最后更新: 2025-09-14 05:34 查看: 573 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第二类曲面积分（对坐标轴的曲面积分）

## 对坐标曲面积分的引入
想象河水以速度 $v$均匀的流过面积是$S$的有向平面 $\pi$， 水流速度和平面法向量夹角为$\varphi$,可以看到，通过单位流量为

> 单位法向量 $e_n$ 如图所示，从图上直观可看出，单位时间内流过 $S$的流量就是以 $S$ 为底，$v$ 为斜高的代数体积（即可取负值）

$$
\Phi=S v \cos \varphi= v \cdot e_n S ...(1)
$$

![图片](/uploads/2025-09/9b5dcc.jpg){width=300px}

考虑3种特殊情况：
① 水流速度$v$和平面$\pi$垂直，此时 $\varphi=0$,所以流量最大，即为

$$
\Phi=S v \cos  
$$

② 水流速度$v$和平面$\pi$平行，此时 $\varphi=\pi/2$ ，很明显流量为零。即

$$
\Phi=S v \cos \varphi =0
$$

③水流速度$v$和平面$\pi$相反，此时 $\varphi=\pi $ ，此时流量为。即

$$
\Phi=-S v \cos 
$$

可以看到，通过公式（1），当 $\Phi$ 为正时，此时 $\varphi$ 为锐角，说明水的流向与$S$ 的指定侧方向一致；
当$\Phi$ 为负时，说明水的流向与$S$ 的指定侧方向相反。
这样水流量 $\Phi$ 不但刻画了单位时间内水流经过曲面 $S$ 的大小，而且说明了水的流向，这也是规定曲面方向的实际意义．

## 水流变速流过一般曲面
考虑水流通过一曲面的情况，为了计算流量，可以采用极限思想，把曲面分割成无穷小块，每一块都看成一个平面，通俗通过流速也看成匀速，这样就可以得到第二类曲面积分。

![图片](/uploads/2025-09/031423.jpg){WIDTH=300PX}
 
### 第二类曲面积分定

如下图，采用极限思想，先分割，在求值，在累加，于是有

![图片](/uploads/2025-04/657aad.jpg)
 
（1）分割：将 $S$ 分割为 $n$ 个小块 $\Delta S_i$ $(i=1,2, \cdots, n)$ ，其面积也记为 $\Delta S_i$ ；
（2）近似代替：在 $\Delta S_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ ，通过 $\Delta S_i$ 的流量

$$
\begin{aligned}
\Delta \Phi_i & \approx v_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \Delta S_i \\
& =v_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot e_n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i \\
& \quad(i=1,2, \cdots, n),
\end{aligned}
$$

$e _n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 为曲面 $S$ 在点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 处与曲面侧方向一致的单位法向量；

（3）求和：总流量 $\Phi=\sum_{i=1}^n \Delta \Phi_i \approx \sum_{i=1}^n v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \Delta S_i$

$$
=\sum_{i=1}^n v_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot e_n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i
$$

（4）取极限：

$$
\begin{aligned}
\Phi & =\sum_{i=1}^n \Delta \Phi_i=\lim _{\lambda=0} \sum_{i=1}^n v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \Delta S_i=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot e_n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i \\
& =\iint_S v(x, y, z) \cdot e_n(x, y, z) d S
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{\Delta S_i\right.$ 的直径 $\}$ 。

> **第二类曲面积分的物理意义是：流体流过又向曲面的流量**

## 第二类曲线积分的定义
 设 $S$ 为光滑的有向曲面，$e_n(x, y, z)$ 为 $S$ 上 $(x, y, z)$ 处的单位法向量， $F (x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$ 为 $S$ 上的有界函数，若 $\iint_S F(x, y, z) \cdot e_n(x, y, z) d S$ 存在，则称此积分为向量值函数 $F(x, y, z)$ 在定向曲面 $S$ 上的第二类曲面积分，记为 $\iint_S F (x, y, z) \cdot d S$ ，即

$$
\iint_S \boldsymbol{ F (x, y, z)} \cdot d S=\iint_S F (x, y, z) \cdot  \boldsymbol{e _n(x, y, z)} d S
$$

由定义可知，向量值函数 $F (x, y, z)$ 在定向曲面 $S$ 上的第二类曲面积分就是数量值函数 $F (x, y, z) \cdot e _n(x, y, z)$ 在曲面 $S$ 上的第一类曲面积分，若令 $e _n(x, y, z)=\cos \alpha i+\cos \beta j+\cos \gamma k$ ，则

$$
F (x, y, z) \cdot e _n(x, y, z)=P(x, y, z) \cos \alpha+Q(x, y, z) \cos \beta+R(x, y, z) \cos \gamma
$$

积分
$$
\begin{aligned}
& \iint_S F(x, y, z) \cdot d S \\
= & \iint_S F(x, y, z) \cdot e_n(x, y, z) d S \\
= & \iint_S[P(x, y, z) \cos \alpha+Q(x, y, z) \cos \beta+R(x, y, z) \cos \gamma] d S \\
= & \iint_S P(x, y, z) \cos \alpha d S+\iint_S Q(x, y, z) \cos \beta d S+\iint_S R(x, y, z) \cos \gamma d S
\end{aligned}
$$

可以证明 $\iint_S P(x, y, z) \cos \alpha d S$ 为 $\iint_S P(x, y, z) d y d z$ ,

$\iint_S Q(x, y, z) \cos \beta d S$ 为 $\iint_S Q(x,y, z) d z d x$,

$\iint_S R(x, y, z) \cos \gamma d S$ 为 $\iint_S R(x, y, z) d x d y$ ，则第二类曲面积分的坐标表达式为

$$
\boxed{
\iint_S F (x, y, z) \cdot d S =\iint_S P(x, y, z) d y d z+Q(x, y, z) d z d x+R(x, y, z) d x d y
}
$$

所以第二类曲面积分又称为对坐标的曲面积分．

注（1）由以上记法可知，积分 $\iint_S F(x, y, z) \cdot \mathrm{d} S$ 中记号 $\mathrm{d} S$ 相当于 $e_n(x$ ， $y, z) \mathrm{d} S$ ，即

$$
\mathrm{d} S=e_n(x, y, z) \mathrm{d} S=(\cos \alpha \mathrm{d} S, \cos \beta \mathrm{~d} S, \cos \gamma \mathrm{~d} S)=(\mathrm{d} y \mathrm{~d} z, \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y) .
$$

$\mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\cos \alpha \mathrm{d} S, \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=\cos \beta \mathrm{d} S, \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\cos \gamma \mathrm{d} S, \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 是 $\mathrm{d} S$ 在 $y O z$ 坐标面上的有向投影面积，当 $\alpha$ 为锐角时为正，否则为负；同理 $\mathrm{d} z \mathrm{~d} x$ 是 $\mathrm{d} S$ 在 $z O x$ 坐标面上的有向投影面积， $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 是 $\mathrm{d} S$ 在 $x O y$ 面上的有向投影面积．称 $\mathrm{d} S$ 为定向曲面元素， $\mathrm{d} y \mathrm{~d} z, \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 为 $\mathrm{d} S$ 的坐标，也称为定向曲面的投影元素．
（2）虽然二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 与曲面积分 $\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 记号类似，但其中 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的意义不同，二重积分中 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 为 $D$ 中面积元素，恒为正，曲面积分中 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 为 $S$ 中面积元素 $\mathrm{d} S

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【数学分析】有向曲面与第二类曲面积分的物理意义

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