最后更新: 2025-04-09 10:00 查看: 622 次反馈同步训练

格林公式的证明

## 格林公式的证明
**定理1** 设有界闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$ \boxed{
\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y
}
$$ 
  
其中 $L$ 是 $D$ 的正向边界曲线.
上式称为**格林公式**，它告诉我们平面闭区域 $D$上的二重积分可以通过沿闭区域 $D$ 的边界曲线 $L$ 的曲线积分来表达.

简证： 先假设穿过区域 $D$ 内部且平行于坐标轴的直线与 $D$ 的边界曲线的交点 至多为两个，即闭区域 $D$ 既是 $X$ 型区域又是 $Y$ 型区域的情形.
由于区域 $D$ 是 $X$ 型的，故 $D$ 可以表示为 $D=\left\{(x, y) \mid \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x), a \leq x \leq b\right\}$
即它的上、下边界分别是 $y=\varphi_2(x)$ 、 $y=\varphi_1(x)$ ，左、右两侧的边界分别是直 线 $x=a 、 x=b \quad$ (如图 7-84).
![图片](/uploads/2023-01/image_20230101f20313c.png){width=300px}
因为 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $D$ 上连续，由二重积分的计算法，有

$$
\iint_{D_1} \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} y=\int_a^b\left[P\left(x, \varphi_2(x)\right)-P\left(x, \varphi_1(x)\right)\right] \mathrm{d} x ，
$$

另一方面，由曲线积分的性质与计算法，则有

$$
\begin{aligned}
\int_L P(x, y) \mathrm{d} x & =\int_{L_1} P(x, y) \mathrm{d} x+\int_{L_2} P(x, y) \mathrm{d} x=\int_a^b P\left(x, \varphi_1(x)\right) \mathrm{d} x+0+\int_b^a P\left(x, \varphi_2(x)\right) \mathrm{d} x+0 \\
& =\int_a^b\left[P\left(x, \varphi_2(x)\right)-P\left(x, \varphi_1(x)\right)\right] \mathrm{d} x,
\end{aligned} 
$$

可见， 
$$
\iint_D \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\int_L P(x, y) \mathrm{d} x  ...(2) 
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230101c6e9a84.png){width=300px}

又因为区域 $D$ 是 $Y$ 型的，故 $D$ 可以表示为

$$
D=\left\{(x, y) \mid \psi_1(x) \leq y \leq \psi_2(x), c \leq x \leq d\right\} \text { ， }
$$

即它的左、右两侧的边界分别是 $y=\psi_1(x) 、 y=\psi_2(x)$ ，上、下边界分别是直线 $y=d 、 y=c$ （见图 7-85)
因为 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在 $D$ 上连续，由二重积分的计算法，则有

$$
\begin{aligned}
\iint_{D_2} \frac{\partial Q}{\partial x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_c^d \mathrm{~d} y \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} \frac{\partial Q^2}{\partial x} \mathrm{~d} x \\
& =\int_c^d\left[Q\left(\psi_2(y), y\right)-Q\left(\psi_1(y), y\right)\right] \mathrm{d} y,
\end{aligned}
$$

另一方面，由曲线积分的性质与计算法，则有

$$
\begin{aligned}
& \int_L Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{L_4} Q(x, y) \mathrm{d} y+\int_{L_3} Q(x, y) \mathrm{d} y \\
& =0+\int_c^d Q\left(\psi_2(y), y\right) \mathrm{d} y+0+\int_d^c Q\left(\psi_1(y), y\right) \mathrm{d} y=\int_c^d\left[Q\left(\psi_2(y), y\right)-Q\left(\psi_1(y), y\right)\right] \mathrm{d} y  
\end{aligned}
$$

可见，
$$
\iint_D \frac{\partial Q^2}{\partial x} \mathrm{~d} x
\mathrm{~d} y=\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y ...(3)
$$

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