最后更新: 2025-05-21 12:33 查看: 1584 次反馈同步训练

复数的基本概念与几何意义

> 本文介绍面向高中复数，要了解 面向大学的复数教程，请参考 [复变函数与积分变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=5)

## 引入意义

从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程 $x^2+a=0(a>0)$ 有没有解，进而可以归结为方程 $x^2+1=0$ 有没有解。
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 $x^2-2=0$ 这样的方 程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规 定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。
依照这种思想，为了解决 $x^2+1=0$ 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 $i$ ，使得 $x=i$ 是方程 $x^2+1=0$ 的解， 即使得 $i^2=-1$ 。
思考：把新引进的数 添加到实数集中，我们希望数 $i$ 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、 结合律，以及乘法对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢?
依照以上设想，把实数 $b$ 与 $i$ 相乘，结果记作 $b i$ ；把实数 $a$ 与 $b i$ 相加，结果记作 $a+b i$ 。注意到所有实数以及 $i$ 都可以写成 $a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbb{R})$ 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。

## 定义

我们定义形如 $a+b \mathrm{i}$ ，其中 $a, b \in \mathbb{R}$ 的数叫做**复数**，其中 $i$ 被称为 **虚数单位**，全体复数的集合叫做**复数集**，并用字母$C$表示。
复数通常用 $z$ 表示，即 $z=a+b \mathrm{i}$ 。这种形式被称为 复数的代数形式。其中 $a$ 称为复数 $z$ 的 **实部**， $b$ 称为复数 $z$ 的 **虚部**。如无特殊说 明，都有 $a, b \in \mathbb{R}$ 。
对于一个复数 $z$ ，当且仅当 $b=0$ 时，它是实数，当 $b \neq 0$ 时，它是虚数，当 $a=0$ 且 $b \neq 0$ 时，它是**纯虚数**。
纯虚数，虚数，实数，复数的关系如下图所示。
![](../uploads/2022-10/78bb15.svg)

`例` 当 $m$ 为何实数时，复数 $z=m^2+m-2+\left(m^2-1\right) i$ 分别是：
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数；
（4） 0 ？
解（1）当 $m^2-1=0$ ，即 $m= \pm 1$ 时，复数 $z$ 是实数．
（2）当 $m^2-1 \neq 0$ ，即 $m \neq \pm 1$ 时，复数 $z$ 是虚数．
（3）当 $m^2+m-2=0$ 且 $m^2-1 \neq 0$ ，即 $m=-2$ 时，复数 $z$ 是纯虚数．
（4）当 $m^2+m-2=0$ 且 $m^2-1=0$ ，即 $m=1$ 时，复数 $z=0$ ．

## 复数的几何意义

我们知道了 $a+b \mathrm{i}$ 这样类似的形式的数被称为复数，并且给出了定义和分类，我们还可以挖掘一下更深层的性质。
我们把所有实数都放在了数轴上，并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。
首先我们定义 复数相等: 两个复数 $z_1=a+b \mathrm{i}, z_2=c+d \mathrm{i}$ 是相等的，当且仅当 $a=c$ 且 $b=d$ 且。
这么定义是十分自然的，在此不做过多解释。
也就是说，我们可以用

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