最后更新: 2025-04-14 19:11 查看: 429 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

函数的奇偶性

## 函数的奇偶性
函数的奇偶性是关于＂对称＂的性质，一些函数具有一定的对称性，对称主要有两种方式：镜面对称，中心对称。

图像关于 $y$ 轴呈镜面对称的函数叫做**偶函数**，图像关于原点呈中心对称的函数叫做**奇函数**。

### 偶函数
偶函数的图像具有镜面对称的特点，就像实物与镜子中的镜像间的关系。
现实中有很多镜面对称现象。例如，一个人的左手和右手镜面对称，将两只手掌平摊，沿小拇指和手掌边沿对齐，两只手就构成了一个镜面对称的图形，两只手的手掌和五根手指合拢后可以完全重合。

类似的，把一个图形沿着中线对折，如果中线左右两侧的画能完全重叠，就称这个图形**镜面对称**。

偶函数所具有的对称性就是这种情况：把函数的图像以 $y$ 轴为对称轴对折，如果对折后函数的图像左右两边能完全重合，这个函数就是偶函数。

例如，函数 $f(x)=2 x^2-1$ 是偶函数，下面是它的图像，注意体会它关于 $y$ 轴左右对称的特点。
 ![图片](/uploads/2025-04/15139f.jpg)
 
 现在从函数解析式的角度，分析偶函数的特点。
已知偶函数在平面直角坐标系中的图像左右对称，那么在 $y$ 轴的左右两侧，到 $y$ 轴距离相等的两个点，它们的高度应当相同，即自变量互为相反数时的函数值相等。因为只有这样，将函数图像沿 $y$ 轴对折后，左右才能完全重合。

反之，如果在 $y$ 轴的左右两侧，到 $y$ 轴距离相等的位置的函数值不同，那么对折后该处就不能重合，函数图像就不对称了。

综上，偶函数的定义为：
设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I , \forall x \in I$ ，恒有 $-x \in I$ ，且 $f(-x)=f(x)$ 。
即：函数的定义域关于原点对称，且如果自变量的两个取值互为相反数，那么它们的函数值相等。

> **需注意，偶函数的定义域必须关于原点对称，如果自变量只能取到原点一侧的值，取不到对称的另一侧的值，那么这个位置的函数就不对称。**

### 奇函数
奇函数的图像具有旋转对称的特点，就像风车旋转后可以跟原位置重合。
在一张纸上写一个标准的大写字母＂Z＂，很明显它左右不对称。把笔尖插在＂$Z$＂的斜线的正中间并固定，以笔为旋转轴将纸旋转 $180^{\circ}$ ，使得纸上下，左右都颠倒，会发现旋转后的＂ Z ＂跟原来的＂ Z ＂重合。

如果一个图形具有上述性质，就称它具有旋转对称性，也称该图形中心对称。图形绕着旋转的中心点叫做它的旋转中心。旋转 $180^{\circ}$ 是一种简单的旋转对称性。

奇函数所具有的对称性就是这种情况：固定原点 $(0,0)$ ，以原点为对称中心 （旋转轴），将函数图像旋转 $180^{\circ}$ ，如果新得到的图像能与原图像重合，就称这个函数是奇函数。

例如，函数 $f(x)=\frac{2}{x}$ 是奇函数，下面是它的图像，注意体会它关于原点中心对称的特点。
 ![图片](/uploads/2025-04/81f0ab.jpg)
 
 现在从函数解析式的角度，分析奇函数的特点。
已知奇函数在平面直角坐标系中的图像以原点为中心旋转对称，那么在原点的左右两侧，且到原点的横向距离相等的位置，它们到原点的纵向距离应当也相等，且分别在原点的上下两侧，即自变量互为相反数时的函数值也互为相反数。这样一来，将函数图像沿原点旋转 $180^{\circ}$ 后，才能与原图像完全重合。

综上，奇函数的定义为：
设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I , \forall x \in I$ ，都有 $-x \in I$ ，且 $f(-x)=-f(x)$ 。
$f(-x)=-f(x)$ 也可以变形为 $f(x)+f(-x)=0$ 。
即：函数的定义域关于原点对称，且如果自变量的两个取值互为相反数，那么它们的函数值也互为相反数。

需注意，奇函数的定义域也必须关于原点对称，如果自变量只能取到原点一侧的值，取不到对称的另一侧的值，那么旋转后这个位置的函数无法重叠。根据奇函数的定义式还可得：奇函数须满足要么 $f(0)=0$ ，要么 $x=0$ 不属于其定义域。

