最后更新: 2025-02-13 11:26 查看: 712 次反馈同步训练

复数的加、减、乘、除

## 加法与减法

我们规定，复数的加法规则如下:
设 $z_1=a+b \mathrm{i}, z_2=c+d \mathrm{i}$ ，那么 $z_1+z_2=(a+c)+(b+d) \mathrm{i}$
很明显，两个复数的和仍为复数。
考虑到向量的加法运算，我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则，这同样证明了复数的几何意义的正确性。
同样可以验证，复数的加法满足交换律和结合律。即:

$$
z_1+z_2=z_2+z_1\left(z_1+z_2\right)+z_3=z_1+\left(z_2+z_3\right)
$$

减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则：

$$
z_1-z_2=(a-c)+(b-d) \mathbf{i}
$$

这同样符合向量的减法运算。

## 复数的乘法

$(一)$ 乘法
复数的乘法运算按照以下规定的法则进行：设 $z_1=a+b i, z_2=c+d i$ 是任意两复数, 则

$$
z_1 \cdot z_2=(a+b i) \cdot(c+d i)=(a c-b d)+(a d+b c) i
$$

其中, 由于我们要求乘法运算仍应保持"运算通性", 因而, 这一规定说明复数的乘法与多项式乘法是类似的，只要将结果中的 $i^2$ 换成 -1 ，分别合并实部与虚部即可。

可见, 任意两个复数的乘积仍然是一个复数, 也就是说, 复数集对于乘法也是封闭的.

特别地, 根据这一规定, 对两个互为共轭复数 $z$ 与 $\bar{z}$, 我们有

$$
\boxed{
z \cdot \bar{z}=(x+y i) \cdot(x-y i)=x^2+y^2
}
$$
因此, 互为共轭的两复数之积是一个实数, 它等于每一复数的模的平方, 即

$$
z \cdot \bar{z}=|z|^2=|\bar{z}|^2
$$

容易验证, 复数乘法运算也具有"数系运算通性", 即对于任意 $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$,都有

$$
\begin{aligned}
 z_1 \cdot z_2 & =z_2 \cdot z_1 \\
 z_1 \cdot\left(z_2 \cdot z_3\right) & =\left(z_1 \cdot  z_2\right) \cdot z_3=z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 \\
 z_1 \cdot\left(z_2+z_3\right) & =z_1 \cdot z_2+z_1 \cdot z_3 \\
z_1 \cdot 0 & =0 \cdot z_1=0 \\
z_1 \cdot 1 & =1 \cdot z_1=z_1
\end{aligned}
$$

还应该指出，复数乘方运算、幂的概念与实数完全相同，而且由于复数的乘法满足交换律、结合律，所以在实数集 $\mathbb{R}$ 中的指数运算律，在复数集 $\mathbb{C}$ 中仍然成立，即

对任意 $z_1, z_2, z \in \mathbb{C}$ 及 $m, n \in \mathbb{N}$ ，都有

$$
\begin{aligned}
z^m \cdot z^n & =z^{m+n} \\
\left(z^m\right)^n & =z^{m \cdot n}
\end{aligned}
$$

$$
\left(z_1 \cdot z_2\right)^n=z_1^n \cdot z_2^n
$$

这样，我们由定义 $i^2=-1$ ，运用指数运算律可以得出：

$$
\begin{aligned}
& i^3=i \cdot i^2=-i \\
& i^4=i^2 \cdot i^2=(-1) \cdot(-1)=1 \\
& i^5=i^4 \cdot i=i \\
& \ldots \ldots
\end{aligned}
$$

一般地, 对任意 $n \in \mathbb{N}$, 我们可归纳出：

$$
\begin{aligned}
i^{4 n} & =\left(i^4\right)^n=1^n=1 \\
i^{4 n+1} & =\left(i^4\right)^n \cdot i=i \\
i^{4 n+2} & =\left(i^4\right)^n \cdot i^2=-1 \\
i

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