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第二章:函数
函数
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2025-04-14 19:05
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函数
### 引言 函数(function),从初中我们就学过,例如 $y=x$ 是一次函数, $y=x^2$ 是二次函数, $y=\frac{1}{x}$ 是反比例函数等等。但是,如何定义函数却不是一件容易的事情。 目前其定义通常分为**传统定义**和**近代定义**,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。 传统的,在一个变化过程中,$y$是$x$的函数,当$x$确定一个值,$y$就随之确定一个值这样就形成了函数。 而近世代数里,开始使用集合定义函数,给定一个数集$A$,假设其中的元素为$x$,对$A$中的元素$x$施加对应法则$f$,记作$f(x)$,得到另一数集$B$,假设$B$中的元素为$y$,则$y$与$x$之间的等量关系可以用$y=f(x)$表示. 这两种定义本质上是一样的,事实上这个对应发展通常叫做映射。 ## 函数的定义 设有数集 $A, B$, 如果有一对应关系或法则 $f$ 存在, 对于 $A$ 的任何一个数 $x$ ,有数集 $B$ 中唯一的一个数 $y$ 与之对应,我们就称给出了一个从数集 $A$ 到数集 $B$ 内的函数 $f$, 用 $$ f: A \mapsto B $$ 表示, 并写成 $y=f(x),(x \in A)$, 此时称 $f(x)$ 为函数 $f$ 在 $x$ 的函数值,并称 $A$ 为函数 $f$ 的**定义域**. 又当 $x$ 取遍 $A$ 中的数时, 函数值 $f(x)$ 全体也构成一个数集,称为函数 $f$ 的**值域**,记作 $$ f(A)=\{f(x) \mid x \in A\} $$ 要注意的是在构造一个函数 $f: A \mapsto B$ 的时候, $f(A)$ 不一定等于 $B$, 而是 $B$ 的一个真子集, 即 $f(A) \subset B$. 函数概念含有三个要素:定义域$A$、值域$B$和对应法则$f$。其中核心是对应法则$f$,它是函数关系的本质特征。 **1.一对多不是函数** 参考下图的一对多关系。X中的元素3与Y中的两个元素b和c相关。因此这是多值函数,这不是函数。 如果用集合语句描述:A是实数集合,B为有理数。f:映射法则为平方根。这样当输入数字9时,就有$\pm3$ 与之对应,这不是数学意义上的函数的定义。  **2.偏函数不是函数** 参考下图一对一但非完全对应。X的元素1未与Y的任一元素相关。因此这是偏函数,而也不是传统意义上的数学函数的定义。因为函数的定义要求对于任意一个x里的值,有确定的$y$与其对应,显然x=1没有值与其对应。  **3.多对一是函数** 完全对应且多对一,这满足数学意义上的函数的定义,因此这是函数。我们可以写出其表达式为: $$ f(x)= \begin{cases}d, & \text { if } x=1 \\ d, & \text { if } x=2 \\ c, & \text { if } x=3\end{cases} $$  `例` 设 $R$ 是实数集, 求 $f(x)=\frac{2 x}{x^2+1}, \quad x \in(-\infty,+\infty)$ 求它的值域. 解: 方程 $f(x)=\frac{2 x}{x^2+1}$ 等价于 $$ y x^2-2 x+y=0 $$ 根据函数的值域定义,任给 $y \in f( R )$ ,方程必有实数解,而方程有实数解的充要条件是 $$ \Delta=1-y^2 \geq 0 $$ 即: $-1 \leq y \leq 1$, 所以他的值域为$[-1,1]$ 在函数的定义中包含三个要素, 即定义域, 值域和对应法则. 在实际问题中,函数的定义域是根据实际意义来确定的,例如温度计刻有华氏温标度数 $F$ 和摄氏温标度数 $c$, 因为不存在低于绝对零度的温度, 因此, 这两个度数之间的函数 $\varphi$ 是 $$ F=\varphi(c)=\frac{9}{5} c+32, \quad c \in(-273,+\infty) $$ 以后, 当我们只在数学上,一般地研究一个具体解析式子规定的函数关系时,如果定义域 $x$ 没有被指明,那么函数的定义域是使解析式子具有数值意义的所有实数域 。 ## 实数区间的表示 为简便地表示定义域或值域所属的一段连续的实数区间,可以分别写出这段连续实数区间的最小值和最大值,并用逗号","隔开,再用相应的括号括起来。 包含两端最小值 $a$ 和最大值 $b$ 的连续实数区间叫做**闭区间**,用方括号括起来,记作 $[a, b], a \leq x \leq b$ 也记作 $x \in[a, b]$ 。 不包含两端最小值 $a$ 和最大值 $b$ 的连续实数区间叫做**开区间**,用圆括号括起来,记作 $(a, b), a<x<b$ 也记作 $x \in(a, b)$ 。 包含最小值 $a$ ,不包含最大值 $b$ 的连续实数区间叫做**左闭右开区间**,左边用方括号,右边用圆括号,记作 $[a, b), a \leq x<b$ 也记作 $x \in[a, b)$ 。 不包含最小值 $a$ ,包含最大值 $b$ 的连续实数区间叫做左开右闭区间,左边用圆括号,右边用方括号,记作 $(a, b], a<x \leq b$ 也记作 $x \in(a, b]$ 。 左闭右开区间和左开右闭区间都叫做半开半闭区间。 区间两端的最小值 $a$ 和最大值 $b$ 都叫做区间的端点,无论它们是否包含在区间内。在数轴上作图时,包含在区间内的端点用实心小圆标记,不包含在区间内的端点用空心小圆标记。 `例` 将下列各集合用区间表示: (1) $F =\{x \mid-1 \leq x \leq 1\}$ 可以表示为:$[-1,1]$ ; (2) $G =\{x \mid-20<x<-18\}$ 可以表示为:$(-20,-18)$ ; (3) $H =\{x \mid-1 \leq x<1\}$ 可以表示为:$[-1,1)$ ; (4) $I =\{x \mid 0<x \leq 2\}$ 可以表示为:$(0,2]$ ; (5) $J =\{x \mid x \leq-1\}$ 可以表示为:$(-\infty,-1]$ ; (6) $K =\{x \mid x>5\}$ 可以表示为:$(5,+\infty)$ 。 集合 J 中,"$-\infty$"叫做负无穷大,"$\infty$"是横过来写的" 8 "。 $-\infty$ 表示绝对值无穷大的负数,在数轴负方向的无穷远处。 $-\infty$ 小于任何已经确定取值的实数,其绝对值 $|-\infty|$ 大于任何已经确定取值的实数。 集合 K 中,"$+\infty$"叫做正无穷大,表示绝对值无穷大的正数,在数轴正方向的无穷远处,$+\infty$ 及其绝对值 $|+\infty|$ 大于任何已经确定取值的实数。 正负无穷大是抽象出来的虚拟概念,在现实中无法真正达到,只能尽量近似,因此正负无穷大所在的一侧都是开区间,实数集 $R$ 也可以记作 $(-\infty,+\infty)$ ,通常不比较 $-\infty$ 与 $+\infty$ 的绝对值的大小。 上述实数区间在数轴上的表示如下图所示,注意开区间的端点画为空心圆圈,闭区间的端点画为实心圆点。  `例` 求下列函数定义域: 1. $f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{x}$ 2. $g(x)=\sqrt{x^2-1}$ 解: 1.函数 $f$有意义 $$ \left\{\begin{array}{l} 1-x \geq 0 \\ x \neq 0 \end{array} \quad \Rightarrow \quad x \leq 1, \quad x \neq 0\right. $$ $\therefore \quad$ 函数 $f$ 的定义域为 $(-\infty, 0) \cup(0,1]$. 2.函数 $g$ 有意义 $\Leftrightarrow x^2-1 \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$, 或 $x \geq 1$ $\therefore$ 函数 $g$ 的定义域为 $(-\infty,-1] \cup[1,+\infty)$. ## 相等的函数 有些函数可以用不同的方式来定义, 例如, 函数 $f(x)=|x|$ 和 $g(x)=\sqrt{x^2}$ ,若取任意一个实数a带入,可以发现 $|a|=\sqrt{a^2}$,它们的结果是相同的, 尽管函数 $f(x), g(x)$ 的表达式不同, 他们的值相同,我们称呼他们是相等的函数。 此外, 解析式子相同, 但定义域不同的函数是不相同的函数. 