## 函数奇偶性的定义

①一般地，如果对于函数 $f(x)$ 的定义域内任意一个 $x$ ，都有 $f(-x)=f(x)$ ，那么函数 $f(x)$ 就叫偶函数。

$y=x^2$ 是最简单偶函数。
![图片](/uploads/2023-08/88272c.svg)

②一般地，如果对于函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的定义域内任意一个 $\mathrm{x}$ ，都有 $\mathrm{f}(\mathrm{-} \mathrm{x})=-\mathrm{f}(\mathrm{x})$ ，那么函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 就叫奇函数。

$y=x$ 是最简单奇函数。
![图片](/uploads/2023-08/07d982.svg)

## 初等函数的奇偶性

① $f(x)=\sin x$ 是奇函数;
②$f(x)=\cos x$ 是偶函数;
③$f(x)=\tan x$ 是奇函 数;
④$f(x)=x, x^3, x^5,  x^{-1}, x^{-3} ... x^{\mathrm{n}}$  ( $\mathrm{n}$ 为奇数) 是奇函数;
⑤$f(x)=1, x^2,x^4,x^{-2},x^{-4} ...  x^{\mathrm{n}}$ ( $\mathrm{n}$ 为偶数) 是偶函数;

利用定义，可以在基础函数上推出
①$f(x)=a^x-a^{-x}$ 是奇函数;
② $f(x)=a^x+a^{-x}$ 是偶函数;
③$f(x)=\log _a \frac{b+c x}{b-c x}$ 是奇函数；
④$f(x)=\log _a\left(\sqrt{\mathrm{b}^2 x^2+1} \pm \mathrm{bx}\right)$ 是奇函数;
⑤$f(x)=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}}+1}{\mathrm{a}^{\mathrm{x}}-1}$ 是奇函数

## 奇偶函数的一些性质

①函数定义域关于原点(或 $\mathrm{y}$ 轴)对称；
② 函数图像关于原点对称；
③如果定义域内 $x=0$ 有意义，一定有 $f(0)=0$ ；
④函数在对称区间的单调性一致；
⑤在对称点的极值(或最值)是相反
⑥奇+奇=奇； 偶+偶=偶； 奇·奇=偶； 偶•偶=偶； 奇•偶=奇

对于奇偶性的这些性质，请参考上面图像的进行理解记忆。

**例1**：设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$, 则下列函数中为奇函数的是
A. $f(x-1)-1$
B. $f(x-1)+1$
C. $f(x+1)-1$
D. $f(x+1)+1$

解: 因为 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}=\frac{-(x+1)+2}{1+x}=-1+\frac{2}{x+1}$,
所以函数 $f(x)$ 的对称中心为 $(-1,-1)$,
所以将函数 $f(x)$ 向右平移一个单位, 向上平移一个单位,
得到函数 $y=f(x-1)+1$, 该函数的对称中心为 $(0,0)$,
故函数 $y=f(x-1)+1$ 为奇函数.
故选: $B$.

如果直接判断 $f(x)=f(-x)$ 或 $f(x)=-f(-x)$ 比较复杂时，可用判断 $\frac{f(x)}{f(-x)}=1$ 或 $\frac{f(x)}{f(-x)}=-1$ 来判断，即求商判定法，即：
偶•偶=偶； 奇•偶=奇， 偶÷偶=偶； 奇÷偶=奇

**例2**  判断函数 $f(x)=\frac{2}{2^x-1}+1$ 的奇偶性

解： $\frac{f(x)}{f(-x)}=\frac{\frac{2}{2^x-1}+1}{=\frac{2}{2^{-x}-1}+1}=\frac{\frac{1+2^x}{1-2^x}}{\frac{1-2^x}{1+2^x}}=1$
所以，$f(x)=f(-x)$，因此为偶函数。

**例3** 下列函数中为偶函数的是
A. $y=x^2 \sin x$
B. $y=x^2 \cos x$
C. $y=|\ln x|$
D. $y=2^{-x}$

$\mathrm{A}$ 选项: $x^2$ 是偶函数, $\sin x$ 是奇函数, 根据奇 $\cdot$ 偶 $=$ 奇, 得到函数是奇函数
$B$ 选项: $x^2$ 是偶函数, $\cos x$ 是偶函数, 根据奇•奇 = 偶, 得到函数是偶函数
$C$ 的定义域不关于原点对称。

$D$  $f(x)=2^{-x}$  ，$f(-x)=2^x$,   $-f(x)=-2^{-x}$  彼此不等。
所以选择B

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