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质点运动学
速度和加速度
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2024-01-10 10:50
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速度和加速度
速度与速率 速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量 平均速度: $\quad \overline{\bar{v}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ 平均速率: $\quad \bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$ 平均速度是矢量, 其方向与位移的方向相同. 平均速率是标量. 平均速度的大小并不等于平均速率. ![图片](/uploads/2024-01/image_2024011033daa62.png) 瞬时速度: 质点在某一时刻所具有的速度(简称速度). $$ \begin{aligned} \vec{v} & =\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{~d} t} \\ |\vec{v}| & =\left|\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\right|=\frac{|\mathrm{d} \vec{r}|}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=\boldsymbol{v} \end{aligned} $$ ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110c3ff9e3.png) 速度的方向是沿着轨道上质点所在处的切向, 指向质点 前进的方向. (瞬时)速度的大小等于(瞬时)速率. $\text { 瞬时速率: } \boldsymbol{v}=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}$ 在直角坐标系中: 速度 $$ \begin{gathered} \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \vec{i}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \vec{j}+\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t} \vec{k} \\ \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{v}_x \vec{i}+\boldsymbol{v}_y \vec{j}+\boldsymbol{v}_z \vec{k} \end{gathered} $$ 速度的大小: $\quad \boldsymbol{v}=|\overrightarrow{\boldsymbol{v}}|=\sqrt{\boldsymbol{v}_x^2+\boldsymbol{v}_y^2+\boldsymbol{v}_z^2}$ 方向沿质点的切线方向. ## 加速度 加速度是反映速度变化的物理量. $\Delta t$ 时间内, 速度增量为: $$ \Delta \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_B-\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_A $$ 包括速度方向的变化和速度量值的变化. 平均加速度: $\quad \overline{\vec{a}}=\frac{\Delta \overline{\boldsymbol{v}}}{\Delta t}$ 平均加速度的方向与速度增量的方向一致. ![图片](/uploads/2024-01/image_202401105be628b.png) 瞬时加速度(加速度): $\vec{a}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}^2 \vec{r}}{\mathrm{~d} t^2}$直角坐标系中: $$ \begin{aligned} \vec{a} & =\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v_x}{\mathrm{~d} t} \vec{i}+\frac{\mathrm{d} v_y}{\mathrm{~d} t} \vec{j}+\frac{\mathrm{d} v_z}{\mathrm{~d} t} \vec{k} \\ & =\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} t^2} \vec{i}+\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2} \vec{j}+\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{~d} t^2} \vec{k}=a_x \vec{i}+a_y \vec{j}+a_z \vec{k} \end{aligned} $$ 加速度的大小: $\quad a=|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ 加速度的方向就是时间 $\Delta t$ 趋近于零时, 速度增量 $\Delta \vec{v}$ 的极限方向. 加速度与速度的方向一般不同. 加速度与速度的夹角为 $0^{\circ}$ 或 $180^{\circ}$, 质点做直线运动.加速度与速度的夹角等于 $90^{\circ}$, 质点做圆周运动. ![图片](/uploads/2024-01/image_202401106b510fd.png) 加速度与速度的夹角小于 $90^{\circ}$, 速率增大. 加速度与速度的夹角大于 $90^{\circ}$, 速率减小. ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110fd7bc0a.png) 质点作曲线运动时,加速 度总是指向轨迹曲线凹 的一边. ![图片](/uploads/2024-01/image_202401102051c9e.png) 标量描述 当质点作直线运动时, $$ x=x(t) \quad \Delta x=x_2-x_1 \quad v=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \quad a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} $$ 矢量的方向性可用正、负号表示. $\Delta x$ 是位移, 不是路程. 思考: 是否可以根据 $\boldsymbol{a}$ 的正负, 判断 $v$ 是变大还是变小? 当质点作一般曲线运动时, 一般情况将矢量分解, 各分量可按标量描述,即各分量同样用正、负号表示. **例题** 已知质点作匀加速直线运动, 加速度为 $a$, 求质点的运动方程. 解: $\vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t} \Longrightarrow \mathrm{d} \vec{v}=\vec{a} \mathrm{~d} t$ 对于作直线运动的质点, 采用标量形式 $\mathrm{d} v=a \mathrm{~d} t$ $$ \begin{aligned} & \Longleftrightarrow \int_{v_0}^v \mathrm{~d} \boldsymbol{v}=\int_0^t a \mathrm{~d} t \quad \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_0+a t \\ & \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_0+a t \Longrightarrow \int_{x_0}^x \mathrm{~d} x=\int_0^t\left(\boldsymbol{v}_0+a t\right) \mathrm{d} t \\ & \Longrightarrow x=x_0+\boldsymbol{v}_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \end{aligned} $$
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