最后更新: 2025-12-21 15:06 查看: 769 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

函数

### 引言
函数（function），从初中我们就学过，例如  $y=x$ 是一次函数， $y=x^2$ 是二次函数， $y=\frac{1}{x}$ 是反比例函数等等。但是，如何定义函数却不是一件容易的事情。

目前其定义通常分为**传统定义**和**近代定义**，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

传统的，在一个变化过程中，$y$是$x$的函数，**当$x$确定一个值，$y$就随之确定一个值这样就形成了函数**。

而近世代数里，开始使用集合定义函数，**给定一个数集$A$，假设其中的元素为$x$，对$A$中的元素$x$施加对应法则$f$，记作$f(x)$，得到另一数集$B$，假设$B$中的元素为$y$，则$y$与$x$之间的等量关系可以用$y=f(x)$表示**.

这两种定义本质上是一样的，事实上这个对应法则通常叫做映射。

> 函数的英文为 Function, 翻译成中文叫做：功能。你可以把他当做一个黑匣子。在初中函数通常写成$y=f(x)$ 而到了高中通常写成 $f(x,y)$ , 这是因为，在**初中通常仅考虑一个输入，一个输出**，所以使用$x,y$ 分别表示输入和输出就够了，但是在高中，**一个函数可能有多个输入一个输出**，因此就表示$f(x,y)$ , 例如 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ 他的意思“输入三个数，系统返回这3个数的平方和”

## 函数的定义

设有数集 $A, B$, 如果有一对应关系或法则 $f$ 存在, 对于 $A$ 的**任何**一个数 $x$ ，有数集 $B$ 中唯一的一个数 $y$ 与之对应，我们就称给出了一个从数集 $A$ 到数集 $B$ 内的函数 $f$, 用

$$
f: A \mapsto B
$$

表示, 并写成 $y=f(x),(x \in A)$, 此时称 $f(x)$ 为函数 $f$ 在 $x$ 的函数值,并称 $A$ 为函数 $f$ 的**定义域(Domain)**. 又当 $x$ 取遍 $A$ 中的数时, 函数值 $f(x)$ 全体也构成一个数集，称为函数 $f$ 的**值域（Range）**，记作

$$
f(A)=\{f(x) \mid x \in A\}
$$

要注意的是在构造一个函数 $f: A \mapsto B$ 的时候, $f(A)$ 不一定等于 $B$, 而是 $B$ 的一个真子集, 即 $f(A) \subset B$.

函数概念含有三个要素：定义域$A$、值域$B$和对应法则$f$。其中核心是对应法则$f$，它是函数关系的本质特征。虽然函数的定义比较简单，但是要深刻掌握其内涵并不容易。

**1.一对多不是函数**
参考下图的一对多关系。X中的元素3与Y中的两个元素b和c相关。因此这是多值函数，这不是函数。
如果用集合语句描述：A是实数集合，B为有理数。f：映射法则为平方根。这样当输入数字9时，就有$\pm3$ 与之对应，这不是数学意义上的函数的定义。

![图片](/uploads/2023-08/image_202308213594655.png)

**2.偏函数不是函数**
参考下图一对一但非完全对应。X的元素1未与Y的任一元素相关。因此这是偏函数，而也不是传统意义上的数学函数的定义。因为函数的定义要求对于任意一个x里的值，有确定的$y$与其对应，显然x=1没有值与其对应。

![图片](/uploads/2023-08/image_202308219d07c5b.png)

**3.多对一是函数**
完全对应且多对一，这满足数学意义上的函数的定义，因此这是函数。我们可以写出其表达式为：

$$
f(x)= \begin{cases}d, & \text { if } x=1 \\ d, & \text { if } x=2 \\ c, & \text { if } x=3\end{cases}
$$

![图片](/uploads/2023-08/image_202308219f2aeeb.png)

`例` 已知函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0,1]$ ，则函数 $f(2 x+1)$ 的定义域为（）
解：函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0,1]$ ，是指 $f(\underline{x}+1)$ 中 $x$ 的范围是 $[0,1]$ ，由此可得 $f(\underline{x+1})$中 $x+1$ 的范围是 $[1,2]$ ，即 $f$ 的作用范围是 $[1,2]$ 。

在新函数 $f(2 x+1)$ 中，根据 $f$ 的作用范围不变，所以 $f$＂肚子里＂的 $2 x+1$ 逃不出 $[1,2]$ 这个范围，则

$$
1 \leqslant 2 x+1 \leqslant 2
$$

解得新函数 $f(2 \underline{x}+1)$ 中 $x$ 的范围为 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ ， 即答案是 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$

现在对本例做一个说明。 $f(x+1)$ 和 $f(2 x+1)$ 中的 $x$ 并非同一个变量，事实上它们只是各自函数自变量的一个代表，本题描述成  ＂已知函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0,1]$ ，则函数 $f(2 y+1)$ 的定义域为。＂ 或 ＂已知函数 $f(t+1)$ 的定义域为 $[0,1]$ ，则函数 $f(2 r+1)$ 的定义域为。＂ 的意义是一样的。

> **函数的变量名与使用的字母没有关系**, 例如 $y=x^2$ 和 $y=t^2$，虽然$x,t$ 名字不一样，但是他们代表的意义是一样

`例` (多选)下列是函数图象的是

![图片](/uploads/2025-05/f1b7cc.jpg)
 
 解：答案CD
 
 A 中，当 $x>0$ 时，每一个 $x$ 的值对应两个不同的 $y$ 值，因此不是函数图象； B 中，当 $x=x_0$ 时，$y$ 的值有两个，因此不是函数图象；
CD 中，每一个 $x$ 的值对应唯一的 $y$ 值，因此是函数图象．

`例` 设 $R$ 是实数集, 求 $f(x)=\frac{2 x}{x^2+1}, \quad x \in(-\infty,+\infty)$ 求

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