} a^3+2 a^3\right)=\frac{4}{3} \rho_0 \pi a^4 .
\end{aligned}

`例` 计算 $\iint_S z d S$ ，其中 $S$ 为螺旋面片：$x=u \cos v, y=u \sin v, z=v$ ， $0 \leqslant u \leqslant a, \quad 0 \leqslant v \leqslant 2 \pi$ ．

解 计算得 $E=1, F=0, G=1+u^2, d S=\sqrt{E G-F^2} d u d v=\sqrt{1+u^2} d u d v$ ，有 $\begin{aligned} \iint_S z d S & =\iint_D u \sqrt{1+u^2} d u d v=\int_0^a \sqrt{1+u^2} d u \int_0^{2 \pi} v d v \\ & =2 \pi^2 \int_0^a \sqrt{1+u^2} d u=\pi^2\left[a \sqrt{1+a^2}+\ln \left(a+\sqrt{1+a^2}\right)\right] .\end{aligned}$

其他版本
【数学分析】第一类曲面积分的性质与举例

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：第一类曲面积分(对面积的曲面积分)★★★★★

下一篇：第一类曲线积分解题指导

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)