最后更新: 2025-08-05 08:35 查看: 588 次反馈同步训练

函数

### 引言
函数（function），从初中我们就学过，例如  $y=x$ 是一次函数， $y=x^2$ 是二次函数， $y=\frac{1}{x}$ 是反比例函数等等。但是，如何定义函数却不是一件容易的事情。

目前其定义通常分为**传统定义**和**近代定义**，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

传统的，在一个变化过程中，$y$是$x$的函数，**当$x$确定一个值，$y$就随之确定一个值这样就形成了函数**。

而近世代数里，开始使用集合定义函数，**给定一个数集$A$，假设其中的元素为$x$，对$A$中的元素$x$施加对应法则$f$，记作$f(x)$，得到另一数集$B$，假设$B$中的元素为$y$，则$y$与$x$之间的等量关系可以用$y=f(x)$表示**.

这两种定义本质上是一样的，事实上这个对应法则通常叫做映射。

> 函数的英文为 Function, 翻译成中文叫做：功能。你可以把他当做一个黑匣子。在初中函数通常写成$y=f(x)$ 而到了高中通常写成 $f(x,y)$ , 这是因为，在**初中通常仅考虑一个输入，一个输出**，所以使用$x,y$ 分别表示输入和输出就够了，但是在高中，**一个函数可能有多个输入一个输出**，因此就表示$f(x,y)$ , 例如 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ 他的意思“输入三个数，系统返回这3个数的平方和”

## 函数的定义

设有数集 $A, B$, 如果有一对应关系或法则 $f$ 存在, 对于 $A$ 的**任何**一个数 $x$ ，有数集 $B$ 中唯一的一个数 $y$ 与之对应，我们就称给出了一个从数集 $A$ 到数集 $B$ 内的函数 $f$, 用

$$
f: A \mapsto B
$$

表示, 并写成 $y=f(x),(x \in A)$, 此时称 $f(x)$ 为函数 $f$ 在 $x$ 的函数值,并称 $A$ 为函数 $f$ 的**定义域(Domain)**. 又当 $x$ 取遍 $A$ 中的数时, 函数值 $f(x)$ 全体也构成一个数集，称为函数 $f$ 的**值域（Range）**，记作

$$
f(A)=\{f(x) \mid x \in A\}
$$

要注意的是在构造一个函数 $f: A \mapsto B$ 的时候, $f(A)$ 不一定等于 $B$, 而是 $B$ 的一个真子集, 即 $f(A) \subset B$.

函数概念含有三个要素：定义域$A$、值域$B$和对应法则$f$。其中核心是对应法则$f$，它是函数关系的本质特征。虽然函数的定义比较简单，但是要深刻掌握其内涵并不容易。

**1.一对多不是函数**
参考下图的一对多关系。X中的元素3与Y中的两个元素b和c相关。因此这是多值函数，这不是函数。
如果用集合语句描述：A是实数集合，B为有理数。f：映射法则为平方根。这样当输入数字9时，就有$\pm3$ 与之对应，这不是数学意义上的函数的定义。

![图片](/uploads/2023-08/image_202308213594655.png)

**2.偏函数不是函数**
参考下图一对一但非完全对应。X的元素1未与Y的任一元素相关。因此这是偏函数，而也不是传统意义上的数学函数的定义。因为函数的定义要求对于任意一个x里的值，有确定的$y$与其对应，显然x=1没有值与其对应。

![图片](/uploads/2023-08/image_202308219d07c5b.png)

**3.多对一是函数**
完全对应且多对一，这满足数学意义上的函数的定义，因此这是函数。我们可以写出其表达式为：

$$
f(x)= \begin{cases}d, & \text { if } x=1 \\ d, & \text { if } x=2 \\ c, & \text { if } x=3\end{cases}
$$

![图片](/uploads/2023-08/image_202308219f2aeeb.png)

`例` 已知函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0,1]$ ，则函数 $f(2 x+1)$ 的定义域为（）
解：函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0,1]$ ，是指 $f(\underline{x}+1)$ 中 $x$ 的范围是 $[0,1]$ ，由此可得 $f(\underline{x+1})$中 $x+1$ 的范围是 $[1,2]$ ，即 $f$ 的作用范围是 $[1,2]$ 。

在新函数 $f(2 x+1)$ 中，根据 $f$ 的作用范围不变，所以 $f$＂肚子里＂的 $2 x+1$ 逃不出 $[1,2]$ 这个范围，则

$$
1 \leqslant 2 x+1 \leqslant 2
$$

解得新函数 $f(2 \underline{x}+1)$ 中 $x$ 的范围为 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ ， 即答案是 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$

现在对本例做一个说明。 $f(x+1)$ 和 $f(2 x+1)$ 中的 $x$ 并非同一个变量，事实上它们只是各自函数自变量的一个代表，本题描述成  ＂已知函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0,1]$ ，则函数 $f(2 y+1)$ 的定义域为。＂ 或 ＂已知函数 $f(t+1)$ 的定义域为 $[0,1]$ ，则函数 $f(2 r+1)$ 的定义域为。＂ 的意义是一样的。

