最后更新: 2026-01-11 11:41 查看: 1465 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

余子式与代数余子式★★★★★

## 余子式与代数余子式
一般来说，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简单，于是，我们自然的考虑是用低阶行列式来表达高阶行列式。

### 定义
**余子式**：设 $|A|$ 是一个 $n$ 阶行列式，划去的第 $i$ 行及第 $j$ 列，剩下的 $(n-1)^2$ 个元素按照原来的顺序组成了一个 $n-1$ 行列式，这个行列式称为 $|A|$ 的第 $(i, j)$ 元素的余子式，记为 $M_{i j}$ 。

$$
M_{i j}=\left|\begin{array}{cccccc}
a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\
a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right| .
$$

> 你看到这个定义，你想到了什么？是**降阶**！！通过**循环递归**的方式， 比如把5阶行列式转换成4阶行列式，循环用上面的定义，把4阶行列式转换为3阶行列式，把3阶行列式转换为2阶行列式，直到最后转换为1阶行列式。这是我们处理高阶行列式最原始的想法，因此提出了余子式的概念。

我们注意到三阶行列式的值是用二阶行列式来定义的，而二阶行列式又可以由一阶来定义，这是一个递归的想法，因此 $n$ 阶行列式的值可以用 $n-1$ 阶行列式来定义. 即我们可以用归纳法来定义上述行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的值.

根据上面定义， 当 $n=1$ 时, 上式的值定义为 $|\boldsymbol{A}|=a_{11}$. 现假定对 $n-1$阶行列式已经定义了它们的值, 则对任意的 $i, j, M_{i j}$ 的值已经定义, 定义 $n$ 阶行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的值为

$$
|\boldsymbol{A}|=a_{11} M_{11}-a_{21} M_{21}+\cdots+(-1)^{n+1} a_{n 1} M_{n 1} ...... (1.7.2) 
$$

对于任一自然数 $n,(1.7.2)$ 式给出了一个计算 $n$ 阶行列式的方法: 将 $n$ 阶行列式化为 $n-1$ 阶行列式，再化 $n-1$ 阶行列式为 $n-2$ 阶， $\cdots$ ，最后便可求出 $|\boldsymbol{A}|$的值. 上式又称为行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 按第一列展开的展开式.

为了使 $(1.7.2)$ 式的形状更好些, 我们引进代数余子式的概念.

### 代数余子式
设 $|A|$ 是一个 $n$ 阶行列式， $M_{i j}$ 是 $|A|$ 的第 $(i, j)$ 元素的余子式  ，定义 $|A|$ 的第 $(i, j)$ 元素的代数余子式为:
$A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{i j}$

从定义可以看出，代数余子式比余子式多了一个正负号（为什么多了一个正负号？因为在行列式案列展开时，每一项会多一个正负号）。

用代数余子式 表示 $(1.7.2)$ 式可写为如下形状:

$$
|\boldsymbol{A}|=a_{11} A_{11}+a_{21} A_{21}+\cdots+a_{n 1} A_{n 1}  ......(1.7.3)
$$

这样便于记忆。

>  一个常见的问题是：为什么代数余子式比余子式多了一个正负符号？仔细比较(1.7.2)和(1.7.3)，可以发现余子式$M_{ij}$和代数余子式$A_{ij}$之间正好差了一个$(-1)^{i+j}$ 符号，所以为了“平衡”两者关系，才加了一个正负号。换句话说，如果M和A差了一个2被，那可能定义代数余子式为余子式的二倍。

### 余子式举例

`例`设矩阵$A$为4阶行列式，如下

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
4 & 2 & 1 & 3 \\
2 & -1 & 3 & 0 \\
-2 & 3 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 0 & -3 
\end{array}\right)
$$
计算他的余子式和代数余子式。

解：**①按照第三行第二列展开（参考下图）**

![图片](/uploads/2026-01/6c2ad3.jpg){width=300px}

则 $|\boldsymbol{A}| $   的 $(3,2) $ 元素的余子式和代数余子式分别为

$$
M_{32}=\left|\begin{array}{ccc}
4 & 1 & 3 \\
2 & 3 & 0 \\
1 & 0 & -3
\end{array}\right|, \quad  \quad A_{32}=(-1)^{3+2} M_{32}=-M_{32}
$$

**②按照第一行和第三列展开（参考下图）**

![图片](/uploads/2026-01/3fa33e.jpg){width=300px}

则 $|\boldsymbol{A}|$ 的 $(1,3)$ 元素的余子式和代数余子式分别为

$$
M_{13}=\left|\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
-2 & 3 & 1 \\
1 & -1 & -3
\end{array}\right| \quad, \quad A_{13}=(-1)^{1+3} M_{13}=M_{13}
$$

> 要注意余子式和代数余子式的区别，再求余子式的时候，只需要注意划去某行或者某列，在求行列式即可；但是在求代数余子式的时候，要注意正负号的区别，这个是一个易错点，请大家注意.

## 代数余子式的性质

### 性质1 行列式按行（列）展开定理

按第 $i$ 行展开：
$$
|A|=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in}
  $$

按第 $j$ 列展开：
$$
|A|=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\dots+a_{nj}A_{nj}
  $$
> **通俗理解**：行列式的值等于任意一行（列）的元素与自身代数余子式的乘积之和。

### 性质2 异乘变零定理 
某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于 $0$。
- 若 $i\neq k$，则 $\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{kj}=0$
- 若 $j\neq l$，则 $\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{il}=0$

> **通俗理解**：“自己的元素乘自己的代数余子式”才有用，乘别人的代数余子式加起来就是 $0$。

性质1与性质2合起来写就是
$$
\boxed{
\sum_{k=1}^n a_{k i} A_{k j}= \begin{cases}A, & \text { 当 } i=j, \\ 0, & \text { 当 } i \neq j\end{cases}
}
$$

我们会在[下一节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2564)证明这个定理，有兴趣的同学可以自己先想想怎么证明：

###  性质3 伴随矩阵与代数余子式的关系 
方阵 $A$ 的**伴随矩阵** $A^*$，其元素是 $A$ 的代数余子式的转置，即
$$A^*=(A_{ji})_{n\times n}$$
这里注意下标顺序：$A^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素，是 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素的代数余子式 $A_{ji}$。
同时满足核心公式：
$$AA^*=A^*A=|A|E$$

###  性质4：代数余子式的符号规律
$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 的符号由 $i+j$ 的奇偶性决定，呈现 **“棋盘式” 分布**：
$

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