最后更新: 2025-01-16 21:44 查看: 233 次反馈刷题

库仑定律

### 引例
带正电的带电体 $C$ 置于铁架台旁，把系在丝线上带正电的小球先后挂在 $P_1、P_2、P_3$ 等位置。带电体 $C$ 与小球间的作用力会随距离的不同怎样改变呢？
 ![图片](/uploads/2025-01/1a80a7.svg){width=350px}

## 电荷之间的作用力

通过上面的实验可以看到, 电荷之间的作用力随着电荷量的增大而增大, 随着距离的增大而减小。

电荷之间的作用力会不会与万有引力具有相似的形式呢? 也就是说, 电荷之间的相互作用力, 会不会与它们电荷量的乘积成正比, 与它们之间距离的二次方成反比?

事实上, 电荷之间的作用力与万有引力是否相似的问题早已引起当年一些研究者的注意, 英国科学家卡文迪什和普里斯特利等人都确信 “平方反比” 规律适用于电荷间的力。不过, 最终解决这一问题的是法国科学家库仑。他设计了一个十分精妙的实验 (扭科实验), 对电荷之间的作用力开展研究。最后确认: **真空中两个静止点电荷之间的相互作用力, 与它们的电荷量的乘积成正比, 与它们的距离的二次方成反比, 作用力的方向在它们的连线上**。这个规律叫作**库仑定律** (Coulomb's law)。这种电荷之间的相互作用力叫作**静电力** (electrostatic force) 或**库仑力**。
那么, 什么是点电荷呢?
实验事实说明, 两个实际的带电体间的相互作用力与它们自身的大小、形状以及电荷分布都有关系。任何带电体都有形状和大小。当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多, 以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时, 这样的带电体可以看作带电的点, 叫作**点电荷** (point charge)。

## 库仑的实验

库仑做实验用的装置叫作库仑扭科。如下图, 细银丝的下端悬挂一根绝缘棒, 棒的一端是一个小球 A, 另一端通过物体 $\mathrm{B}$ 使绝缘棒平衡, 悬丝处于自然状态。把另一个带电的金属小球 $\mathrm{C}$ 插人容器并使它接触 $\mathrm{A}$, 从而使 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{C}$ 带同种电荷。将 $\mathrm{C}$ 和 $\mathrm{A}$ 分开, 再使 $\mathrm{C}$ 靠近 $\mathrm{A}, \mathrm{A}$ 和 $\mathrm{C}$ 之间的作用力使 $\mathrm{A}$ 远离。扭转悬丝, 使 $\mathrm{A}$ 回到初始位置并静止,通过悬丝扭转的角度可以比较力的大小。改变 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{C}$ 之间的距离 $r$, 记录每次悬丝扭转的角度, 就可以找到力 $F$ 与距离 $r$ 的关系, 结果是力 $F$ 与距离 $r$ 的二次方成反比, 即

$$
F \propto \frac{1}{r^2}
$$

![图片](/uploads/2025-01/00efc4.svg){width=250px}

在库仑那个年代, 还不知道怎样测量物体所带的电荷量, 甚至连电荷量的单位都没有。不过两个相同的金属小球, 一个带电、一个不带电, 互相接触后, 它们对相隔同样距离的第三个带电小球的作用力相等, 因此, 可以断定这两个小球接触后所带的电荷量相等。这意味着, 如果使一个带电金属小球与另一个不带电的完全相同的金属小球接触, 前者的电荷量就会分给后者一半。多次重复, 可以把带电小球的电荷量 $q$ 分为

