最后更新: 2025-10-04 15:48 查看: 482 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

曲线积分与路径无关

## 曲线积分与路径无关的等价条件
在研究平面力场的问题时，我们要考察场力所做的功是否与路径无关，这在数学上就是要考察曲线积分是否与路径无关.
设函数在区域内具有连续偏导数，如果对于 $G$ 内以点 $A$ 为起始点, 以点 $B$ 为 起终点的任意两条的曲线 $L_1 、 L_2$ (见下图)，下列等式成立: 
$\quad \int_{L_1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L_2} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ，
则称曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在 $G$ 内与路径无关. 否则则称与路径有关.

![图片](/uploads/2025-01/f80ab7.jpg){width=300px} 
 
如果曲 线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在区域内与路径无关，而 $L$ 的起点为 $A\left(x_1, y_1\right)$ ，终点为 $B\left(x_2, y_2\right)$ ，那么曲线积分便可以记为 $\int_{\left(x_1, y_1\right)}^{\left(x_2, y_2\right)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$.
从以上叙述可以看出，若曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关，则有

$$
\int_{L_1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L_2} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \text { ， 即 } \int_{L_1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=-\int_{-L_2} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \text { ， }
$$

或 $\int_{L_1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+\int_{-L_2} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$ ，从而有

$$
\boxed{
\int_{L_1+\left(-L_2\right)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0
}
$$

这里 $L_1+\left(-L_2\right)$ 为有向闭曲线，由点 $A 、 B$ 及 $L_1 、 L_2$ 的任意性，则得对 $G$ 内的任 一有向封闭曲线 $L ， \oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$.
反之，若对 $G$ 内的任一封闭曲线有 $\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$ ，也可以推得曲线积分 $\int_l P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关.
进一步，我们可以得到以下结论:

## 定理2
设区域 $G$ 为单连通区域，函数 $P(x, y) 、 Q(x, y)$ 在 $G$ 上具有一阶连续 偏导数，则下列三个条件等价：
(1) 曲线积分 $\int_l P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关，仅与起始点及终点有关；
(2) 存在函数 $u=u(x, y)$ ，使 $\mathrm{d} u=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ，即 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 是某个函数的全微分.
(3) $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $G$ 内恒成立;

证明： 我们证明 (1) $\Rightarrow(2) \Rightarrow(3) \Rightarrow(1)$
(1) $\Rightarrow$ (2) 设点 $M_0\left(x_0, y_0\right) ， M(x, y)$ 是 $G$ 内两点，由于在 $G$ 内曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关，从起点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ 到终点 $M(x, y)$ 的曲线积分可以写为

$$
\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y ，
$$

当 $M_0$ 固定时，这个积分值取决于终点 $M(x, y)(M(x, y) \in G)$ ，因此它是 $x, y$ 的函 数，记为

$$
u(x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, \bar{y})} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y ，
$$

现在要证 $\frac{\partial u}{\partial x}=P(x, y) ， \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x, y)$. 由 (5) 式，有

$$
u(x+\Delta x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x+\Delta x)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y
$$

由于曲线积分与路径无关，可取从点 $M_0$ 到 $M$ ，然后沿平行于 $x$ 轴的直线段 从 $M$ 到 $N(x+\Delta x, y$ ) (见图 7-93)，故 $u(x+\Delta x, y)=u(x, y)+\int_{(x, y)}^{(x+\Delta x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y ，$
即 $u(x+\Delta x, y)-u(x, y)$

$$
=\int_{(x, y)}^{(x+\Delta x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y
$$

因为直线段 $M N$ 的方程为 $y=$ 常数，按对坐标的 曲线积分的计算法，就有

$$
u(x+\Delta x, y)-u(x, y)=\int_x^{x+\Delta x} P(x, y) \mathrm{d} x=P(\xi, y) \Delta x
$$

![图片](/uploads/2025-01/79e54b.jpg){width=300px}

$$
u(x+\Delta x, y)-u(x, y)=\int_x^{x+\Delta x} P(x, y) \mathrm{d} x=P(\xi, y) \Delta x ，
$$

其中 $\xi$ 介于 $x 、 x+\Delta x$ 之间.
因此 $\quad \frac{\partial u}{\partial x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x, y)-u(x, y)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} P(\xi, y)=P(x, y)$ ；
同理可证:

$$
\frac{\partial u}{\partial y}=Q(x, y) .
$$

（2） $\Rightarrow$ (

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