最后更新: 2024-01-10 17:25 查看: 588 次反馈刷题

简谐波的能量

一、平面简谐波传播时媒质中体积元的能量
(一)能量
设平面简谐波在密度为 $\rho$ 的弹性介质中沿 $\boldsymbol{x}$ 正方向传播: $\varphi=0$

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110773b93b.png)

$$
y=A \cos \omega\left(t-\frac{x}{u}\right)
$$

在 $\boldsymbol{x}$ 处取体积元 $\Delta \boldsymbol{V}$,质量为

$$
\Delta m=\rho S \mathrm{~d} x=\rho \Delta V
$$

当波传到此 $\Delta \boldsymbol{V}$ 时, 有

$$
v=\frac{\partial y}{\partial t}=-A \omega \sin \omega\left(t-\frac{x}{u}\right)
$$

所以体积元动能为

$$
\Delta E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}(\Delta m) v^2=\frac{1}{2}(\rho \Delta V) A^2 \omega^2 \sin ^2 \omega\left(t-\frac{x}{u}\right)
$$

经推导(略), 体积元弹性形变势能也为

$$
\Delta E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}(\rho \Delta V) A^2 \omega^2 \sin ^2 \omega\left(t-\frac{x}{u}\right)
$$

体积元的总能量为

$$
\begin{aligned}
\Delta E & =\Delta E_{\mathrm{k}}+\Delta E_{\mathrm{p}} \\
& =(\rho \Delta V) A^2 \omega^2 \sin ^2 \omega\left(t-\frac{x}{u}\right)
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110240de19.png)
![图片](/uploads/2024-01/image_202401103aa0939.png)

二、波的能量密度 能流密度
(一)能量密度
单位体积内波的能量一一 能量密度 $w$ :

$$
w=w(x, t)=\frac{\Delta E}{\Delta V}=\rho A^2 \omega^2 \sin ^2 \omega\left(t-\frac{x}{u}\right)
$$

能量密度的平均值:

$$
\bar{W}=\frac{1}{T} \int_0^T w \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} \rho A^2 \omega^2
$$

机械波的能量与振幅平方, 频率平方以及介质密度成正比.
![图片](/uploads/2024-01/image_20240110cb90bc7.png)

(1)大小:

$$
I=\frac{\bar{W} \cdot(u S)}{S}=\bar{W} \cdot u \quad \text { 即 } I=\frac{1}{2} \rho A^2 \omega^2 u
$$

(2)方向:

能流密度为矢量, 其方向为波速的方向.
(3)单位: $\mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-2}$
(4)能流密度也称为波的强度。
![图片](/uploads/2024-01/image_2024011093cdee8.png)

因为无吸收, 由能量守恒定律得

$$
4 \pi r_1^2 I_1=4 \pi r_2^2 I_2
$$

所以 $\frac{I_1}{I_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}$
即 $\frac{A_1}{A_2}=\frac{r_2}{r_1}$

则

$$
A_1 r_1=A_2 r_2=\cdots=A r=C
$$

即

$$
A=\frac{C}{r}
$$

$C$ 为 $r=1$ 时该处的振幅, 则球面波的波函数为

$$
y=\frac{C}{r} \cos \left[\omega\left(t-\frac{r}{u}\right)+\varphi\right]
$$

例题 在截面积为 $\boldsymbol{S}$ 的圆管中, 有一列平面简谐波, 其波动的表达式为

$$
y=A \cos \left(\omega t-\frac{2 \pi x}{\lambda}\right)
$$

管中波的平均能量密度为 $\bar{W}$, 则通过截面 $S$ 的平均能流是多少?
解:

$$
\begin{gathered}
\bar{P}=\bar{W} u S \\
\because u=\frac{\lambda}{T} \quad T=\frac{2 \pi}{\omega} \quad \therefore u=\frac{\omega \lambda}{2 \pi} \\
\bar{P}=\frac{\omega \lambda}{2 \pi} \bar{W} S
\end{gathered}

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