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高中数学
第八章 复数(高中)
虚数i的周期
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更新:
2025-05-21 12:35
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虚数i的周期
## 虚数 虚数是指可以写作实数与虚数单位 $i$ 乘积的复数，并定义其性质为 $i^2=-1$ ，以此定义，0可视为同时是实数也是虚数。 虚数的英文是imaginary number，其意思是虚构的意思。 ### 虚数不能比较大小 不同的虚数都是不能比较大小的: $1<2$ 成立，但 $1+i<2+i$ 和 $i<2 i$ 却均不成立。 举例说明: (反证法) 假设 $i>0$ 平方得 $i^2>0$ 得 $-1>0$ 即可看出矛盾。 再举例: 假设 $i<0$ 平方得 $i^2>0$ (不等式两侧同乘假设为负的 $i$ ，不等式由小于变为大于) 得 $-1>0$ 即可看出矛盾。 因此虚数或者说虚部不为 0 的复数不能比较大小。 ## 虚数i的周期 因为 $i^0=1 ， i^1=i ， i^2=-1 ， i^3=-i ， i^4=1 ， \cdots$ ，很容易知道 $i^n$ 是关于指数 $n$ 的周期函数，最小正周期是 4 。于是，我们有 $$ \boxed{ i^1+i^2+i^3+i^4=0 } $$ 这表示 $i$ 为方程 $x+x^2+x^3+x^4=0$ 的一个根，另三个根分别为 $-i,-1$ 及 0 。 另外可以证明 $$ \omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i $$ 和 $$ \bar{\omega}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i $$ 为下列方程的根 $$ \begin{aligned} & x^2+x+1=0 \\ & x^3=1 \end{aligned} $$ 其中， $\bar{\omega}$ 称为
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