连续性方程和伯努利方程

一、流体的连续性方程

1. 流量

定义: 单位时间内流过面积元$\mathrm{dS}$ 的流体体积或质量。

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110c08bfcd.png)

体积流量

$$
Q_V=\int_S \mathrm{~d} Q_V=\int_S v \cos \theta \mathrm{d} S=\int_S \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{S}
$$

质量流量

$$
Q_m=\int_S \mathrm{~d} Q_m=\int_S \rho v \cos \theta \mathrm{d} S=\int_S \rho \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{S}
$$

## 连续性方程

在定常流动，不可压缩的流体中任取一流管
质量流量

$$
\begin{aligned}
& Q_{m 1}=\rho_1 v_1 S_1 \\
& Q_{m 2}=\rho_2 v_2 S_2
\end{aligned}
$$

定常流动
$\rho_1 v_1 S_1=\rho_2 v_2 S_2$ 即 $\rho v S=$ 常量如果流体不可压缩 $\rho_1=\rho_2$则有流体连续性方程(continuity equation of fluid):

$$
v S=\text { 常量 }
$$

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110d6d8e50.png)

## 理想流体的伯努利方程

![图片](/uploads/2024-01/image_2024011009488cc.png)
![图片](/uploads/2024-01/image_202401107734c97.png)
![图片](/uploads/2024-01/image_2024011090feea5.png)

1.小孔泄流

在大容器的器壁上水深为 $h$ 处, 开一直径为 $d$ 的小圆孔,不计任何阻力, 求小孔的泄流量。
![图片](/uploads/2024-01/image_202401104cf22cf.png)

解：由伯努力方程

$$
\frac{p_0}{\rho g}+\frac{0}{2 g}+h=\frac{p_0}{\rho g}+\frac{v^2}{2 g}+0
$$

得小孔流速

$$
v=\sqrt{2 g h}
$$

流量

$$
Q=v S=\left(\frac{\pi d^2}{4}\right) \sqrt{2 g h}
$$

2. 皮托(pitot)管原理
   一种用来测量流体速度的装置

$$
v_A=v, v_B=0
$$

1) 测液体

$$
p_A+\frac{1}{2} \rho v_A{ }^2=p_B
$$

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110cc19ff7.png)

$$
v_A=\sqrt{\frac{2\left(p_B-p_A\right)}{\rho}}, \quad \Delta p=p_B-p_A=\rho g h
$$

液体流速为 $v_A=\sqrt{2 g h}$
![图片](/uploads/2024-01/image_20240110f70f529.png)
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