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流体力学
连续性方程和伯努利方程
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2024-01-10 13:38
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连续性方程和伯努利方程
一、流体的连续性方程 1. 流量 定义: 单位时间内流过面积元$\mathrm{dS}$ 的流体体积或质量。 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110c08bfcd.png) 体积流量 $$ Q_V=\int_S \mathrm{~d} Q_V=\int_S v \cos \theta \mathrm{d} S=\int_S \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{S} $$ 质量流量 $$ Q_m=\int_S \mathrm{~d} Q_m=\int_S \rho v \cos \theta \mathrm{d} S=\int_S \rho \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{S} $$ ## 连续性方程 在定常流动,不可压缩的流体中任取一流管 质量流量 $$ \begin{aligned} & Q_{m 1}=\rho_1 v_1 S_1 \\ & Q_{m 2}=\rho_2 v_2 S_2 \end{aligned} $$ 定常流动 $\rho_1 v_1 S_1=\rho_2 v_2 S_2$ 即 $\rho v S=$ 常量如果流体不可压缩 $\rho_1=\rho_2$则有流体连续性方程(continuity equation of fluid): $$ v S=\text { 常量 } $$ ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110d6d8e50.png) ## 理想流体的伯努利方程 ![图片](/uploads/2024-01/image_2024011009488cc.png) ![图片](/uploads/2024-01/image_202401107734c97.png) ![图片](/uploads/2024-01/image_2024011090feea5.png) 1.小孔泄流 在大容器的器壁上水深为 $h$ 处, 开一直径为 $d$ 的小圆孔,不计任何阻力, 求小孔的泄流量。 ![图片](/uploads/2024-01/image_202401104cf22cf.png) 解:由伯努力方程 $$ \frac{p_0}{\rho g}+\frac{0}{2 g}+h=\frac{p_0}{\rho g}+\frac{v^2}{2 g}+0 $$ 得小孔流速 $$ v=\sqrt{2 g h} $$ 流量 $$ Q=v S=\left(\frac{\pi d^2}{4}\right) \sqrt{2 g h} $$ 2. 皮托(pitot)管原理 一种用来测量流体速度的装置 $$ v_A=v, v_B=0 $$ 1) 测液体 $$ p_A+\frac{1}{2} \rho v_A{ }^2=p_B $$ ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110cc19ff7.png) $$ v_A=\sqrt{\frac{2\left(p_B-p_A\right)}{\rho}}, \quad \Delta p=p_B-p_A=\rho g h $$ 液体流速为 $v_A=\sqrt{2 g h}$ ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110f70f529.png) ![图片](/uploads/2024-01/image_202401100af053d.png) ![图片](/uploads/2024-01/image_202401103691d22.png)
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