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代数余子式的异乘变零定理

## 代数余子式的异乘变零定理
$n$阶行列式的某一行的所有元素与**另一行**中对应元素的代数余子式成绩的和等于零，即
$$
\boxed{
a_{i1}A_{s1}+a_{i2}A_{s2}+...+a_{in}A_{sn}=0
}
$$

### 证明
 将行列式 $D$ 按第 $s$ 行展开，得

$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\boldsymbol{a_{s 1}} & \boldsymbol{a_{s 2}} & \boldsymbol{\cdots} & \boldsymbol{a_{s n}} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=a_{s 1} A_{s 1}+a_{s 2} A_{s 2}+\cdots+a_{s n} A_{s n},
$$

将以上等式两端的 $a_{s 1}, a_{s 2}, \cdots, a_{s n}$ 依次换为 $a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}$ 后，左端行列式 $D$ 的第 $i, s$ **两行相同**，由行列式的性质知，行列式有两行相等，其值为零，所以 $D=0$ ．于是得

$$
0=a_{i1}A_{s1}+a_{i2}A_{s2}+...+a_{in}A_{sn}
$$

即得证。

> 注意：这里的证明非常巧妙，请仔细思考一下为什么换成$a_{s k}$和 $a_{i k}$ 后，就可以证明了。

如果你还不理解，可以参考下面解释

假设进行第四行和第1行的代数余子式进行乘积之和计算，那么展开后的和就是将原行列式的第一行的元素替换成第四行元素行列式的值（这样该行列式按照第一行展开后的内容就和刚刚的结果对应上了），而此时行列式的第一行和第四行相同，行列式的值就为 0 ，那么第四行和第 1 行的代数余子式进行乘积之和也就为 0

$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 8 & 9 \\
2 & 5 & 5 & 4 \\
9 & 9 & 9 & 10
\end{array}\right|=9 * A_{11}+9 * A_{12}+9 * A_{13}

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