$$
\frac{q}{2}, \frac{q}{4}, \frac{q}{8}, \cdots
$$

这样又可以得出电荷之间的作用力与电荷量的关系:力 $F$ 与 $q_1$ 和 $q_2$ 的乘积成正比, 即

$$
F \propto q_1 q_2 
$$

综合上述实验结论, 可以得到如下关系式**库仑力公式**

$$
\boxed{
F=k \dfrac{q_1 q_2}{r^2} 
}
$$

式中的 $k$ 是比例系数, 叫作**静电力常量**。当两个点电荷所带的电荷量为同种时, 它们之间的作用力为斥力; 反之,为异种时, 它们之间的作用力为引力。

在国际单位制中, 电荷量的单位是库仑 (C), 力的单位是牛顿 $(\mathrm{N})$, 距离的单位是米 $(\mathrm{m})$ 。通过实验测定 $k$ 的数值是

$$
\boxed{
k=9.0 \times 10^9 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^2 / \mathrm{C}^2
}
$$

电量的单位 C (库仑) 是为了纪念库仑而命名的. 通常, 一把梳子和衣袖摩擦后所带的电量不到百万分之一库仑, 但天空中发生闪电之前, 巨大的云层中积累的电量可达几百库仑.

与其他力一样, 静电力也是矢量, 它既有大小又有方向, 上面的库仑定律仅仅给出了静电力的大小. 为了确定静电力的方向, 就需要利用电荷之间 "同种电荷互相排斥, 异种电荷互相吸引" 的特点加以判断. 两个或两个以上点电荷对某一点电荷的作用力, 等于各点电荷单独对这个电荷的作用力的矢量和.

## 例题
`例` 氢原子由一个质子和一个电子组成. 根据经典模型, 电子绕核做圆周运动, 轨道半径 $r=5.3 \times 10^{-11} \mathrm{~m}$. 已知质子的质量 $m_p=1.67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$, 电子的质量 $m_e=$ $9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$, 万有引力常量 $G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^2 / \mathrm{kg}^2$.
（1）求电子受到质子的静电力和万有引力的大小.
（2）库仑定律和万有引力定律的表达式有哪些相似之处?
（3）在研究微观物质的相互作用力时，在库仑定律和万有引力定律中，哪一种力可以被忽略呢? 请说明理由.
 ![图片](/uploads/2025-01/a08dc1.jpg){width=200px}
**分析**：这是一道计算静电力和万有引力，并进行对比研究的题目。在氢原子系统中，质子和电子可被视为点电荷, 也可被视为质点, 根据库仑定律和万有引力定律可以解答本题.

解：（1）由库仑定律, 得两粒子间的静电力的大小为

$$
F_e=k \frac{e^2}{r^2}=\frac{9.0 \times 10^9 \times\left(1.60 \times 10^{-19}\right)^2}{\left(5.3 \times 10^{-11}\right)^2} \mathrm{~N}=8.20 \times 10^{-8} \mathrm{~N}
$$

由万有引力定律, 得两粒子间的万有引力的大小为

$$
F_g=G \frac{m_e m_p}{r^2}=\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.67 \times 10^{-27}}{\left(5.3 \times 10^{-11}\right)^2} \mathrm{~N}=3.61 \times 10^{-47} \mathrm{~N} .
$$

（2）静电力和万有引力的计算公式具有高度相似性. 它们都包含一个常量: 静电力常量 $k$ 或万有引力常量 $G$; 都包含两个物质的参量: 电量或质量; 都表现为与距离的二次方成反比关系；计算结果单位都一致等.
（3）由（1）的计算结果, 可得静电力与万有引力的大小之比为

$$
\frac{F_e}{F_g}=\frac{8.20 \times 10^{-8}}{3.61 \times 10^{-47}}=2.27 \times 10^{39} .
$$

根据计算结果，可知氢原子中电子与质子的静电力远远大于万有引力. 因此, 在研究微观带电粒子的相互作用时, 万有引力通常可以忽略.

