最后更新: 2024-01-10 10:57 查看: 373 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

自然坐标系下的速度和加速度

位置: 从原点 $O$ 到运动质点的路程, 即
$A$ 点的坐标 $S_{\mathrm{A}}$
$B$ 点的坐标 $S_{\mathrm{B}}$
路程: $\quad \Delta S=S_{\mathrm{B}}-S_{\mathrm{A}}$
![图片](/uploads/2024-01/image_2024011034b8fb5.png)

速度: $\quad \vec{v}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t} \vec{e}_\tau \quad$ 加速度: $\vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t}=\vec{a}_\tau+\vec{a}_n$
切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正, 单位矢量为 $\vec{e}_\tau$法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正, 单位矢量为 $\vec{e}_n$

设某一质点作一般曲线运动 $t$ 时刻在 $P$ 点的速度为

$$
\vec{v}=v(t) \vec{e}_\tau(t)
$$

加速度: $\quad \vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \vec{e}_\tau+v \frac{\mathrm{d} \vec{e}_\tau}{\mathrm{d} t}$
![图片](/uploads/2024-01/image_202401101fc61e9.png)
$v$ 是 $t$ 时刻的速率. 选流动的二维坐标, 使 $\vec{e}_\tau$ 处于 $x y$ 平面内

$$
\begin{aligned}
& \vec{e}_\tau=\cos \theta \vec{i}+\sin \theta \vec{j} \\
& \frac{\mathrm{d} \vec{e}_\tau}{\mathrm{d} t}=(-\sin \theta \vec{i}+\cos \theta \vec{j}) \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}
\end{aligned}
$$

## 加速度

加速度: $\vec{a}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \vec{e}_\tau+v \frac{\mathrm{d} \vec{e}_\tau}{\mathrm{d} t}$

$$
\begin{gathered}
\frac{\mathrm{d} \vec{e}_\tau}{\mathrm{d} t}=(-\sin \theta \vec{i}+\cos \theta \vec{j}) \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \\
\mathrm{~d} s=-\rho \mathrm{d} \theta \Rightarrow \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=-\frac{1}{\rho} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=-\frac{v}{\rho}
\end{gathered}
$$

$$
\begin{gathered}
\text { 又: } \vec{e}_{\mathrm{n}}=\sin \theta \vec{i}-\cos \theta \vec{j}=-(-\sin \theta \vec{i}+\cos \theta \vec{j}) \\
\Rightarrow \frac{\mathrm{d} \vec{e}_\tau}{\mathrm{d} t}=-\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \vec{e}_{\mathrm{n}}=\frac{\boldsymbol{v}}{\rho} \vec{e}_{\mathrm{n}} \quad \text { 加速度: } \vec{a}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \vec{e}_\tau+\frac{v^2}{\rho} \vec{e}_{\mathrm{n}} \\
\rho \text { 为曲率半径, } \\
\mathrm{d} s>0, \mathrm{~d} \theta<0
\end{gathered}
$$

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110a3c9fec.png)

加速度： $\quad \vec{a}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{d} t} \vec{e}_\tau+\frac{v^2}{\rho} \vec{e}_{\mathrm{n}}$
平面曲线运动中的加速度等于质点切向加速度和法向加速度的矢量和.

切向加速度: $\vec{a}_\tau=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \vec{e}_\tau$

- 切向加速度反映速度大小的变化.
- 方向沿轨道切线方向.

法向加速度: $\vec{a}_{\mathrm{n}}=\frac{v^2}{\rho} \vec{e}_{\mathrm{n}}$

- 法向加速度反映速度方向的变化.
- 方向指向凹的一侧（指向曲率中心）.

## 抛体运动

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110d69d0d2.png)

**直角坐标系‸**

运动方程

$$
\begin{aligned}
& x=u_0 \cos \alpha \cdot t \\
& y=u_0 \sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2} g t^2
\end{aligned}
$$

速度方程

$$
\begin{aligned}
& u_x=u_0 \cos \alpha \\
& u_y=u_0 \sin \alpha-g t
\end{aligned}
$$

加速度方程

$$
\begin{aligned}
& a_x=0 \\
& a_y=-g
\end{aligned}
$$

**自然坐标系**

\begin{array}{ll}
a_\tau=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t} & a_{\mathrm{n}}=\frac{u^2}{\rho} \\
a^2=a_\tau^2+a_{\mathrm{n}}^2 & a=g
\end{array}

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