最后更新: 2025-09-13 21:56 查看: 1119 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

格林第一公式与第二公式

## 格林第一公式与第二公式 
### 对于同一个公式的不同解读
对于同一个表达式 $\oint_L P d x+Q d y$ 可以由不同的解读： 在 [格林公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=430) 我们是从做功的角度来解读这个积分，而在格林公式里，则是通过流量来解读这个积分，其区别如下：**通量与功的比较**

|        | 功                                  | 通量                                 |
|--------|------------------------------------|------------------------------------|
|  数学表达式 | $\int_C \vec{F} \cdot \hat{T} d s$ | $\int_C \vec{F} \cdot \hat{n} d s$ |
|  物理意义  | 衡量向量场沿曲线**切向量**的累积效应                    | 衡量向量场穿过曲线**法向量**的累积效应                     |
| 计算方式   |  使用切向分量                            |  使用法向分量                            |

> 格林第一公式与第二公式本质区别反映的是在向量场里，是沿着曲线**切线**进行累加还是沿着曲线**法线**进行累加。

第一类曲线积分是不含方向的曲线积分，第二类曲线积分是含有方向的对坐标轴积分，再第二类曲线积分里又含有格林公式，格林公式又有两种解释。期间包含了4个物理量：通量、散度、环量与旋度。

为了方便理解切线方法，这类回顾一下沿曲线切线方向累加的物理意义：做功。并通过做功建立起第一类曲线积分和第二类曲线积分的联系。

#### 第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系：切线方向做功

设向量值函数 $a =(P, Q)$ ，沿曲线 $D$ 的**单位切向量**为 $\tau =(\cos \alpha, \cos \beta)$ ，有

$$
\begin{aligned}
& \oint_{\partial D} a \cdot \tau d s=\oint_{\partial D}(P \cos \alpha+Q \cos \beta) d s \\
& =\oint_{\partial D} P d x+Q d y \\
& =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y
\end{aligned}
$$

如下图，一个质点在力$F$的作用下，沿着曲线$s$行驶，取一个曲线微元观察，$\vec{\tau}$代表速度方向， 与$\vec{\tau}$垂直的$n$代表法线方向 ，$Pi$与$\vec{\tau}$ 夹角为 $\alpha$, ，$Qj$与$\vec{\tau}$ 夹角为 $\beta$

![图片](/uploads/2025-05/75190a.jpg)
 
把力 $\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$ ,理解为$F$ 分解为两个力$P,Q$。 
 
然后，对于$P$力再分解为沿着$\vec{\tau}$轴的力$P(x,y) cos \alpha$ 和沿着$n$轴的力 $P(x,y) sin \alpha$ 。
 
同样，对于$Q$力再分解为沿着$\vec{\tau}$ 的 $Q(x,y) cos \beta$ 力 和 沿着$n$轴的$Q(x,y) sin \beta$ 力

因为$P$力沿着$n$垂直不做功，所以$P(x,y) sin \alpha=0$ , 同样，$Q$ 沿着$n$垂直也不作用，所以 $Q(x,y) sin \beta=0$ ，因此最终力$F$做功为
$$
\boxed {
\int_{L}P(x,y)dx + Q(x,y)dy=\int_{L}[P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta]ds 
}
$$

其中 $\cos\alpha$ ，和 $\cos\beta$ 是曲线 $L$ 上点 $(x,y)$ 处的切向量的方向余弦。

不难发现，在上述过程中，我们采取了“算两次”的方法， **上述公式左边可以理解为将力和位移都分解为 $x$ 和 $y$ 方向分别求解再相加来求功，右边可以理解为将力投影到速度方向再相加求功。于是，我们也就可以理解了书上的公式**

$$
\int_{\Gamma} A \cdot d r =\int_{\Gamma} A \cdot \tau d s
$$

引入二维平面区域中的旋度： $\nabla \times a =\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) k ( k$ 为与二维区域垂直方向的单位向量），格林公式可表述成

$$
\oint_{\partial D} a \cdot \tau d s=\iint_D( \nabla \times a ) \cdot d S
$$

## 格林公式两类形式的联系
通俗的说，在向量场里，向量穿过曲线，是按照沿着切线方向计算还是沿着法线方向计算,参考下图
 ![图片](/uploads/2025-05/6bb665.jpg){width=300px}
 
 对于曲线上一点，其切向量为 $\tau =(\cos \alpha, \cos \beta)$ ，而法向量和切向量垂直，自然其法向量为 $n =(\cos \beta,-\cos \alpha)$
 
 $$
\begin{aligned}
& \oint_{\partial D} a \cdot n d s=\oint_{\partial D}(P \cos \beta-Q \cos \alpha) d s \\
& =\oint_{\partial D}-Q d x+P d y \\
& =\iint_D\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right) d x d y
\end{aligned}
$$

引入二维平面区域中的散度

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