最后更新: 2025-05-28 20:46 查看: 786 次反馈同步训练

格林第一公式与第二公式

### 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式想说的是什么意思
三大公式从本质上来说，就是流量守恒，进而引申为**能量守恒**。让我们从水流说起，我们知道，速度是矢量，水流过一个曲面，为了研究的方便，我们可以对水流进行分解：沿曲线**切线方向**的速度和沿曲线**法线方向**的速度。

![图片](/uploads/2025-05/bc34cb.jpg){width=300px}
 
很容易发现，沿切线方向的流量使得曲线旋转，因此给他一个名字叫**旋度**，记做 $rot A$。沿着法线方向的流量是真正通过曲线的流量，用他可以判断到底是流出还是流入，因此给他一个名字：**散度**，记做$div M$。但是有时候为了方便，我们统一称呼为：流量。 整个多元微积分就是对曲线的切线和法线进行研究的。

如果 $rot A =0$ 处处为零，就表示水流没有旋转，叫做**无旋场**，否则叫做“有旋场”，有旋转就会有能量损失，有些物理公式就不能使用，这是后话。

如果 $div M=0$ 表示水没有流出也没流入，所以叫做**无源场**，如果$div M >0$ 表示水流从该点向外流出，此时称为**正源**。 如果$div M <0$ 表示水流从各处流入该点，此时称为**负源**，对于负源，我们通常称呼为**黑洞**，意味着他吸收能量。

如果 $rot A =0$ 并且 $div M=0$ 表示水流即没有旋转，也没有流入流出，我们称呼为 **调和场**。 调和场在《复变函数》里大量使用并形成了调和函数。这就是三大公式的物理背景。 
 
## 格林第一公式与第二公式 
### 对于同一个公式的不同解读
对于同一个表达式 $\oint_L P d x+Q d y$ 可以由不同的解读： 在 [第二类曲线积分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=418) 我们是从做功的角度来解读这个积分，而在格林公式里，则是通过流量来解读这个积分，其区别如下：**通量与功的比较**

|        | 功                                  | 通量                                 |
|--------|------------------------------------|------------------------------------|
|  数学表达式 | $\int_C \vec{F} \cdot \hat{T} d s$ | $\int_C \vec{F} \cdot \hat{n} d s$ |
|  物理意义  | 衡量向量场沿曲线**切向量**的累积效应                    | 衡量向量场穿过曲线**法向量**的累积效应                     |
| 计算方式   |  使用切向分量                            |  使用法向分量                            |

> 格林第一公式与第二公式本质区别反映的是在向量场里，是沿着曲线**切线**进行累加还是沿着曲线**法线**进行累加。

第一类曲线积分是不含方向的曲线积分，第二类曲线积分是含有方向的对坐标轴积分，再第二类曲线积分里又含有格林公式，格林公式又有两种解释。期间包含了4个物理量：通量、散度、环量与旋度。

为了方便理解切线方法，这类回顾一下沿曲线切线方向累加的物理意义：做功。并通过做功建立起第一类曲线积分和第二类曲线积分的联系。

#### 第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系：切线方向做功

设向量值函数 $a =(P, Q)$ ，沿曲线 $D$ 的**单位切向量**为 $\tau =(\cos \alpha, \cos \beta)$ ，有

$$
\begin{aligned}
& \oint_{\partial D} a \cdot \tau d s=\oint_{\partial D}(P \cos \alpha+Q \cos \beta) d s \\
& =\oint_{\partial D} P d x+Q d y \\
& =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y
\end{aligned}
$$

如下图，一个质点在力$F$的作用下，沿着曲线$s$行驶，取一个曲线微元观察，$\vec{\tau}$代表速度方向， 与$\vec{\tau}$垂直的$n$代表法线方向 ，$Pi$与$\vec{\tau}$ 夹角为 $\alpha$, ，$Qj$与$\vec{\tau}$ 夹角为 $\beta$

![图片](/uploads/2025-05/75190a.jpg)
 
把力 $\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$ ,理解为$F$ 分解为两个力$P,Q$。 
 
然后，对于$P$力再分解为沿着$\vec{\tau}$轴的力$P(x,y) cos \alpha$ 和沿着$n$轴的力 $P(x,y) sin \alpha$ 。
 
