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乘方运算及指数运算律
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2024-04-21 17:01
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乘方运算及指数运算律
## 乘方运算 乘法运算就是同一个数的连加运算.由于乘法满足交换律,我们可以将乘法用公式表示它的含义是: $ n \times a=\underbrace{a+a+\cdots+a}_n $ 这就是说:$n \times a$就是$n$个$a$的连加.也许有人会问:要是$n$个$a$连乘,会不会又是一种新的运算呢?答案是肯定的.这就是下面要引进的乘方运算. **同一个数的连乘运算,叫做乘方运算.** 例如: $3 \times 3$记作$3^2$;即$3^2=3 \times 3=9$. $3 \times 3 \times 3$记作$3^3$;即$3^3=3 \times 3 \times 3= 27$. $\underbrace{3 \times 3 \times \cdot \times 3}_{\text{n个3}}$记作$3^n$; 即$3^n =\underbrace{3 \times 3 \times \cdot \times 3}_{\text{n个3}}$ . 为了方便,显然可以把3也记作$3^1$,即$3^1=3$. 一般地,同一个数$a$的$n$ 次连乘,记作$a^n$,即 $ \underbrace{a\times a \times a \times \cdot \times a}_{\text{n个}}=a^n $ 其中$a$叫做**底数**,自然数$n$叫做**指数**,其结果$a^n$叫做幂.(读成“$a$的$n$次幂”或“$a$的$n$次方”). 特别地,从中可得出: $a=a^1$; $a\times a=a^2$,$a^2$也叫做“$a$的平方”; $a\times a\times a=a^3$,$a^3$也叫做“$a$的立方”. 由于零自连乘仍是零,所以,零的$n$次方总等于零,即 $0^n=0$ ## 指数运算律 (一) 同底数幂相乘,指数相加,底数不变.即:$ a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ ### 证明 $$ \begin{align*} a^m\cdot a^n &=(\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\text{$m$个}})\cdot (\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\text{$n$个}}) \tag{乘方的意义}\\ &=\underbrace{a\cdot a\cdots a\cdot a\cdot a \cdots a}_{\text{$m+n$个}}\tag{乘法结合律}\\ &=a^{m+n} \tag{乘方的意义}\\ \end{align*} $$ 所以,对于任意底数$a$和任意自然数指数$m, n$,都有:$ a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ 后面,我们可以知道,$m,n$是整数、分数,甚至复数上式都成立。 #### 例题1 计算: $2^3\cdot 4,\qquad 3\times 81 $ 解要利用指数运算律进行计算,必须使两相乘部分成为同底数幂.因此, $2^3\cdot 4=2^3\cdot 2^2=2^5=32 $ $3\times 81=3\times 3^4=3^5=243$ ## 指数运算律 (二) 乘积的幂,等于各因数的幂相乘,即: $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ ### 证明 由于 $$ \begin{align*} (a\cdot b)^n&=\underbrace{(a\cdot b)\cdot(a\cdot b)\cdots(a\cdot b)}_{\text{$n$个括号}} \tag{乘方的意义}\\ &=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\text{$n$个}} \cdot \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{\text{$n$个}} \tag{乘法交换、结合率}\\ &=a^n\cdot b^n \tag{乘方的意义} \end{align*} $$ 所以$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$. #### 例题1 计算 $ 125^3 × 8^3 $ 解:原式$= (125 × 8)^3$ $=1000^3=1000000000$ ## 指数运算律 (三) 幂的乘方,指数相乘,底数不变,即: $(a^m)^n=a^{mn} $ ### 证明 $$ \begin{align*} (a^m)^n&= \underbrace{a^m\cdot a^m\cdots a^m}_{\text{$n$个}} \tag{乘方的意义}\\ &=\overbrace{\underbrace{(a\cdot a\cdots a)}_{\text{$m$个$a$}}\cdot \underbrace{(a\cdot a\cdots a)}_{\text{$m$个$a$}}\cdots \underbrace{(a\cdot a\cdots a)}_{\text{$m$个$a$}}}^{\text{$n$个括号}}\\ &=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{\text{$mn$个$a$}}\tag{乘法结合律}\\ &=a^{mn}\tag{乘方的意义} \end{align*} $$ 所以$(a^m)^n=a^{mn}$. #### 例题1 计算$(ac)^2\cdot (a^m c)^3$ 解: $$ \begin{align*} (ac)^2\cdot (a^m c)^3&=a^2\cdot c^2\cdot a^{3m}\cdot c^3 \tag{指数运算律(三)}\\ &=(a^2\cdot a^{3m})\cdot (c^2\cdot c^3) \tag{乘法交换、结合律}\\ &= a^{2+3m}\cdot c^5 \tag{指数运算律(一)}\\ \end{align*} $$ ## 指数运算律(四) 同底数幂相除,指数相减,底数不变.即: $a^m \div a^n=a^{m-n} $ 其中$m>n$, $a\ne 0$ ### 证明 因为$a\ne 0$, $m>n$ $$ \begin{align*} a^m \div a^n&=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdots a}^{\text{$m$个$a$}}}{\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\text{$n$个$a$}}} \tag{乘方的意义}\\ &=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdots a}^{\text{$(m-n)$个$a$}}}{1} \tag{除法的性质}\\ &=a^{m-n}\tag{乘方的意义}\\ \end{align*} $$ 所以,当$a\ne 0$时,$m>n$时,就有 $a^m \div a^n=a^{m-n} $ #### 例题1 计算 $a^4\div a^4=\frac{a^4}{a^4}$ 解:$a^4\div a^4=\frac{a^4}{a^4}=\frac{a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a}=1\; (a\ne 0) $ 这个例题告诉我们,两个同底数(不为0)、同指数的幂相除,其商等于1.这个事实也就启示我们,只要规定: $a^0=1\quad (a\ne 0) $ 指数运算法则(四):$a^m\div a^n=a^{m-n}\; (a\ne 0)$ 就对$m=n$的情形仍然有效. 例如:$7^5\div 7^5=7^{5-5}=7^0=1$; $a^4\div a^4=a^{4-4}=a^0=1\; (a\ne 0)$; $27^2\div 3^6=3^6\div 3^6=3^0=1$等等.
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