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质点运动学
自然坐标系下的速度和加速度
日期:
2024-01-10 10:57
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自然坐标系下的速度和加速度
位置: 从原点 $O$ 到运动质点的路程, 即 $A$ 点的坐标 $S_{\mathrm{A}}$ $B$ 点的坐标 $S_{\mathrm{B}}$ 路程: $\quad \Delta S=S_{\mathrm{B}}-S_{\mathrm{A}}$ ![图片](/uploads/2024-01/image_2024011034b8fb5.png) 速度: $\quad \vec{v}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t} \vec{e}_\tau \quad$ 加速度: $\vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t}=\vec{a}_\tau+\vec{a}_n$ 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正, 单位矢量为 $\vec{e}_\tau$法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正, 单位矢量为 $\vec{e}_n$ 设某一质点作一般曲线运动 $t$ 时刻在 $P$ 点的速度为 $$ \vec{v}=v(t) \vec{e}_\tau(t) $$ 加速度: $\quad \vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \vec{e}_\tau+v \frac{\mathrm{d} \vec{e}_\tau}{\mathrm{d} t}$ ![图片](/uploads/2024-01/image_202401101fc61e9.png) $v$ 是 $t$ 时刻的速率. 选流动的二维坐标, 使 $\vec{e}_\tau$ 处于 $x y$ 平面内 $$ \begin{aligned} & \vec{e}_\tau=\cos \theta \vec{i}+\sin \theta \vec{j} \\ & \frac{\mathrm{d} \vec{e}_\tau}{\mathrm{d} t}=(-\sin \theta \vec{i}+\cos \theta \vec{j}) \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \end{aligned} $$ ## 加速度 加速度: $\vec{a}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \vec{e}_\tau+v \frac{\mathrm{d} \vec{e}_\tau}{\mathrm{d} t}$ $$ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d} \vec{e}_\tau}{\mathrm{d} t}=(-\sin \theta \vec{i}+\cos \theta \vec{j}) \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \\ \mathrm{~d} s=-\rho \mathrm{d} \theta \Rightarrow \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=-\frac{1}{\rho} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=-\frac{v}{\rho} \end{gathered} $$ $$ \begin{gathered} \text { 又: } \vec{e}_{\mathrm{n}}=\sin \theta \vec{i}-\cos \theta \vec{j}=-(-\sin \theta \vec{i}+\cos \theta \vec{j}) \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{d} \vec{e}_\tau}{\mathrm{d} t}=-\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \vec{e}_{\mathrm{n}}=\frac{\boldsymbol{v}}{\rho} \vec{e}_{\mathrm{n}} \quad \text { 加速度: } \vec{a}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \vec{e}_\tau+\frac{v^2}{\rho} \vec{e}_{\mathrm{n}} \\ \rho \text { 为曲率半径, } \\ \mathrm{d} s>0, \mathrm{~d} \theta<0 \end{gathered} $$ ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110a3c9fec.png) 加速度: $\quad \vec{a}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{d} t} \vec{e}_\tau+\frac{v^2}{\rho} \vec{e}_{\mathrm{n}}$ 平面曲线运动中的加速度等于质点切向加速度和法向加速度的矢量和. 切向加速度: $\vec{a}_\tau=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \vec{e}_\tau$ - 切向加速度反映速度大小的变化. - 方向沿轨道切线方向. 法向加速度: $\vec{a}_{\mathrm{n}}=\frac{v^2}{\rho} \vec{e}_{\mathrm{n}}$ - 法向加速度反映速度方向的变化. - 方向指向凹的一侧(指向曲率中心). ## 抛体运动 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110d69d0d2.png) **直角坐标系‸** 运动方程 $$ \begin{aligned} & x=u_0 \cos \alpha \cdot t \\ & y=u_0 \sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2} g t^2 \end{aligned} $$ 速度方程 $$ \begin{aligned} & u_x=u_0 \cos \alpha \\ & u_y=u_0 \sin \alpha-g t \end{aligned} $$ 加速度方程 $$ \begin{aligned} & a_x=0 \\ & a_y=-g \end{aligned} $$ **自然坐标系** $$ \begin{array}{ll} a_\tau=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t} & a_{\mathrm{n}}=\frac{u^2}{\rho} \\ a^2=a_\tau^2+a_{\mathrm{n}}^2 & a=g \end{array} $$
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