最后更新: 2025-02-13 11:22 查看: 502 次反馈同步训练

复数的模、辐角与共轭复数

## 复数的模
**复数的模** 就是复数所对应的向量的模。复数 $z=a+b \mathrm{i}$ 的模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 。
于是为了方便，我们常把复数 $z=a+b \mathrm{i}$ 称为点 $Z$ 或向量 $\overrightarrow{O Z}$ ，并规定相等的向量表示同一个复数。
并且由向量的知识我们发现，虚数不可以比较大小（但是实数是可以的）。

## 共轭复数
当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为**共轭复数,** 即：复数 $a+b i$ 与 $a-b i$ 叫做互为共轭复数.

一般地, 复数 $z=a+b i$ 的共轭复数表示为:

$$
\bar{z}=a-b i
$$

显然, 实数 $a$ (即虚部为零的复数) 的共轭复数仍是它自身 $a$.
我们已经知道, 实数集与数轴上的点之间可建立一一对应关系. 引进虚数,构成复数集之后，是否有相应的对应关系呢？

首先，虚数单位 $i$ 在实数轴上没有立足之地，它不属于实数集；其次，当 $b \neq 0$ 时, 复数 $a+b i$ 也不可能在实数轴上找出对应之点, 它仍不属于实数集,因此, 我们必须另找途径来建立对应关系.

从复数及其相等的定义中, 我们知道, 任何一个复数 $z=a+b i$, 都由一个有序实数对 $(a, b)$ 唯一确定，而每一个有序实数对，又借助平面的坐标化可以唯一确定平面上一个点, 因此, 只要在平面上建立起直角坐标系, 就可以用平面上的点 $Z(a, b)$ 表示出复数 $z=a+b i$, 如图 1.1 所示.
 ![图片](/uploads/2024-09/a405f5.jpg)
 
这个建立了坐标系来表示复数的平面, 叫做**复平面**, 其中 $X$ 轴叫做实轴, $Y$ 轴（不含原点）叫做虚轴.

这样一来, 每一个复数, 在复平面内都有唯一一点和它对应, 反之, 复平面内的每一个点, 都有唯一的一个复数和它对应, 因此, 复数集 $\mathbb{C}$ 和复平面上的点集是一一对应的. 特别地, 实数集和复平面实轴上的点集一一对应; 纯虚数集合和复平面虚轴（不含原点）上的点集一一对应。

显然, 互为共轭的两个复数 $z=a+b i$ 与 $\bar{z}=a-b i$ 在复平面上对应的两点 $Z(a, b)$ 与 $\bar{Z}(a,-b)$ 关于实轴对称（图 1.2）.

## 复数的模与幅角
我们已经知道, 复数集与复平面上的点集之间是一一对应的, 即每一复数 $z=a+b i(a, b \in \mathbb{R})$ 都对应着复平面上唯一一点 $Z(a, b)$, 反之亦然。

如果我们在复平面上连结原点 $O$ 与表示复数 $z=a+b i$ 的 $Z(a, b)$, 就得到一个向量 (从 $O$ 点指向 $Z$ 点), 记作 $\overrightarrow{O Z}$, 这样就可以在复数同向量 (从原点出发的向量) 之间建立起联系. 不难看出, 任一复数 $z$ 可唯一确定复平面上一点 $Z$, 进而唯一确定一个向量 $\overrightarrow{O Z}$; 反之, 复平面上任一向量 $\overrightarrow{O Z}$, 可唯一确定一点 $Z$, 进而唯一确定一个复数 $z$, 因此, 复数集 $\mathbb{C}$ 与复平面内所有以原点 $O$ 为起点的向量（位置向量）集合也是一一对应

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