最后更新: 2025-08-05 21:35 查看: 664 次反馈同步训练

函数的单调性

函数的单调性是刻画一个函数重要性质的概念，它可以推广到任意全序集或有序集的映射上去。

## 定义
设定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$ ，如果对任意的 $x_1, x_2 \in D ， x_1 \leqslant x_2$ ，都有 $f\left(x_1\right) \leqslant f\left(x_2\right)$ ，就称 $f(x)$ 在 $I$ 上 **单调递增**；如果对任意的 $x_1, x_2 \in D, x_1<x_2$ ，都有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ ，就称 $f(x)$ 在 $I$ 上**严格单调递增**。

设定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$ ，如果对任意的 $x_1, x_2 \in D ， x_1 \leqslant x_2$ ，都有 $f\left(x_1\right) \geqslant f\left(x_2\right)$ ，就称 $f(x)$ 在 $I$ 上 **单调递减**；如果对任意的 $x_1, x_2 \in D, x_1<x_2$ ，都有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$ ，就称 $f(x)$ 在 $I$ 上**严格单调递减**。

下图（1）和（2）分别显示了单调递增函数和单独递减函数的图像。

![图片](/uploads/2023-11/image_20231104eedb1d2.png)

设定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$ ，如果对任意的开区间 $(a, b) \subset I ， f(x)$ 在 $(a, b)$ 上都不是单调的，就说 $f(x)$ 在 $I$ 上无处单调。

> **若 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增，那么 $-f(x)$ 在 $I$ 上单调递减。**

## 导数判断单调性

**① 定义法。**
根据函数单调性的定义来判断函数的单调性。

`例` 求证 $f(x)=x+\sqrt{2-x}$ 在 $\left(-\infty, \frac{7}{4}\right)$ 上是增函数

证明 :
设 $x_1 ， x_2 \in\left(-\infty, \frac{7}{4}\right)$ ，且 $x_1<x_2$
则 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(x_1+\sqrt{2-x_1}\right)-\left(x_2+\sqrt{2-x_2}\right)$

$$
\begin{aligned}
& =\left( {x}_1- {x}_2\right)+\left(\sqrt{2- {x}_1}-\sqrt{2- {x}_2}\right) \\
& =\left( {x}_1- {x}_2\right)+\frac{\left(\sqrt{2- {x}_1}-\sqrt{2- {x}_2}\right)\left(\sqrt{2- {x}_1}+\sqrt{2- {x}_2}\right)}{\sqrt{2- {x}_1}+\sqrt{2- {x}_2}} \\
& =\left( {x}_1- {x}_2\right)+\frac{ {x}_2- {x}_1}{\sqrt{2- {x}_1}+\sqrt{2- {x}_2}} \\
& =\left( {x}_1- {x}_2\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2- {x}_1}+\sqrt{2- {x}_2}}\right)
\end{aligned}
$$

又 $ {x}_1< {x}_2<\frac{7}{4}$ ，
则有: $\sqrt{2- {x}_1}>\frac{1}{2} ， \sqrt{2- {x}_2}>\frac{1}{2}$ ，

$$
\therefore \sqrt{2- {x}_1}+\sqrt{2- {x}_2}>1
$$

$$
\begin{aligned}
& \therefore 1-\frac{1}{\sqrt{2- {x}_1}+\sqrt{2- {x}_2}}>0 \text {, 又 }  {x}_1< {x}_2 \\
& \therefore  {f}\left( {x}_1\right)- {f}\left( {x}_2\right)<0 \\
& \therefore  {f}( {x}) \text { 在在 }\left(-\infty, \frac{7}{4}\right) \text { 上是增函数 }
\end{aligned}
$$

**②导数法**

>**设 $f(x)$ 在 $I$ 上一阶可导，那么 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增的充要条件是一阶导数大于零。$f(x)$ 在 $I$ 上单调递减的充要条件是一阶导数小于零。**

我们不准备从数学上进行证明，而仅从几何意义上进行解释。

设 $y=f(x)$ 在 $x_0$内有定义，当自变量 $x$ 从 $x_0$ 变化到 $x_0+\Delta x$ 时，相应的函数 $f(x)$ 也发生变化: $f\left(x_0\right) \rightarrow f\left(x_0+\Delta x\right)$ ，此时函数 $y$ 的对应增量（见图1-55) 为 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271451.png)

仔细看 $\Delta x$ 与 $ \Delta y $ 围成的一个三角形，可以得到曲线的切线斜率为：

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}
$$

因为 $x-x_0 >0$ ,所以， 切线斜率的正负是由 $ {f(x)-f\left(x_0\right)}$ 决定。

因此，知道了$x$ 的范围，就可以判断曲线是增加还是减小。

**如果斜率大于0，就是增函数，如果小于0就是减函数。**

如果等于0，如果函数值等于0，通常是函数增和减的分界点。 而这个分界点也被成为函数的**极值点**。这句话可能比较难以理解，参考如图2-16所示，连续曲线弧 $A B$ 是函数 $y=f(x)(x \in[a, b])$ 的图形.  在导数里，我们知道，所谓导数就是曲线的切换斜率，所以，可以发现，在曲线弧的最高点或最低点处，曲线有水平的切线. 如果记 $C$ 点的横坐标为 $\xi$ ，那么就有 $f^{\prime}(\xi)=0$.
换句话说，

> **当求函数极值时（极大值或者极小值），可以令其导数等于0**。

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228a5c8a46.png)

`例` 求 $y=x^2$ 在 $x \in (2,3)$ 时，判断$y$是递增还是递减。

解：对于 $

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