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行列式的转置★★★★★

## 行列式的转置
**定义**将行列式的行做成列，列做成行，称为行列式的转置，记作: $D^T$ 或 $D^{\prime}$ （T表示Transformers）。
例如：
$$
\begin{aligned}
& D=\left|\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 1 \\
8 & 8 & 8
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

转置后为
$$
\begin{aligned}
& D^T=\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 8 \\
2 & 1 & 8 \\
3 & 1 & 8
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

从定义不难看出，对行列式转置之后再转置等于原行列式，即 $\left(D^T\right)^T=D$ 。事实上，对行列式求 $2n$ 次转置仍然等原行列式。

## 行列式转置的性质

> **行列式转置，其值不变，即$D^T = D$**

例如 
$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ll}
2 & -3 \\
5 & -6
\end{array}\right|=3, \quad\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=\left|\begin{array}{rr}
2 & 5 \\
-3 & -6
\end{array}\right|=3=|\boldsymbol{A}| .
$$

## 行列式转置的意义

行列式与其转置行列式的值相等，即
$$
\boldsymbol{D = D^T}
$$
这个性质非常重要：

> **它说明行列式的行和列具有等价的地位，即：对行成立的性质，对列也一定成立**。

比如“交换两行，行列式变号”，既然值相等，那么对应的“交换两列，行列式也变号”；
“某一行全为0，行列式为0”，对应的“某一列全为0，行列式也为0”。总之，行和列具有同等的地位，更进一步说，我们只要研究行的性质就可以了。

### 证明：行列式转置值不变

我们使用一个具体的行列式来证明他的值不变，这个证明过程使用了行列式计算最原始的定义-逆序数。如果把下面证明中使用的具体数字更改为$i,j$ 就是教科书里采用的严格证明。

对于$n$阶行列式，在 [n阶行列式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=467) 里介绍了如何通过定义展开行列式。要证明行列式转置等于行列式，只要证明其每一项取数是一样的就可以了,因为数字是相同的，最主要是检验前面的符号一样，而符号是通过逆序数来决定的。

假设有一个行列式$D$如下，我们随机取行列是里的一个数字，
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
(1) & 2 & 3 & 4 \\
1 & 1 & 1 & (6) \\
2 & (8) & 8 & 8 \\
9 & 9 & (9) & 3
\end{array}\right|
$$

比如取(1)(6)(8)(9) 这四项，他的行标为 4 级标准排列**行排列1234**，列标排列为 **列排列1423** ，所以为该项使用第一种定义展开:

$$
a_{ij}= (-1)^{N(1432)} 1 \times 6 \times 8 \times 9
$$

现在把矩阵转置过来，仔细观察着四个数字的位置。
$$
\begin{aligned}
& D^T=\left|\begin{array}{cccc}
(1) & 1 & 2 & 9 \\
2 & 1 & (8) & 9 \\
3 & 1 & 8 & (9) \\
4 & \text { (6) } & 8 & 3
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

转置行列式 $D^T$ 中(1)(6)(8)(9)项的行标排列为**行排列1423** ，列为 4 级标准排**列排列1234**，所以为该项使用第二种定义展开:

$a_{ji}=(-1)^{N(1432)} 1 \times 6 \times 8 \times 9$ 。

不难发现，行列式 $D$ 和其转置行列式 $D^T$ 中的(1)(6)(8)(9)项的值相同，可以推出，其他各项值也会完全相同，故 $D^T=D$ 。

总之，就一句话：行列式转置和其值相等。

### 转置行列式满足下面的运算规律：
（i）$\left( A ^{ T }\right)^{ T }= A$ 。
（ii）$( A \pm B )^{ T }= A ^{ T } \pm B ^{ T }$ ．
（iii）$(\lambda A )^{ T }=\lambda A ^{ T }$（ $\lambda$ 为实数）。
（iv）$( A B )^{ T }= B ^{ T } A ^{ T }$ ．
（v）若 $A$ 是可逆矩阵，则 $\left( A ^{ T }\right)^{-1}=\left( A ^{-1}\right)^{ T }$ ．

## 几何意义（通俗理解）
对于 2 阶行列式，$|A|$ 表示**行向量构成的平行四边形面积**；$|A^T|$ 表示**列向量构成的平行四边形面积** —— 同一个平行四边形的面积显然相等。
对于 3 阶行列式，同理对应**平行六面体的体积**，转置后体积不变。

### 结论
**任意 n 阶方阵的行列式，其转置后的行列式值与原行列式值相等**，即
$$\boldsymbol{|A^T|=|A|}$$

## 例题

`例` 设 $A$ 是 $n$ 阶反对称矩阵，即 $A^T = -A$。证明：当 $n$ 为奇数时，$|A|=0$。

解：**证明步骤**：
1.  对 $A^T = -A$ 两边同时取行列式
    $$|A^T| = |-A|$$
2.  利用**行列式转置性质** $|A^T|=|A|$，代入左边
    $$|A| = |-A|$$
3.  计算右边 $|-A|$：$n$ 阶行列式，提取每行的公因子 $-1$，共提取 $n$ 个
    $$|-A| = (-1)^n |A|$$
4.  联立等式得
    $$|A| = (-1)^n |A|$$
5.  整理式子
    $$|A| - (-1)^n |A| = 0 \implies |A| \cdot [1 - (-1)^n] = 0$$
6.  分析 $n$ 为奇数的情况
    当 $n$ 是奇数时，$(-1)^n = -1$，因此
    $$1 - (-1) = 2 \neq 0$$
    要使等式成立，必须满足 $\boldsymbol{|A|=0}$。

关键思路：转置性质是连接 $|A^T|$ 和 $|A|$ 的桥梁，结合反对称矩阵的定义完成证明

> **上面这个结论最好记住，对于反对称矩阵，在是奇数的情况下，行列式的值为零，这个

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