同样，对于$Q$力再分解为沿着$\vec{\tau}$ 的 $Q(x,y) cos \beta$ 力 和 沿着$n$轴的$Q(x,y) sin \beta$ 力

因为$P$力沿着$n$垂直不做功，所以$P(x,y) sin \alpha=0$ , 同样，$Q$ 沿着$n$垂直也不作用，所以 $Q(x,y) sin \beta=0$ ，因此最终力$F$做功为
$$
\boxed {
\int_{L}P(x,y)dx + Q(x,y)dy=\int_{L}[P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta]ds 
}
$$

其中 $\cos\alpha$ ，和 $\cos\beta$ 是曲线 $L$ 上点 $(x,y)$ 处的切向量的方向余弦。

不难发现，在上述过程中，我们采取了“算两次”的方法， **上述公式左边可以理解为将力和位移都分解为 $x$ 和 $y$ 方向分别求解再相加来求功，右边可以理解为将力投影到速度方向再相加求功。于是，我们也就可以理解了书上的公式**

$$
\int_{\Gamma} A \cdot d r =\int_{\Gamma} A \cdot \tau d s
$$

引入二维平面区域中的旋度： $\nabla \times a =\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) k ( k$ 为与二维区域垂直方向的单位向量），格林公式可表述成

$$
\oint_{\partial D} a \cdot \tau d s=\iint_D( \nabla \times a ) \cdot d S
$$

## 格林第一公式 $\oint_L P d x+Q d y$ 物理意义是：环量

下面内容节选自 [格林公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=430) 建议先看前面的文章说明

参考下图，假设你站在河边，河里有一个线框，流过线框的流量就是格林公式等号左边的意义。

![图片](/uploads/2025-01/c48d46.jpg){width=400px}

格林将闭区域 D 划分为很多个小格子，如下图所示。
  ![图片](/uploads/2025-01/9dee13.jpg){width=400px}
  
  这么做的原因是因为格林发现，如果在每个格子的边界上计算曲线积分，相邻的边界会相互抵消。以下图中的  4个蓝色格子为例，内部灰色边界上有一对方向相反的积分，也就是黑色箭头所指方向上的积分，这两者会相互抵消；而外部黑色边界上只有一个方向的积分，也就是红色箭头所指方向上的积分，该积分会被保留下来。
   ![图片](/uploads/2025-01/453f06.jpg){width=400px}
   
   也就是说在这 4 个蓝色格子上计算曲线积分并且相加起来，得到的是外部正向边界上的曲线积分，如下图所示，这里用红色描出了外部正向边界。
   
 ![图片](/uploads/2025-01/899766.jpg){width=400px}
    
 如果计算闭区域  D内所有的小矩形格子上的曲线积分并且相加起来，就会得到下图中红色边界上的曲线积分。
 
  ![图片](/uploads/2025-01/ccc21c.jpg){width=400px}
  
  如果将闭区域 D 划分为更多个小格子，然后计算闭区域D  内所有的小矩形格子上的曲线积分并相加，就会得到下图中红色边界上的曲线积分。

![图片](/uploads/2025-01/77f456.jpg){width=400px}
 
 可以看到随着小矩形格子的增多，红色边界会逐渐逼近有向曲线 $L$ ，相应的红色边界上的曲线积分也会逼近乔治－格林想要的计算结果，最终当小矩形格子的个数 $n \rightarrow \infty$ ，并且这些小矩形格子的最大直径 $\lambda \rightarrow 0$ 时，可以求出 $\oint_L F (x, y) \cdot d r$ 。

### 格林公式的第一形式（向量场对曲线切线的累加量）

对于逆时针围绕区域 $R$ 的闭合曲线 $C$ ，如果向量场 $\vec{F}$ 在 $R$ 上有定义且可微，则：

$$
\begin{aligned}
& \oint_C \vec{F} \cdot d \vec{r}   =\iint_R \operatorname{curl} \vec{F} d A \\
&  \oint_C(P d x+Q d y)   =\iint_R\left(Q_x-P_y\right) d A
\end{aligned}
$$

其中：
- $\vec{F}=\langle P, Q\rangle$ 是向量场
-  $\operatorname{curl} \vec{F}=Q_x-P_y$ 是向量场的旋度 （在二维情况下）
- $d A$ 是面积元素

- 左侧：线积分 $\oint_C \vec{F} \cdot d \vec{r}$ 计算的是向量场沿闭合曲线 $C$ 的环量（circulation）
- 这是一个路径积分，其中 $x$ 和 $y$ 是相关的（它们都是曲线 $C$ 上的点）
- 物理上，这代表了向量场沿着曲线做的功
- 右侧：二重积分 $\iint_R \operatorname{curl} \vec{F} d A$ 计算的是区域 $R$ 内向量场的总旋度
- 这是一个面积积分，其中 $x$ 和 $y$ 是独立变量
- 物理上，这代表了向量场在区域内的旋转趋势