> **函数的变量名与使用的字母没有关系**, 例如 $y=x^2$ 和 $y=t^2$，虽然$x,t$ 名字不一样，但是他们代表的意义是一样

`例` (多选)下列是函数图象的是

![图片](/uploads/2025-05/f1b7cc.jpg)
 
 解：答案CD
 
 A 中，当 $x>0$ 时，每一个 $x$ 的值对应两个不同的 $y$ 值，因此不是函数图象； B 中，当 $x=x_0$ 时，$y$ 的值有两个，因此不是函数图象；
CD 中，每一个 $x$ 的值对应唯一的 $y$ 值，因此是函数图象．

`例` 设 $R$ 是实数集, 求 $f(x)=\frac{2 x}{x^2+1}, \quad x \in(-\infty,+\infty)$ 求它的值域.
解: 方程 $f(x)=\frac{2 x}{x^2+1}$ 等价于

$$
y x^2-2 x+y=0
$$

根据函数的值域定义，任给 $y \in f( R )$ ，方程必有实数解，而方程有实数解的充要条件是

$$
\Delta=1-y^2 \geq 0
$$

即: $-1 \leq y \leq 1$, 所以他的值域为$[-1,1]$

在函数的定义中包含三个要素, 即定义域, 值域和对应法则. 在实际问题中，函数的定义域是根据实际意义来确定的，例如温度计刻有华氏温标度数 $F$ 和摄氏温标度数 $c$, 因为不存在低于绝对零度的温度, 因此, 这两个度数之间的函数 $\varphi$ 是

$$
F=\varphi(c)=\frac{9}{5} c+32, \quad c \in(-273,+\infty)
$$

以后, 当我们只在数学上,一般地研究一个具体解析式子规定的函数关系时，如果定义域 $x$ 没有被指明，那么函数的定义域是使解析式子具有数值意义的所有实数域 。

## 实数区间的表示
为简便地表示定义域或值域所属的一段连续的实数区间，可以分别写出这段连续实数区间的最小值和最大值，并用逗号＂，＂隔开，再用相应的括号括起来。

包含两端最小值 $a$ 和最大值 $b$ 的连续实数区间叫做**闭区间**，用方括号括起来，记作 $[a, b], a \leq x \leq b$ 也记作 $x \in[a, b]$ 。

不包含两端最小值 $a$ 和最大值 $b$ 的连续实数区间叫做**开区间**，用圆括号括起来，记作 $(a, b), a<x<b$ 也记作 $x \in(a, b)$ 。

包含最小值 $a$ ，不包含最大值 $b$ 的连续实数区间叫做**左闭右开区间**，左边用方括号，右边用圆括号，记作 $[a, b), a \leq x<b$ 也记作 $x \in[a, b)$ 。

不包含最小值 $a$ ，包含最大值 $b$ 的连续实数区间叫做左开右闭区间，左边用圆括号，右边用方括号，记作 $(a, b], a<x \leq b$ 也记作 $x \in(a, b]$ 。

左闭右开区间和左开右闭区间都叫做半开半闭区间。
区间两端的最小值 $a$ 和最大值 $b$ 都叫做区间的端点，无论它们是否包含在区间内。在数轴上作图时，包含在区间内的端点用实心小圆标记，不包含在区间内的端点用空心小圆标记。

`例` 将下列各集合用区间表示：
（1） $F =\{x \mid-1 \leq x \leq 1\}$ 可以表示为：$[-1,1]$ ；
（2） $G =\{x \mid-20<x<-18\}$ 可以表示为：$(-20,-18)$ ；
（3） $H =\{x \mid-1 \leq x<1\}$ 可以表示为：$[-1,1)$ ；
（4） $I =\{x \mid 0<x \leq 2\}$ 可以表示为：$(0,2]$ ；
（5） $J =\{x \mid x \leq-1\}$ 可以表示为：$(-\infty,-1]$ ；
（6） $K =\{x \mid x>5\}$ 可以表示为：$(5,+\infty)$ 。
集合 J 中，＂$-\infty$＂叫做负无穷大，＂$\infty$＂是横过来写的＂ 8 ＂。 $-\infty$ 表示绝对值无穷大的负数，在数轴负方向的无穷远处。 $-\infty$ 小于任何已经确定取值的实数，其绝对值 $|-\infty|$ 大于任何已经确定取值的实数。

集合 K 中，＂$+\infty$＂叫做正无穷大，表示绝对值无穷大的正数，在数轴正方向的无穷远处，$+\infty$ 及其绝对值 $|+\infty|$ 大于任何已经确定取值的实数。

正负无穷大是抽象出来的虚拟概念，在现实中无法真正达到，只能尽量近似，因此正负无穷大所在的一侧都是开区间，**实数集 $R$ 也

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：映射

下一篇：函数的运算与复合函数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)