`例`真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为 50 cm 的等边三角形的三个顶点上，每个点电荷的电荷量都是 $2.0 \times 10^{-6} C$ ，求它们各自所受的静电力。
分析 根据题意作图（图 9．2－2）。每个点电荷都受到其他两个点电荷的斥力，因此，只要求出一个点电荷（例如 $q_3$ ）所受的力即可。
 ![图片](/uploads/2025-01/8d4578.svg){width=300px}

解：根据库仑定律，点电荷 $q_3$ 共受到 $F_1$ 和 $F_2$ 两个力的作用。其中

$$
q_1=q_2=q_3=q
$$

每两个点电荷之间的距离 $r$ 都相同，所以

$$
F_1=F_2=k \frac{q^2}{r^2}=\frac{9.0 \times 10^9 \times\left(2.0 \times 10^{-6}\right)^2}{0.5^2}=0.144 N
$$

根据平行四边形定则可得

$$
F=2 F_1 \cos 30^{\circ}=0.25 N
$$

点电荷 $q_3$ 所受的合力 $F$ 的方向为 $q_1$ 与 $q_2$ 连线的垂直平分线向外。
每个点电荷所受的静电力的大小相等，数值均为 0.25 N ，方向均沿另外两个点电荷连线的垂直平分线向外。

## 电介质中的库仑定律
库仑力默认是在真空条件下测得，那在其他电解质下力是多少呢？
所谓电介质, 就是我们在初中学过的绝缘体. 空气、煤油、水、玻璃、橡胶、瓷器等都是电介质。如果把两个电荷放在电介质里，例如放在煤油里，电荷间的作用力就比在同样情形下在真空里的作用力小, 小多少, 依电介质的不同而不同. 这时库仑定律用下面公式来表示：

$$
F=k \frac{Q_1 Q_2}{\varepsilon r^2}
$$

每一种电介质的 $\varepsilon$ 的数值是一定的, 叫做那种物质的**介电常数**, 下表是几种电介质的介电常数. 实用上, 通常把空气的介电常数取为 1 , 即认为电荷间的作用力在空气中跟在真空中一样.

![图片](/uploads/2024-09/05ea4a.jpg)

## 高考静电力作用下的平衡问题
1.涉及静电场中的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力，具体步骤如下：
 ![图片](/uploads/2024-12/9ef07f.jpg)
 
 2.“三个自由点电荷平衡”模型
(1)平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置.
(2)模型特点：

![图片](/uploads/2024-12/5992cf.jpg)
 
 
## 高考试题研究
`例` 如图所示, 真空中 $A 、 B$ 两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷), 所带电荷量分别为 $+Q$ 和 $-5 Q$, 在 $A 、 B$ 的延长线上的 $C$ 点处固定一电荷量为 $q$ 的电荷, 该电荷受到的静电力大小为 $F_1$, 已知 $A B=B C$. 若将两带电金属小球接触后再放回 $A 、 B$ 两处时, 电荷受到的静电力大小为 $F_2$, 则 $\frac{F_1}{F_2}$ 为
A. $\frac{21}{10}$
B. $\frac{21}{16}$
C. $\frac{19}{10}$
D. $\frac{19}{16}$

![图片](/uploads/2024-12/61947e.jpg)
 
 解：设 $A B=B C=l$, 根据库仑定律得 $F_1=\frac{5 k Q q}{l^2}-\frac{k Q q}{(2 l)^2}=\frac{19 k Q q}{4 l^2}$, 将两带电金属小球接触后, 两小球所带电荷量均为 $-2 Q$, 根据库仑定律得 $F_2=$ $\frac{2 k Q q}{l^2}+\frac{2 k Q q}{(2 l)^2}=\frac{5 k Q q}{2 l^2}$ ，所以 $\frac{F_1}{F_2}=\frac{19}{10}$ ，故选 C.
 