例如: $$ \begin{array}{ll} f_1(x)=\frac{1}{x}, & x \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty) \\ f_2(x)=\frac{1}{x}, & x \in(0,+\infty) \\ f_3(x)=\frac{1}{x}, & x \in(0,1) \end{array} $$ 是不相同的函数, 因为对于 $x=-2, f_1$ 有意义而 $f_2, f_3$ 都无意义; 对于 $x=2$, $f_1$ 和 $f_2$ 都有意义而 $f_3$ 无意义. 下面给出相等(同)的两个函数的条件。 定义 两个函数 $f: A \mapsto B, g: C \mapsto D$ 称为相等的当且仅当 $A=C, B=D$,且对于每个 $a \in A$ (或 $C$ ), 有 $f(a)=g(a)$ 。 读者可能会不同意上面 $B=D$ 这个条件, 提出下面这个例子来反驳: "由 $f(n)=g(n)=n$ 给出的两个函数 $f: N \mapsto N , g: N \mapsto Q$ 是相等的函数" 我们须指出两个函数不同的地方, 就函数值所在数集上看, $g$ 可以除以 2 ,因此,对于 $g$ 我们可以构造一个新函数, $\frac{1}{2} g: N \mapsto Q$ ,这里 $$ \left(\frac{1}{2} g\right)(n)=\frac{1}{2} n $$ 但是对于 $f$, 不能做这种构造. 在函数 $y=f(x) , x \in A$ 中, $x$ 叫做**自变量**, $x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的定义域。当$x$取一个值时 $f(x)$的值为函数的值域。 ## 下面给出在高中阶段常见函数定义域取值。 ①一次函数 $y=k x+b$,二次函数 $y=a x^2+b x+c$ ,指数函数 $y=a^x$ 正弦函 数 $y=\sin x$ 和余弦函数 $y=\cos x$ 的定义域都为 $R$ ② 分式函数 $y=\frac{1}{x}$ 的定义域为 $x \ne 0$ ③对数函数 $y=\log _a x$ 的定义域为 $ x >0 $ ④ 正切函数 $y=\tan x$ 的定义域为 $\left\{x \mid x \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z\right\}$ ⑤ 幂函数 $y=x^{\frac{m}{n}}(m, n$ 互质且 $m, n \in Z)$ 1. 当 $m \in Z , n$ 为奇数且 $m n>0$ 时,定义域为 $R$; ; 2. 当 $m$ 为奇数 $n$ 为偶数且 $m n>0$ 时,定义域为 $[0,+\infty)$ ; 3. 当 $m \in Z^* , n$ 为奇数且 $m n<0$ 时,定义域为 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ ; 4. 当 $m$ 是奇数, $n$ 为偶数且 $m n<0$ 时,定义域为 $(0,+\infty)$ ; 其实,分式函数可以认为幂函数的特殊情况。整个数学体系就是由这 ①~⑤ 个函数千变万化而来。 `例`求函数 $f(x)=\sqrt{x-1}+\lg (3-x)$ 的定义域。 答案:$[1,3)$ 这类题目比较简单,解答过程中细心即可,不再举例。 `例` 已知 $f\left(x^2-3\right)=\lg \frac{x^2}{x^2-6}$ ,求函数 $f(x)$ 的定义域。 错解: 先求得 $f(x)=l g \frac{x^2}{x^2-6}$ ,再求得定义域为 $(-\infty,-3) \cup(3,+\infty)$ ; 正解: 由真数大于 0 得 $x^2>6 , \therefore x^2-3>3 , \therefore y=f(x)$ 的定义域为 $(3,+\infty)$ **例3:** 已知函数 $f(x)=\sqrt{a x^2+a x+3}$ 定义域为 $R$ ,求实数 $a$ 的取值范围。 一定要讨论 $a=0$ 和 $a \neq 0$ 两种情况: 当 $a=0$ 时符合题意; 当 $a \neq 0$ 时,要使函数 $f(x)=\sqrt{a x^2+a x+3}$ 的定义域为 $R$ ,则 $a>0$ 且 $\Delta=a^2-12 a \leq 0$ ,可得 $0<a \leq 12$ 。综上,实数 $a$ 的取值范围为 $[0,12]$.
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