科数网
学习首页
高中数学
高中物理
微积分
线性代数
概率论
赞助
在线教程
大学物理
质点运动学
位移和路程
最后更新:
2024-01-10 10:44
查看:
173
次
下载
编辑本文
科数网
位移和路程
位矢: 从坐标原点 $O$ 出发, 指向质点所在位置 $P$ 的一有向线段. ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110599933a.png) 位矢用坐标值表示为: $$ \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k} $$ 位矢的大小为: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 位矢的方向: $\quad \cos \alpha=\frac{x}{r} \quad \cos \beta=\frac{y}{r} \quad \cos \gamma=\frac{z}{r}$ ## 运动方程 质点运动时, 质点的位置用坐标表示为时间的函数, 叫做运动方程. $$ \vec{r}=\vec{r}(t) $$ 直角坐标系中: $$ \vec{r}=x(t) \vec{i}+y(t) \vec{j}+z(t) \vec{k} $$ 参数形式: $$ \begin{aligned} & x=x(t) \\ & y=y(t) \\ & z=z(t) \end{aligned} $$ 轨道方程: $\quad F(x, y, z)=0$ ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110d970296.png) ## 位移 位移: 在 $\Delta t$ 时间内, 位矢的变化量称为位移 $$ \Delta \vec{r}=\vec{r}_B-\vec{r}_A=\overrightarrow{A B} $$ 直角坐标系中: $$ \Delta \vec{r}=\Delta x \vec{i}+\Delta y \vec{j}+\Delta z \vec{k} $$ 大小: $|\Delta \vec{r}|=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2} \quad$ 方向: $\boldsymbol{A} \rightarrow \boldsymbol{B}$ 位移(矢量): 表示质点在某段时间内, 始、末位置变动的总效果. ![图片](/uploads/2024-01/image_202401108d4ba9b.png) ## 路程 质点实际行程的长度 (正标量)称为路程 $\mathrm{s}$ ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110aaae1a0.png) $$ \begin{gathered} \Delta \vec{r}=\overrightarrow{A B} \quad \Delta s=\widehat{A B} \quad|\Delta \vec{r}| \leqslant \Delta s, \\ \Delta t \rightarrow 0, \mathrm{~d} s=|\mathrm{d} \vec{r}| \end{gathered} $$ (2) $\Delta \vec{r}$ 和 $\Delta r$ : $$ \begin{aligned} & \Delta r=r_B-r_A=\left|\vec{r}_B\right|-\left|\vec{r}_A\right| \\ & |\Delta \vec{r}|=\left|\vec{r}_B-\vec{r}_A\right| \\ & \therefore|\Delta \vec{r}| \geqslant \Delta r \end{aligned} $$ 例题 已知质点的运动方程 $\vec{r}=2 t \vec{i}+\left(2-t^2\right) \vec{j}$ (SI)求: (1) 质点的轨迹; (2) $t=0$ 及 $t=2 \mathrm{~s}$ 时质点的位置矢量; (3)上述两时刻间质点的位移和路程. 解 (1) $$ \left\{\begin{array}{l} x=2 t \\ y=2-t^2 \end{array} \stackrel{\text { 消 } t}{\longrightarrow} y=2-\frac{x^2}{4}\right. $$ ![图片](/uploads/2024-01/image_202401104cd08d4.png) 解 (2) 位置矢量 $t=0$ 时, $x=0 \quad y=2$ $$ \begin{array}{rlr} \vec{r}_0=2 \vec{j}(\mathrm{SI}) & \\ \text { 大小: } r_0=\left|\vec{r}_0\right|=2 \mathrm{~m} & \text { 方向沿 } y \text { 正向. } \\ t=2 \text { 时, } x=4 \quad y=-2 & \vec{r}_2=4 \vec{i}-2 \vec{j} \text { (SI) } \end{array} $$ $$ \begin{aligned} & \text { 大小: } \\ & r_2=\left|\vec{r}_2\right|=\sqrt{4^2+(-2)^2}=4.47 \mathrm{~m} \end{aligned} $$ 方向: $$ \theta_2=\arctan \frac{-2}{4}=-26^{\circ} 32^{\prime} $$ (3) 位移 $\quad \Delta \vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_0=4 \vec{i}-4 \vec{j}$ (SI) $\Delta \vec{r}\left\{\begin{array}{l}\text { 大小 : }|\Delta \vec{r}|=\sqrt{4^2+4^2}=5.65 \mathrm{~m} \\ \text { 方向: } \theta_0=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=-\frac{\pi}{4}\end{array}\right.$
上一篇:
时空、质点与参考系
下一篇:
速度和加速度
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
科数网知识库旨在打造一个可以顺序阅读的在线电子学习教程,点击顶部的
编辑本文
来完善本文,如果本文对您有用,也欢迎
赞助我们
0
篇笔记
写笔记
更多笔记
提交笔记