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角动量定理及角动量守恒定律

一、角动量
问题: 图示圆盘视为一个质点系, $v_c=$ $0 \rightarrow \Sigma m_i v_i=M v_c=0$, 如何量度转动物体的机械运动量?
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当质点作曲线运动或对某点有转动趋势时引入与动量 $\vec{p}$ 对应的角量 $\vec{L}$ 一一角动量 (angular momentum)(动量矩 (moment of momentum))
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二、刚体的角动量定理

1. 质点的角动量定理

$$
\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p} \quad \frac{\mathrm{d} \vec{L}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\vec{r} \times \vec{p})=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{~d} t} \times \vec{p}+\vec{r} \times \frac{\mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{~d} t}=\vec{r} \times \vec{F}=\vec{M}
$$

质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩
角动量定理微分式: $\vec{M} \cdot \mathrm{d} t=\mathrm{d} \vec{L}$
$\vec{M} \mathrm{~d} t$ 称为 $\mathrm{d} t$ 时间内刚体所受合外力矩的冲量矩.

角动量定理积分式:

$$
\int_{t_1}^{t_2} \vec{M} \cdot \mathrm{d} t=\vec{L}_2-\vec{L}_1=J_2 \vec{\omega}_2-J_1 \vec{\omega}_1
$$

质点的角动量定理: 质点在 $t_1 \rightarrow t_2$ 时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内质点角动量的增量.

2. 定轴刚体的角动量定理

$$
\begin{aligned}
& M_z=\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{~d} t} \quad M_z \cdot \mathrm{d} t=\mathrm{d} L \\
& \int_{t_1}^{t_2} M_z \cdot \mathrm{d} t=L_2-L_1=J_2 \omega_2-J_1 \omega_1
\end{aligned}
$$

刚体的角动量定理: 刚体在 $t_1 \rightarrow t_2$ 时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量的增量.

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