最后更新: 2024-12-31 16:05 查看: 340 次反馈刷题

行列式按行展开

## 行列式按行展开
设行列式

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|
$$

则有 $|\boldsymbol{A}|=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}=\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{i k} \quad(i=1,2, \cdots, n)$
和 $|\boldsymbol{A}|=a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j}=\sum_{k=1}^n a_{k j} A_{i j} \quad(j=1,2, \cdots, n)$
分别称为 $|\boldsymbol{A}|$ 按第 $i$ 行展开的展开式及按第 $j$ 列展开的展开式.

证明 我们只证明等式 $|A|=a_1 A_{11}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}=\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{i k}(i=1,2, \cdots, n)$, 由结论 $\left|A^{\mathrm{T}}\right|=|A|$ 即可得到另一个等式.
(1) 先考虑一个特殊情况.
设

则有

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{ccc}
a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=a_{11} M_{11}
$$

而 $\boldsymbol{A}_{11}=(-1)^{1+1} M_{11}=M_{11}, \quad$ 于是 $\quad|\boldsymbol{A}|=a_{11} A_{11}$.
(2) 再考虑如下形式的行列式

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j} & \cdots & a_{i-1, n} \\
0 & \cdots & a_{i j} & \cdots & 0 \\
a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j} & \cdots & a_{i+1, n} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right| .
$$

将行列式 $|A|$ 的第 $i$ 行依次与第 $i-1$ 行，第 $i-2$ 行， ..，第 2 行，第 1 行交换，使第 $i$ 行换到第 1 行， 这样共交换了 $i-1$ 次. 再将所得行列式的第 $j$ 列依次与第 $j-1$ 列，第 $j-2$ 列， $\cdots$ ，第 2 列，第 1 列交换， 使第 $j$ 列换到第1列，这样共换了 $j-1$ 次. 因此

$$
|\boldsymbol{A}|=(-1)^{i-1}(-1)^{j-1}\left|\begin{array}{ccccccc}
a_{i j} & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
a_{1 j} & a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i-1, j} & a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\
a_{i+1, j} & a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n j} & a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=(-1)^{i-1}(-1)^{j-1} a_{i j} M_{i j}=(-1)^{i+j} a_{i j} M_{i j}=a_{i j} A_{i j} \cdot
$$

（3）对任意的 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ ，它的第 $i$ 行 $\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$ 可以写成

$$
\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)=\left(a_{i 1}+0+\cdots+0,0+a_{i 2}+0+\cdots+0, \cdots, 0+\cdots+0+a_{i n}\right),
$$

于是由行列式的拆分 (性质 4) 可知

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{D}_{i \mid}\right|+\left|\boldsymbol{D}_i\right|+\cdots+\left|\boldsymbol{D}_{i n}\right|,
$$

其中 $\left|\boldsymbol{D}_{i j}\right|(j=1,2, \cdots, n)$ 是第 $i$ 行中只有 $(i, j)$ 元素 $a_{i j} \neq 0$ ，而其余位置上的元素均为零的行列式. 因此

$$
|\boldsymbol{A}|=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}=\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{i k} \quad(i=1,2, \cdots, n) .
$$

## 行列式的展开

`例`计算行列式:

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}
0 & -2 & 4 \\
2 & 5 & -1 \\
6 & 1 & 7
\end{array}\right|
$$

解 这时可将第二行乘以 -3 加到第三行上去再按定义展开:

$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ccc}
0 & -2 & 4 \\
2 & 5 & -1 \\
6 & 1 & 7
\end{array}\right| & =\left|\begin{array}{ccc}
0 & -2 & 4 \\
2 & 5 & -1 \\
0 & -14 & 10
\end{array}\right|=(-1)^{2+1} \cdot 2 \cdot\left|\begin{array}{cc}
-2 & 4 \\
-14 & 10
\end{array}\right| \\
& =-2(-20+56)=-72 .
\end{aligned}
$$

**注意：因为行列式展开计算量非常大，通常我们使用行列式的形状，把行列式化成上三角或者下三角。**

对于超过3阶以上的行列式，通常需要使用行列式的性质，把他化为上三角进行计算。

`例`求四阶行列式 
$$
\begin{aligned}
&D=\left|\begin{array}{cccc}
3 & 1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 4 & 7 \\
2 & 2 & 1 & 4
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

解：这是一个四阶行列式，主要利用行列式的性质，把他化成上三角。

①因为最终化为上三角，所以，我们希望第一行第一列最好都是1，然后用第一行消去第二行，第三行和第四行。为此，第二行和第一行互换，根据行列式性质，互换两行，行列式变号，前面需要添加一个负号。
$$
D \xlongequal{r_1 \leftrightarrow r_2}-\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
3 & 1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & 4 & 7 \\
2 & 2 & 1 & 4
\end{array}\right|
$$

②现在第一行不变，利用第一行分别消去第二行，第三行和第四行。行列式有一个性质是：一行的k倍加到另一行上去，行列式的值不变，因此
(i)第一行乘以 $-3$ 加到第二行
(ii)第一行乘以 $-2$ 加到第三行
(iii)第一行乘以 $-2$ 加到第四行
$$
D=\xlongequal{\substack{-3 r_1+r_2 \\
-2 r_1+r_3 \\
-2 r_1+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 3 & 2 & 3 \\
0 & 2 & -1 & 0
\end{array}\right|
$$

③ 现在第一列已经变成$(k,0,0,0)$ 上三角形式了，
接下来处理第二列，让第二列由 $(0,1,3,2)$ 变成 $(a,b,0,0)$形式， 为此，以**第二行**为基础，消去第三行和第四行。
（i）将第$2$行乘以 $-3$ 加到第三行
（ii）将第$2$行乘以 $-2$ 加到第四行
此时得到的行列式如下：

$$
D\xlongequal{\substack{-3 r_2+r_3 \\
-2 r_2+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 14 & 21 \\
0 & 0 & 7 & 12
\end{array}\right|
$$

> **注意** 在第一列已经处理完毕的情况下，第一列不再主动参与运算。比如第一行乘以一个数加到下面任何一行，都会破坏前面列已经化简的结果，但是从下往上被动的可以，因为已经处理的列下面是0，0的倍数加上上面，值不变。

④观察上面第三行的数字是$14$和第四行的$7$，虽然$14$乘以$-\frac{1}{2}$ 加到第四行可以销掉第四行，但是会产生分数，我们尽可能希望使用整数，因此 交换第三行和第四行（**注意行列式再次变号**），

$$
D\xlongequal{\substack{r_{3 \leftrightarrow r_4} \\
}}\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 7 & 12 \\
0 & 0 & 14 & 21 
\end{array}\right|
$$

然后用新的第$3$行乘以 $-2$ 加到第四行上去。

$$
D\xlongequal{\substack{} \\
-2 r_3+r_{4-2} }\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 7 & 12 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{array}\right|
$$

⑤ 此时行列式已经化成上三角，结果是主对角线的值
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 7 & 12 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{array}\right|=-21
$$

在计算时，需要灵活运动行列的性质。

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