日期: 2024-01-10 10:52 查看: 132 次编辑

运动学的两类问题

第一类问题: 已知运动方程, 求质点任意时刻的位置、速度以及加速度

$$
\vec{r}=\vec{r}(t) \quad \vec{v}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{~d} t} \quad \vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}^2 \vec{r}}{\mathrm{~d} t^2}
$$

第二类问题: 已知运动质点的速度函数(或加速度函数)以及初始条件求质点的运动方程

$$
\begin{array}{ll}
\mathrm{d} \vec{v}=\vec{a} \mathrm{~d} t \quad & , \quad \int_{\vec{v}_0}^{\vec{v}} \mathrm{~d} \vec{v}=\int_{t_0}^t \vec{a} \mathrm{~d} t \\
\mathrm{~d} \vec{r}=\vec{v} \mathrm{~d} t & , \quad \int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} \mathrm{~d} \vec{r}=\int_{t_0}^t \vec{v} \mathrm{~d} t
\end{array}
$$

运动方程是运动学问题的核心

例题 已知质点的运动方程 $\quad \vec{r}=2 t \vec{i}+\left(19-2 t^2\right) \vec{j}(\mathrm{~m})$求: (1) 轨道方程; (2) $t=2 \mathrm{~s}$ 时质点的位置、速度及加速度; (3) 什么时候位矢恰好与速度矢垂直?

解 (1)

$$
\begin{aligned}
& x=2 t \\
& y=19-2 t^2
\end{aligned} \quad \Rightarrow \quad y=19-\frac{1}{2} x^2
$$

(2)

$$
\begin{aligned}
& \left.\vec{r}\right|_{t=2}=2 \times 2 \vec{i}+\left(19--2 \times 2^2\right) \vec{j}=4 \vec{i}+11 \vec{j}(\mathrm{~m}) \\
& \vec{v}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{~d} t}=2 \vec{i}-\left.4 \vec{i} \quad \vec{j}\right|_{t=2}=2 \vec{i}-8 \vec{j}\left(\mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right) \\
& \vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t}=-4 \vec{j}\left(\mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { (3) } \vec{r} \cdot \vec{v}=0 \\
& {\left[2 t \vec{i}+\left(19-2 t^2\right) \vec{j}\right] \cdot[2 \vec{i}-4 \vec{j}]=0} \\
& 4 t-4 t\left(19-2 t^2\right)=0 \\
& t_1=0(\mathrm{~s}) \quad t_2=3(\mathrm{~s})
\end{aligned}
$$

**例题** 设某一质点以初速度 $\vec{v}_0=100 \vec{i}(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ 作直线运动, 其加速度为 $\vec{a}=-10 v \vec{i}\left(\mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)$. 求质点在停止前运动的路程.

解

$$
\begin{aligned}
& a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x} \cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x}=-10 v \\
& d \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x}=-10 \mathrm{~d} \quad \mathrm{~d} v=-10 \mathrm{~d} x \\
& \int_{100}^0 \mathrm{~d} v=-\int_0^x 10 \mathrm{~d} x \quad \longrightarrow \quad x=10 \mathrm{~m}
\end{aligned}

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