![图片](/uploads/2025-05/b3b886.jpg){width=500px}
 
 
旋度的方向约定：

格林公式中使用逆时针方向的原因与旋度的定义有关：
- 旋度定义为 $Q_x-P_y$ 而不是 $P_y-Q_x$ 是一个约定
- 逆时针积分方向与这个旋度定义相匹配
- 这两个约定共同确保了格林公式的符号正确性
 
 重要注意事项：

1．闭合曲线要求：
- 格林公式只适用于闭合曲线
- 对于非闭合曲线的线积分，必须直接计算，不能使用格林公式

2．区域要求：
- 区域 $R$ 必须是单连通＋的（没有＂洞＂）
- 边界曲线 $C$ 必须是分段光滑的

3．向量场要求：
－$\vec{F}$ 在区域 $R$ 及其边界上必须连续可微

## 格林公式的第二形式（向量场对曲线法线的累加量）
 
通量的概念：通量是另一种线积分，它衡量的是向量场穿过曲线的＂流量＂。如下图，在向量场里，计算向量通过曲线的流量。

![图片](/uploads/2025-05/3dc0e8.jpg)
 
 
定义：对于平面曲线 $C$ 和向量场 $\vec{F}, ~ \vec{F}$ 穿过 $C$ 的通量定义为：

$$
\text { Flux }=\int_C \vec{F} \cdot \hat{n} d s
$$

其中：
- $\hat{n}$ 是曲线 $C$ 的单位法向量。
- $d s$ 是沿曲线 $C$ 的弧长元素。
- 惯例：$\hat{n}$ 指向曲线 $C$ 的右侧，即从单位切向量 $\hat{T}$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到的向量。

通量的几何解释：
- 通量衡量的是向量场 $\vec{F}$ 与曲线 $C$ 的法向量 $\hat{n}$ 的点积沿曲线 $C$ 的积分。
- 在曲线 $C$ 上的每一点，我们都计算向量场 $\vec{F}$ 在该点法线方向上的分量，然后将这些分量沿着曲线 $C$ 求和。
 
 格林公式的散度形式在三维空间中，可以很自然地推广为高斯公式。而牛顿——莱布尼茨公式同样可以看做格林公式第二形式的退化

## 格林公式两类形式的联系
通俗的说，在向量场里，向量穿过曲线，是按照沿着切线方向计算还是沿着法线方向计算,参考下图
 ![图片](/uploads/2025-05/6bb665.jpg){width=300px}
 
 对于曲线上一点，其切向量为 $\tau =(\cos \alpha, \cos \beta)$ ，而法向量和切向量垂直，自然其法向量为 $n =(\cos \beta,-\cos \alpha)$
 
 $$
\begin{aligned}
& \oint_{\partial D} a \cdot n d s=\oint_{\partial D}(P \cos \beta-Q \cos \alpha) d s \\
& =\oint_{\partial D}-Q d x+P d y \\
& =\iint_D\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) d x d y
\end{aligned}
$$

引入二维平面区域中的散度： $\nabla \cdot a =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}$ ，格林公式又可表述成：

$$
\oint_{\partial D} a \cdot n d s=\iint_D \nabla \cdot a d S
$$

上式被称为格林公式的散度形式或格林公式的第二形式。

格林公式的第一形式和第二形式还有更形象的联系,参考下图
 ![图片](/uploads/2025-05/bd6ce2.jpg)
 
 设已知向量值函数 $u =(-Q, P)$ ，设与 $u$ 垂直的向量 $v =(P, Q)$ ，则由几何关系有 $u \cdot \tau = v \cdot n$ 。写出 $u$ 对应的格林公式第一形式：

$$
\begin{aligned}
& \oint_{\partial D} u \cdot \tau d s=\oint_{\partial D}-Q d x+P d y \\
& =\iint_D\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) d x d y
\end{aligned}
$$

再由 $u \cdot \tau = v \cdot n$ ，上式又可以改写成

$$
\oint_{\partial D} v \cdot n d s=\iint_D\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) d x d y=\iint_D \nabla \cdot v d S
$$

也就是，我们再一次通过格林公式的第一形式导出了格林公式的第二形式。

上面主要通过几何、物理方法介绍格林公式，下面是严谨的数学推导。

## 上述内容数学推导
高斯定理 设空间闭区域

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