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刚体运动
机械能和力矩的功
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2024-01-10 13:25
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机械能和力矩的功
## 刚体的转动动能 质元动能: $\frac{1}{2} \Delta m_i v_i^2=\frac{1}{2} \Delta m_i r_i^2 \omega^2$ 刚体的总动能:  $$ \begin{gathered} E_{\mathrm{k}}=\sum \frac{1}{2} \Delta m_i r_i^2 \omega^2=\frac{1}{2}\left(\sum \Delta m_i r_i^2\right) \omega^2 \\ E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} J \omega^2 \end{gathered} $$ $$ \text { 平动动能 } E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} m v^2 \quad \boldsymbol{m} \text { 是物体平动惯性的量度， J 是物体转动惯性的量度 } $$ 二、刚体的重力势能 1. 刚体的重力势能 $$ \begin{aligned} E_{\mathrm{P}} & =\sum \Delta m_i g z_i \\ & =m g \frac{\sum \Delta m_i z_i}{m} \\ & =m g z_c \end{aligned} $$  结论：刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重力势 能 2. 刚体的机械能 $$ E=\frac{1}{2} J \omega^2+m g h_c $$     例2. 如图,已知滑轮的质量为 $m_0$, 半径为 $R$. 斜面的倾角为 $\theta$,斜面上物体的质量为 $m$, 物体与斜面间光滑; 弹簧的劲度系数为 $k$. 现将物体从静止释放,释放时弹簧无形变. 设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动,忽略轴间摩擦阻力矩,求物体沿斜面下滑 $x(m)$ 时的速度.(滑轮视作薄圆盘) P. 83  
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