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高等数学
第七章 多元函数积分学
第一类曲面积分的计算举例
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2025-05-10 18:54
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第一类曲面积分的计算举例
曲面积分
`例` 计算 $\iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma$ 为平面 $y+z=5$ 被柱面 $x^2+y^2=25$ 所截得 的部分 (见图 7-62) .  解 积分曲面 $\sum: z=5-y$, 其投影域 $D_{x y}=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 25\right\}$, 又 $$ \mathrm{d} S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{1+0+(-1)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, $$ 故 $$ \begin{aligned} \iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S & =\sqrt{2} \iint_{D_{x y}}(x+y+5-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{2} \iint_{D_{x y}}(5+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ & =\sqrt{2} \int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^5(5+r \cos \theta) r \mathrm{~d} r=125 \sqrt{2} \pi \end{aligned} $$ `例` 计算 $\int_{\Sigma} x y z z d S$, 其中 $\Sigma$ 是由平面 $x=0, y=0, z=0$ 及 $x+y+z=1$ 所 围四面体的整个边界曲面. 解 如图 7-63,整个边界曲面 $\Sigma$ 在平面 $x=0, y=0, z=0$ 及 $x+y+z=1$ 上 的部分依次记为 $\Sigma_1 、 \Sigma_2 、 \Sigma_3 、 \Sigma_4$ ,于是 $$ \iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_1} x y z \mathrm{~d} S+\iint_{\Sigma_2} x y z \mathrm{~d} S+\iint_{\Sigma_3} x y z \mathrm{~d} S+\iint_{\Sigma_4} x y z \mathrm{~d} S . $$  因为在 $\Sigma_1, \Sigma_2, \Sigma_3$ 上,被积函数 $f(x, y, z)=x y z=0$, 故 $$ \iint_{\Sigma_1} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_2} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_3} x y z \mathrm{~d} S=0 . $$ 在 $\Sigma_4$ 上, $z=1-x-y$, 所以 $$ \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{1+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{3}, $$ 从而 $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_4} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{D_{n y}} \sqrt{3} x y(1-x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D_{x y}$ 是 $\Sigma_4$ 在 $x O y$ 面上的投影区域,即由直线 $x=0, y=0, z=0$ 和 $x+y+z=1$ 所围成的闭区域,故 $$ \begin{aligned} \iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S & =\sqrt{3} \int_0^1 x \mathrm{~d} x \int_0^{1-x} y(1-x-y) \mathrm{d} y=\sqrt{3} \int_0^1 x\left[(1-x) \frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]_0^{1-x} \mathrm{~d} x \\ & =\sqrt{3} \int_0^1 x \cdot \frac{\left(1-x^3\right)}{6} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{3}}{6} \int_0^1\left(x-3 x^2+3 x^3-x^4\right) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{3}}{120} . \end{aligned} $$ `例` 计算第一类曲面积分 $\int_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S$ ,其中 $\Sigma$ 为立体 $\sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 1$ 的整 个边界曲面. 解 曲面 $\Sigma$ 所围的立体在 $x O y$ 面上投影区域为 $D_{x y}: x^2+y^2 \leq 1$ (见图 7-64), 曲面 $\Sigma$ 分为 $\Sigma_1, \Sigma_2$ 两部分, 其中 $$ \begin{aligned} & \Sigma_1: z=1, \mathrm{~d} S=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \\ & \Sigma_2: z=\sqrt{x^2+y^2}, \\ & \mathrm{~d} S=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, \end{aligned} $$  $\Sigma_1: z=1 , \mathrm{~d} S=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ , $$ \Sigma_2: z=\sqrt{x^2+y^2}, \quad \mathrm{~d} S=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}} \mathrm{~d} \mathrm{~d} y=\sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y , $$ 因此 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma_1}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S+\iint_{\Sigma_2}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} S$ $$ \begin{aligned} & =\iint_{D_N}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_n}\left(x^2+y^2\right) \sqrt{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=(1+\sqrt{2}) \iint_{D_N}\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ & =(1+\sqrt{2}) \int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1 r^3 \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{2}(1+\sqrt{2}) . \end{aligned} $$ ## 物理应用 和对弧长的曲线积分一样,对面积的曲面积分也有类似的一些物理应用,比 如求曲面型构件的质量,质心,转动惯量等. 已知曲面型构件 $\Sigma$ 的密度函数 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续,则 $\Sigma$ 的质量为 $$ M=\iint_{\Sigma} \rho(x, y, z) \mathrm{d} S $$ 曲面 $\Sigma$ 的质心 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ 的坐标分别为 $$ \bar{x}=\frac{\iint_{\Sigma} x \rho(
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