最后更新: 2024-01-10 13:20 查看: 383 次纠错评论(0) 课件开VIP

刚体的转动惯量

1. 定义 $J=\sum_i r_i^2 m_i \quad$ 单位: $\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2$

刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和.
若质量连续分布

$$
J=\int r^2 \mathrm{~d} m \quad \mathrm{~d} m= \begin{cases}\rho \mathrm{d} V & \text { 体分布 } \\ \sigma \mathrm{d} S & \text { 面分布 } \\ \lambda \mathrm{d} l & \text { 线分布 }\end{cases}
$$

2. 物理意义--- 描述物体转动惯性的大小

$$
\text { 比较 } \begin{cases}\vec{F}=m \vec{a} & \boldsymbol{m} \text { 是物体平动惯性的量度 } \\ M_z=J \beta & \boldsymbol{J} \text { 是物体转动惯性的量度 } \\ & \vec{F} \text { 改变物体平动状态的原因 } \\ M_z \text { 改变物体绕轴转动状态的原因 }\end{cases}
$$

3. 计算 $J=\sum_i r_i^2 m_i \quad J=\int r^2 \mathrm{~d} m$

影响 $\mathrm{J}$ 的因素 $\left\{\begin{array}{l}\text { 刚体的总质量 }\left(\text { 同分布 } M>m, J_M>J_m\right) \\ \left.\text { 刚体质量分布 (同 } m, J_{\text {中空 }}>J_{\text {实 }}\right) \\ \text { 转轴的位置 }\end{array}\right.$

转动惯量仅取决于刚体本身的性质,即与刚体的质量、质量分布以及转轴的位置有关

例1. 求质量为 $m$ 、半径为 $R$ 的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量.
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解: 圆盘上取半径为 $r$ 宽度 $\mathrm{d} r$ 的圆环作为质量元 $d m$

$$
\begin{aligned}
J_{\text {环 }} & =m R^2 \rightarrow \mathrm{d} J=r^2 \mathrm{~d} m \\
\mathrm{~d} m & =\sigma \mathrm{d} S=\frac{m}{\pi R^2} 2 \pi r \mathrm{~d} r \\
J & =\int r^2 \cdot \frac{m}{\pi R^2} 2 \pi r \mathrm{~d} r
& =\frac{2 m}{R^2} \int_0^R r^3 \mathrm{~d} r=\frac{1}{2} m R^2
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110a3157f5.png)
![图片](/uploads/2024-01/image_202401105e15b3e.png)

## 回转半径(radius of gyration)

设物体的总质量为 $m$, 刚体对给定轴的转动惯量为 $J$, 则定义物体对该转轴的回转半径 $r_{\mathrm{G}}$ 为:

$$
r_G=\sqrt{\frac{J}{m}}
$$

由此得：

$$
J=m r_G^2
$$

意义：等价于物体质量集中在回转半径为 $r_G$ 的圆环上的刚体对中心轴的转动惯量.
![图片](/uploads/2024-01/image_202401107fd70d1.png)
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