 
 `例`如图，三个固定的带电小球 $a 、 b$ 和 $c$ ，相互间的距离分别为 $a b=5 cm, b c=3 cm, c a=4 cm$.小球 $c$ 所受库仑力的合力的方向平行于 $a 、 b$ 的连线. 设小球 $a 、 b$ 所带电荷量的比值的绝对值为 $k$ ，则
A. $a 、 b$ 的电荷同号， $k=\frac{16}{9}$
B. $a 、 b$ 的电荷异号, $k=\frac{16}{9}$
C. $a 、 b$ 的电荷同号， $k=\frac{64}{27}$
D. $a 、 b$ 的电荷异号, $k=\frac{64}{27}$
 
  ![图片](/uploads/2024-12/ec92a5.jpg)
  
  解：由小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，知a、b带异号电荷.a对c的库仑力
 ![图片](/uploads/2024-12/c49e8c.jpg)
 
 $$
F_a=\frac{k_{\text {静 }} q_a q_c}{(a c)^2} ...(1)
$$

$b$ 对 $c$ 的库仑力 $F_b=\frac{k_{\text {静 }} q b q_c}{(b c)^2}$  ...(2)
若合力向左，如图所示，根据相似三角形得 $\frac{F_a}{a c}=\frac{F_b}{b c}$  ...(3)
由(1)(2)(3)得 $k=\left|\frac{q a}{q b}\right|=\frac{(a c)^3}{(b c)^3}=\frac{64}{27}$, 若合力向右, 结果仍成立, D 正确.

`例` 如图所示，质量为 $m$ 的带电小球 $A$ 用绝缘细线悬挂于 $O$ 点，带电荷量为 $+q$ 的小球 $B$ 固定在 $O$ 点正下方的绝缘柱上。当小球 $A$ 平衡时，悬线沿水平方向. 已知 $l_{O A}=l_{O B}=l$ ，静电力常量为 $k$ ，重力加速度为 $g$ ，两带电小球均可视为点电荷，则关于小球 $A$ 的电性及带电荷量 $q_A$ 的大小，下列选项正确的是
A.正电, $\frac{2 \sqrt{2} m g l^2}{k q}$
B.正电, $\frac{\sqrt{2} m g l^2}{k q}$
C.负电, $\frac{2 \sqrt{2} m g l^2}{k q}$
D. 负电, $\frac{\sqrt{2} m g l^2}{k q}$

![图片](/uploads/2024-12/036b7d.jpg)
 
 解：小球 $A$ 静止时, 根据平衡条件, 小球 $A$ 受到小球 $B$ 的斥力, 故小球 $A$带正电; 由平衡条件得 $\frac{k q q_A}{(\sqrt{2} l)^2}=\sqrt{2} m g$, 解得 $q_A=\frac{2 \sqrt{2} m g l^2}{k q}$, 故选 A .
 
 `例` 如图所示，已知两个点电荷Q1、Q2的电荷量分别为＋1 C和＋4 C，能在水平面上自由移动，它们之间的距离d＝3 m.现引入点电荷Q3，试求：当Q3满足什么条件，并把它放在何处时才能使整个系统处于平衡.
  ![图片](/uploads/2024-12/5bdd1e.jpg)
  
  解：若整个系统处于平衡，则点电荷Q1、Q2、Q3所受合外力均为零，
由于Q1、Q2电性相同且都为正电荷，
则Q3处在Q1、Q2之间某处，且Q3带负电，
根据 $k \frac{Q_1 Q_3}{r_1{ }^2}=k \frac{Q_3 Q_2}{r_2{ }^2}$, 得 $\frac{r_1}{r_2}=\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}=\frac{1}{2}$,即 $Q_3$ 距离电荷量较小的电荷 $Q_1$ 较近，又因 $r_1+r_2=d, d=3 m$ ，所以 $Q_3$ 到 $Q_1$ 距离 $r_1=1 m$ ，根据 $\frac{k Q_1 Q_3}{r_1^2}=\frac{k Q_1 Q_2}{d^2}$, 得 $Q_3=\frac{4}{9} C$.

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：静电的产生及其微观解释

下一篇：电场强度

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)