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速度和加速度

速度与速率
速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量

平均速度: $\quad \overline{\bar{v}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$
平均速率: $\quad \bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

平均速度是矢量, 其方向与位移的方向相同.

平均速率是标量. 平均速度的大小并不等于平均速率.

![图片](/uploads/2024-01/image_2024011033daa62.png)

瞬时速度：
质点在某一时刻所具有的速度(简称速度).

$$
\begin{aligned}
\vec{v} & =\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{~d} t} \\
|\vec{v}| & =\left|\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\right|=\frac{|\mathrm{d} \vec{r}|}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=\boldsymbol{v}
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110c3ff9e3.png)

速度的方向是沿着轨道上质点所在处的切向, 指向质点 前进的方向. (瞬时)速度的大小等于(瞬时)速率.

$\text { 瞬时速率: } \boldsymbol{v}=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}$

在直角坐标系中:
速度

$$
\begin{gathered}
\overrightarrow{\boldsymbol{v}}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \vec{i}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \vec{j}+\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t} \vec{k} \\
\overrightarrow{\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{v}_x \vec{i}+\boldsymbol{v}_y \vec{j}+\boldsymbol{v}_z \vec{k}
\end{gathered}
$$

速度的大小: $\quad \boldsymbol{v}=|\overrightarrow{\boldsymbol{v}}|=\sqrt{\boldsymbol{v}_x^2+\boldsymbol{v}_y^2+\boldsymbol{v}_z^2}$
方向沿质点的切线方向.

## 加速度

加速度是反映速度变化的物理量.
$\Delta t$ 时间内, 速度增量为:

$$
\Delta \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_B-\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_A
$$

包括速度方向的变化和速度量值的变化.

平均加速度: $\quad \overline{\vec{a}}=\frac{\Delta \overline{\boldsymbol{v}}}{\Delta t}$
平均加速度的方向与速度增量的方向一致.
![图片](/uploads/2024-01/image_202401105be628b.png)

瞬时加速度(加速度): $\vec{a}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}^2 \vec{r}}{\mathrm{~d} t^2}$直角坐标系中:

$$
\begin{aligned}
\vec{a} & =\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v_x}{\mathrm{~d} t} \vec{i}+\frac{\mathrm{d} v_y}{\mathrm{~d} t} \vec{j}+\frac{\mathrm{d} v_z}{\mathrm{~d} t} \vec{k} \\
& =\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} t^2} \vec{i}+\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2} \vec{j}+\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{~d} t^2} \vec{k}=a_x \vec{i}+a_y \vec{j}+a_z \vec{k}
\end{aligned}
$$

加速度的大小: $\quad a=|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$
加速度的方向就是时间 $\Delta t$ 趋近于零时, 速度增量 $\Delta \vec{v}$ 的极限方向. 加速度与速度的方向一般不同.

加速度与速度的夹角为 $0^{\circ}$ 或 $180^{\circ}$, 质点做直线运动.加速度与速度的夹角等于 $90^{\circ}$, 质点做圆周运动.
![图片](/uploads/2024-01/image_202401106b510fd.png)

加速度与速度的夹角小于 $90^{\circ}$, 速率增大.
加速度与速度的夹角大于 $90^{\circ}$, 速率减小.
![图片](/uploads/2024-01/image_20240110fd7bc0a.png)

质点作曲线运动时,加速 度总是指向轨迹曲线凹 的一边.
![图片](/uploads/2024-01/image_202401102051c9e.png)

标量描述
当质点作直线运动时,

$$
x=x(t) \quad \Delta x=x_2-x_1 \quad v=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \quad a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}
$$

矢量的方向性可用正、负号表示.

$\Delta x$ 是位移, 不是路程.

思考: 是否可以根据 $\boldsymbol{a}$ 的正负, 判断 $v$ 是变大还是变小?
当质点作一般曲线运动时, 一般情况将矢量分解, 各分量可按标量描述，即各分量同样用正、负号表示.

**例题** 已知质点作匀加速直线运动, 加速度为 $a$, 求质点的运动方程.
解: $\vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t} \Longrightarrow \mathrm{d} \vec{v}=\vec{a} \mathrm{~d} t$
对于作直线运动的质点, 采用标量形式 $\mathrm{d} v=a \mathrm{~d} t$

$$
\begin{aligned}
& \Longleftrightarrow \int_{v_0}^v \mathrm{~d} \boldsymbol{v}=\int_0^t a \mathrm{~d} t \quad \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_0+a t \\
& \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_0+a t \Longrightarrow \int_{x_0}^x \mathrm{~d} x=\int_0^t\left(\boldsymbol{v}_0+a t\right) \mathrm{d} t \\
& \Longrightarrow x=x_0+\boldsymbol{v}_0 t+\frac{1}{2} a t^2
\end{aligned}

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