最后更新: 2023-10-10 08:38 ● 参与者查看: 339 次纠错分享评论参与项目

映射

集合论中，映射（map）是函数概念的推广，它描述了两个集合之间的关系，如果这两个集合是同一个，那么映射也称作变换

设两个非空集合 $A$ 和 $B$ ，若存在一个对应关系 $f$ ，使得对每个 $A$ 中的元素 $x \in A$ ，在 $B$ 中都有唯一一个元素 $y \in B$ 和它对应，我们称 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的一个映射，记作

$$
\begin{aligned}
f: A & \rightarrow B \\
x & \mapsto y=f(x)
\end{aligned}
$$

第一个式子表示该映射 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的，第二个表明了 $f$ 的对应关系。

- 上式中 $y=f(x)$ 称为 $x$ 对应的像 (image)， $x$ 称为 $y$ 的原像 (inverse image)；
- $A$ 称为 $f$ 的定义域 (domain of $\mathrm{f}$ ) 或原像集，也记作 $D(f)$;
- $B$ 称作 $f$ 的值域、到达域 (codomain of f) 或变程，记作 $R(f)$ ；
- $f(A)=\{y \mid y=f(x), x \in A\}$ 称为 $A$ 在 $f$ 下的像集 (image set)，也记作 $\operatorname{Im} f$ ；
- 给定一 $y \in B$ ，符合等式 $y=f(x)$ 的所有 $x \in A$ 称作 $y$ 在 $f$ 下的完全原像，记作 $f^{-1}(y)$ 。
  一般来说，像集和值域并不相等， $f(A) \subseteq B$ ，如果 $f$ 是满射时那这两者是相等的。某个特定的 $y \in B$ 的完全原像 可能并不是唯一的，甚至可能没有。
  我们说两个映射 $f: A \rightarrow B, g: A \rightarrow B$ 是相等的，是指 $\forall x \in A, f(x)=g(x)$.
  将集合 $A$ 中的元素映作自身的变换称作恒等变换 (映射)，记作 $i, i_A$.

## 单射与 满射

单射
若 $\forall x_1, x_2 \in A, x_1 \neq x_2$ 均有 $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$ ，则称 $f$ 是一个单射 (injection) 或 1-1 的映射。
上述定义等价于: $\forall y \in B,\left|f^{-1}(y)\right| \leqslant 1$. 该式中 $f^{-1}(y)$ 是一个集合， $\left|f^{-1}(y)\right|$ 为该集合的元素，这表明对任意的 $y \in B$ 的完全原像的元素数量不多于一个。
满射
若 $\forall y \in B, \exists x \in A$ ，使得 $y=f(x)$ ，则称 $f$ 是一个满射 (surjection) 或到上的映射。
上述定义等价于 $f(A)=B$. 也等价于 $\forall y \in B,\left|f^{-1}(b)\right| \leqslant 1$.
双射
若 $f$ 既是单射又是满射，就称 $f$ 是一个双射 (bijection)，或一一对应。

## 映射的复合

设 $f: A \rightarrow B, g: b \rightarrow C$ ，那么以下这个新映射

$$
\begin{aligned}
h: A & \rightarrow C \\
x & \mapsto z=g(f(x))
\end{aligned}
$$

就称作 $f$ 和 $g$ 的复合，记作 $h=g \circ f$ 。
该运算满足结合律，即 $h \circ(g \circ f)=(h \circ g) \circ f$ ，但是一般不满足交换律，即一般 $f \circ g \neq g \circ f$.
假设同上，若 $h$ 是一单射，则 $f$ 也是一单射；若 $h$ 是一满射，则 $g$ 也是一满射。
显然恒等映射 $i$ 和任意映射 $f: A \rightarrow B$ 可交换 $f \circ i_A=i_B \circ f$. 这种交换是不指定恒等映射的种类下的。

## 变换

如果映射 $f: A \rightarrow A$ ，那么映射 $f$ 也称作 $A$ 上的变换。
当 $A=\left\{x_1, x_2, \cdots\right\}$ 的元素有限（至多可列个）时，可以用下列数表来表示该映射的值

$$
f=\left(\begin{array}{ccccc}
x_1 & x_2 & \cdots & x_n & \cdots \\
f\left(x_1\right) & f\left(x_2\right) & \cdots & f\left(x_n\right) & \cdots
\end{array}\right)
$$

例如，对于一个自然数集的子集 $A=\{1,2, \cdots, n\}$ 的一个 $n$ 级排列 $i_1 i_2 \cdots i_n$ （它是由 $f: A \rightarrow A$ 定义的一个双 射) 可以表示为

$$
f=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
i_1 & i_2 & \cdots & i_n
\end{array}\right)
$$

这样的一个变换称为一个 $\boldsymbol{n}$ 次置换 (permutation of degree $\mathrm{n}$ )。

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