最后更新: 2025-02-13 11:28 查看: 23 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

复数加减的几何意义

如图 3．3－5，设复数 $z_1=a+b i , z_2=c+d i (a, b, c, d \in R )$ 分别对应向量 $\overrightarrow{O P}$ ， $\overrightarrow{O Q}$ ，则 $\overrightarrow{O P}=(a, b), \overrightarrow{O Q}=(c, d)$ ．

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由平面向量的坐标运算得，$z_1+z_2=(a+c)+(b+d) i$ 就对应向量 $\overrightarrow{O S}=(a+c$ ， $b+d)=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}$ ，且 $O S$ 是以 $O P, O Q$ 为邻边的平行四边形的对角线．即复数 $z_1$ ， $z_2$ 的加法由对应向量 $\overrightarrow{O P}, \overrightarrow{O Q}$ 的加法来表示，且复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．

类似地，复数的减法由对应向量的减法来表示：

$$
\begin{gathered}
z_1-z_2=(a-c)+(b-d) i \\
\Rightarrow \overrightarrow{O D}=(a-c, b-d)=\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{Q P},
\end{gathered}
$$

其中， $\overrightarrow{O D}$ 与 $\overrightarrow{Q P}$ 同向平行且长度相等，如图 3．3－5．
复数 $z=a+b i$ 与任一实数 $k$ 相乘，其积所对应的向量 $\overrightarrow{O M}$ 可由复数 $z$ 对应的向量 $\overrightarrow{O P}$ 与 $k$ 的积表示：

$$
k z=k a+k b i \Rightarrow \overrightarrow{O M}=(k a, k b)=k \overrightarrow{O P} .
$$

这就是说，实数 $k$ 与复数 $z$ 相乘就可由实数 $k$ 与该复数对应的向量 $\overrightarrow{O P}$ 的数乘来表示。

`例` 如图 3．3－6，已知复平面上的 $\square O A C B, O$ 是原点，$A, B$ 分别对应复数 $3+ i , 2+4 i , M$ 是 $O C, A B$ 的交点．求点 $C, M$ 对应的复数．
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解 由于 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}$ 分别对应复数 $3+ i , 2+4 i$ ，则 $\overrightarrow{O C}=$ $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ 对应的复数为 $(3+ i )+(2+4 i )=5+5 i$ ，即点 $C$ 所对应的复数。
$\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{O C}$ 对应的复数为 $\frac{1}{2}(5+5 i )=\frac{5}{2}+\frac{5}{2} i$ ，即点 $M$ 所对应的复数．

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