最后更新: 2024-01-10 10:44 查看: 229 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

位移和路程

位矢: 从坐标原点 $O$ 出发, 指向质点所在位置 $P$ 的一有向线段.

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110599933a.png)

位矢用坐标值表示为:

$$
\vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}
$$

位矢的大小为: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
位矢的方向: $\quad \cos \alpha=\frac{x}{r} \quad \cos \beta=\frac{y}{r} \quad \cos \gamma=\frac{z}{r}$

## 运动方程

质点运动时, 质点的位置用坐标表示为时间的函数, 叫做运动方程.

$$
\vec{r}=\vec{r}(t)
$$

直角坐标系中:

$$
\vec{r}=x(t) \vec{i}+y(t) \vec{j}+z(t) \vec{k}
$$

参数形式:

$$
\begin{aligned}
& x=x(t) \\
& y=y(t) \\
& z=z(t)
\end{aligned}
$$

轨道方程: $\quad F(x, y, z)=0$
![图片](/uploads/2024-01/image_20240110d970296.png)

## 位移

位移:
在 $\Delta t$ 时间内, 位矢的变化量称为位移

$$
\Delta \vec{r}=\vec{r}_B-\vec{r}_A=\overrightarrow{A B}
$$

直角坐标系中:

$$
\Delta \vec{r}=\Delta x \vec{i}+\Delta y \vec{j}+\Delta z \vec{k}
$$

大小: $|\Delta \vec{r}|=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2} \quad$ 方向: $\boldsymbol{A} \rightarrow \boldsymbol{B}$
位移(矢量): 表示质点在某段时间内, 始、末位置变动的总效果.
![图片](/uploads/2024-01/image_202401108d4ba9b.png)

## 路程

质点实际行程的长度

(正标量)称为路程 $\mathrm{s}$

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110aaae1a0.png)

$$
\begin{gathered}
\Delta \vec{r}=\overrightarrow{A B} \quad \Delta s=\widehat{A B} \quad|\Delta \vec{r}| \leqslant \Delta s, \\
\Delta t \rightarrow 0, \mathrm{~d} s=|\mathrm{d} \vec{r}|
\end{gathered}
$$

(2) $\Delta \vec{r}$ 和 $\Delta r$ :

$$
\begin{aligned}
& \Delta r=r_B-r_A=\left|\vec{r}_B\right|-\left|\vec{r}_A\right| \\
& |\Delta \vec{r}|=\left|\vec{r}_B-\vec{r}_A\right| \\
& \therefore|\Delta \vec{r}| \geqslant \Delta r 
\end{aligned}
$$

例题 已知质点的运动方程 $\vec{r}=2 t \vec{i}+\left(2-t^2\right) \vec{j}$ (SI)求: (1) 质点的轨迹;
(2) $t=0$ 及 $t=2 \mathrm{~s}$ 时质点的位置矢量;
(3)上述两时刻间质点的位移和路程.

解 (1)

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=2 t \\
y=2-t^2
\end{array} \stackrel{\text { 消 } t}{\longrightarrow} y=2-\frac{x^2}{4}\right.
$$

![图片](/uploads/2024-01/image_202401104cd08d4.png)

解 (2) 位置矢量 $t=0$ 时, $x=0 \quad y=2$

$$
\begin{array}{rlr}
\vec{r}_0=2 \vec{j}(\mathrm{SI}) & \\
\text { 大小: } r_0=\left|\vec{r}_0\right|=2 \mathrm{~m} & \text { 方向沿 } y \text { 正向. } \\
t=2 \text { 时, } x=4 \quad y=-2 & \vec{r}_2=4 \vec{i}-2 \vec{j} \text { (SI) }
\end{array}
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 大小: } \\
& r_2=\left|\vec{r}_2\right|=\sqrt{4^2+(-2)^2}=4.47 \mathrm{~m}
\end{aligned}
$$

方向:

$$
\theta_2=\arctan \frac{-2}{4}=-26^{\circ} 32^{\prime}
$$

(3) 位移 $\quad \Delta \vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_0=4 \vec{i}-4 \vec{j}$ (SI) $\Delta \vec{r}\left\{\begin{array}{l}\text { 大小 : }|\Delta \vec{r}|=\sqrt{4^2+4^2}=5.65 \mathrm{~m} \\ \text { 方向: } \theta_0=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=-\frac{\pi}{4}\end{array}\right.$

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